Bài giảng Động lực học kết cấu - Chương 1: Mở đầu - Đỗ Kiến Quốc

Nội dung text: Bài giảng Động lực học kết cấu - Chương 1: Mở đầu - Đỗ Kiến Quốc

1. ⎡m1 0 " 0 ⎤ ⎢ 0 m # ⎥ [M] = ⎢ 2 ⎥ (3.32) ⎢ # % 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 " 0 mN ⎦ trong ñoù: mij = 0 vôùi i ≠ j, vì gia toác taïi khoái löôïng naøo chæ gaây ra löïc quaùn tính taïi khoái löôïng ñoù. 3.2.2.2 Ma traän khoái löôïng töông thích (Consistent - Mass Matrix) v(x) v v 1 v 2 v 4 a 3 b x m(x) L δ v(x)= ψ (x) δ v 1 1 (chuyeån vò khaû dó) δ v = δ v f (x) a 1 1 Ι θ =v =1 a 3 m =p 13 a Xeùt phaàn töû daàm coù hai baäc töï do moãi nuùt. Duøng caùc haøm noäi suy ψi(x) nhö ma traän cöùng. Giaû söû daàm chòu taùc duïng cuûa gia toác goùc baèng ñôn vò taïi nuùt a,  v3 = θa = 1, gia toác chuyeån ñoäng ngang cuûa daàm laø:
2. Thí duï Thaønh laäp ma traän khoái löôïng cho keát caáu nhö hình veõ theo hai phöông phaùp. Quaù trình tính caùc heä soá khoái löôïng ñöôïc chæ roõ treân caùc hình veõ. m11= 4 m L m22 = m33 = 0 1.5 m L v2 v2 v3 1.5 m L v3 v1 v1 1.5 m 0.5 m L 0.5 m L L m m 0.5 m L 0.5 m L 2L m21  m22 m31 v1 =1 m32 m11 m12 =1 v2 = 1 Ma traän khoái löôïng thu goïn: ⎡840 ⎤ mL [M] = ⎢ 0 ⎥ 210 ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0⎦⎥
3. - Duøng [M] thu goïn coù theå loaïi boû caùc chuyeån vò xoay, nhöng duøng [M] töông thích thì khoâng theå loaïi boû ñöôïc. 3.2.3 Tính chaát caûn Heä soá caûn cuûa phaàn töû ñöôïc xaùc ñònh bôûi FEM, cho bôûi coâng thöùc: L cij = ∫ c(x)ψ i (x)ψ j (x)dx Heä soá caûn suy roäng (3.37) 0 trong ñoù: c(x) - tính chaát caûn phaân boá cuûa phaàn töû. Ma traän caûn keát caáu cuõng ñöôïc choàng chaát töø ma traän caûn cuûa phaàn töû, töông töï ma traän ñoä cöùng hoaëc ma traän khoái löôïng. Tuy nhieân, ñeå xaùc ñònh haøm c(x) trong thöïc teá thì khoâng laøm ñöôïc. Thöôøng tính caûn cuûa keát caáu xaùc ñònh bôûi thöïc nghieäm baèng tæ soá caûn ξ. 3.2.4 Taûi troïng Neáu taûi troïng taùc duïng treân phaàn töû thì phaûi thay theá baèng taûi troïng nuùt töông ñöông, duøng khaùi nieäm löïc suy roäng. Coù hai phöông phaùp:
4. Taûi troïng nuùt ñöôïc tính theo nguyeân lí chuyeån vò khaû dó, duøng caùc haøm noäi suy ψi(x). Thí duï: L p1(t) = ∫ p(x,t)ψ 1 (x)dx 0 L Taûi troïng suy roäng pi(t) = ∫ p(x,t)ψ i (x)dx (3.38) 0 Neáu taûi troïng coù daïng phaân ly (tröôøng hôïp naøy thöôøng gaëp trong thöïc teá) p(x,t) = χ(x)ζ(t) thì löïc nuùt suy roäng trôû thaønh: L pi(t) = ζ(t) ∫ χ(x)ψ i (x)dx (3.39) 0 Chuù yù raèng, vôùi caùc haøm noäi suy ψi(x) (i = 1,4) ta coù 2 löïc nuùt vaø 2 moâ men nuùt taïi 2 ñaàu daàm. 3.2.5 Ñoä cöùng hình hoïc Ñoä cöùng hình hoïc v v v N i j x theå hieän khuynh höôùng O i j v - v j i N fGj = i laøm taêng chuyeån vò uoán L i N v - v i i j N cuûa löïc neùn N. Heä soá f Gi = i L i N i i v cöùng hình hoïc chính laø j vi löïc nuùt do N taïo ra. Giaû Li
5. + Ñoä cöùng hình hoïc töông thích: Duøng khaùi nieäm phaàn töû höõu haïn, ta thu ñöôïc coâng thöùc: Bieåu ñoà N(x) PG3 b PG4 a P PG1 G2 L ' ' kGij = ∫o N()x ψ i (x)ψ j (x)dx (3.43) Neáu phaàn töû coù löïc doïc N(x) = N = const, duøng caùc haøm noäi suy tröôùc ñaây, ta thu ñöôïc ma traän cöùng hình hoïc phaàn töû: ⎧ fG1 ⎫ ⎡ 36 −36 3L 3L ⎤⎧v1 ⎫ ⎪ f ⎪ ⎢−36 36 −3L −3L⎥⎪v ⎪ ⎪ G2 ⎪ N ⎢ ⎥⎪ 2 ⎪ ⎨ ⎬ = 2 2 ⎨ ⎬ (3.44) ⎪ fG3 ⎪ 30L ⎢ 3L −3L 4L − L ⎥⎪v3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 2 2 ⎥⎪ ⎪ ⎩ fG4 ⎭ ⎣ 3L −3L − L 4L ⎦⎩v4 ⎭ ⎡ 36 − 36 3L 3L ⎤ ⎢ ⎥ N − 36 36 − 3L − 3L [K e ] = ⎢ ⎥ G 30L ⎢ 3L − 3L 4L2 − L2 ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ⎣ 3L − 3L − L 4L ⎦ e [KG ] laø ma traän ñoä cöùng cuûa phaàn töû (ñoái xöùng).
6. keå ñeán baäc töï do chuyeån vò xoay) thì coù theå loaïi tröø caùc chuyeån vò xoay naøy trong phöông trình chuyeån ñoäng. Khi ñoù ma traän cöùng cuõng ñöôïc ruùt goïn laïi, goïi laø Static Condensation (kích thöôùc ma traän cöùng thu nhoû laïi). Ñeå minh hoïa, ta vieát laïi phöông trình (3.2) trong ñoù ñaõ saép xeáp laïi caùc chuyeån vò thaønh 2 nhoùm: vt laø thaønh phaàn chuyeån vò thaúng vaø vo laø thaønh phaàn chuyeån vò xoay. Phöông trình chuyeån ñoäng ñöôïc vieát laïi daïng ma traän chia khoái (ma traän con): ⎡[K tt ] [K tθ ]⎤⎧{}vt ⎫ ⎧{f St }⎫ ⎧{f St }⎫ ⎢ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (3.45) ⎣[Kθt ] [Kθθ ]⎦⎩{}vθ ⎭ ⎩{}f Sθ ⎭ ⎩ {}0 ⎭ Trong ñoù {f Sθ }= {0}, töùc laø caùc moment nuùt ñaøn hoài baèng 0, neáu taùc ñoäng treân heä chæ laø löïc chöù khoâng coù moment taäp trung ñaët ngay taïi nuùt. Trong (3.45) coù theå bieåu dieãn caùc chuyeån vò xoay {vθ } theo chuyeån vò thaúng {vt }: −1 {}vθ = −[Kθθ ] [Kθt ]{vt } (3.46) Phöông trình thöù nhaát cuûa ma traän con töø (3.45): [K tt ]{vt }+ [K tθ ]{vθ } = {f St } −1 [[K tt ] −[K tθ ][Kθθ ] [Kθt ]]{vt }= {f St }
7. −1 L ⎡ 3 −1⎤ [Kθθ ] = ⎢ ⎥ 32EI ⎣−1 3 ⎦ Bieåu dieãn chuyeån vò xoay theo chuyeån vò thaúng (3.46): ⎧v ⎫ − L ⎡ 3 −1⎤ 2EI ⎡3L⎤ 3 ⎡1⎤ v 2 v v θ = ⎨ ⎬ = - ⎢ ⎥ 3 ⎢ ⎥ 1=- ⎢ ⎥ 1 ⎩v3 ⎭ 32EI ⎣−1 3 ⎦ L ⎣3L⎦ 8L ⎣1⎦ Ma traän cöùng ruùt goïn theo (3.48): ⎛ ⎡ 3 ⎤⎞ 2EI ⎜ ⎢ ⎥ 2EI 39 K = ⎜12 − []3L 3L 8L = t L3 ⎢ 3 ⎥ L3 4 ⎜ ⎢ ⎥ ⎝ ⎣8L⎦⎠ 3.3 DAO ÑOÄNG TÖÏ DO KHOÂNG CAÛN 3.3.1 Phaân tích taàn soá dao ñoäng Töø phöông trình (3.8), phaân tích dao ñoäng töï do neân vectô taûi troïng ngoaøi p(t) = 0, ta coù: [M ]{v(t)}+ [C]{v(t)}+ [K]{v(t)} = {0} Boû qua thaønh phaàn löïc caûn [C]= [0] [M ]{v(t)}+ [K]{v(t)} = {0} (3.49) Do tính chaát tuaàn hoaøn neân choïn nghieäm coù daïng: {v(t)} = {vˆ}sin(ωt +θ ) (3.50) trong ñoù: {v(t)}-theå hieän daïng dao ñoäng; {}vˆ - laø bieân ñoä dao ñoäng.
8. Thí duï (E12-1) Tính taàn soá rieâng cuûa khung saøn cöùng: khoái löôïng vaø ñoä cöùng nhö hình veõ (a). Caùc heä soá cöùng tính treân hình veõ (b). 2 1,0 kip.s /in v1 K = -600 K = 0 v1 =1 K 11 = 600 12 13 k 600 in 1,5 K = - 600 K = 1800 K 23 = -1200 21 v =1 22 v2 2 1200 K 33 = 3000 2,0 K 31 =0 K 32 = -1200 V 3=1 v3 1800 (a) (b) Caùc ma traän cuûa khung: ⎡1,0 0 ⎤ [M ] = ⎢ 1,5 ⎥ (kip.s2/in) ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 2,0⎦⎥ ⎡ 1 −1 0 ⎤ [K] = 600⎢−1 3 − 2⎥ (kip.s/in) ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 − 2 5 ⎦⎥ Phöông trình ñaëc tröng (3.52):
9. ⎧vˆ1n ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪vˆ2n ⎪ ⎪vˆ2n ⎪ {}vˆn = ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪ # ⎪ ⎪ # ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩vˆNn ⎭ ⎩vˆNn ⎭ (n) 2 Ñaët: [E ] = [K] −ωn [M ] (3.53) Phöông trình (3.51) ñöôïc vieát laïi: (n) (n) (n) ⎡e11 e22 " e1N ⎤⎧ 1 ⎫ ⎧0⎫ ⎢ (n) (n) (n) ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ e e " e ⎪vˆ2n ⎪ ⎪0⎪ ⎢ 21 22 2 N ⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (3.54) ⎢ # # " # ⎥⎪ # ⎪ ⎪#⎪ ⎢ (n) (n) (n) ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎣eN1 eN 2 " eNN ⎦⎩vˆNn ⎭ ⎩0⎭ Vieát laïi (3.54) daïng kí hieäu duøng ma traän con: (n) (n) ⎡ e11 [E10 ]⎤ ⎧ 1 ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎢ (n) (n) ⎥ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⎣[E01 ] [E00 ]⎦ ⎩{}vˆ0n ⎭ ⎩{}0 ⎭ Töông ñöông vôùi 2 phöông trình: [E (n) ] + [E (n) ][vˆ ] = {0} 01 00 0n (a) (n) (n) e11 + [E10 ][vˆ0n ] = 0 Giaûi heä phöông trình (a) treân ta ñöôïc: (n) −1 (n) {}vˆon = −[E00 ] [E01 ] (3.55) Daïng dao ñoäng (mode shape) thöù n ñöôïc ñònh nghóa bôûi vectô (khoâng thöù nguyeân)
10. Keát quaû nhö hình veõ. 1.000 1.000 1.000 0.644 -0.601 -2.570 2.470 0.300 -0.676 Mode 1 Mode 2 Mode 3 ω =14.5 ω =31.1 ω =46.1 1 2 3 3.3.3 Phaân tích taàn soá theo ma traän meàm Nhieàu baøi toaùn duøng ma traän meàm [f] tieän hôn ma traän cöùng [K]. Khi ñoù caàn xaùc ñònh taàn soá rieâng theo [f]. Phöông trình (3.51) ñöôïc vieát laïi vaø bieán ñoåi nhö sau: [[K] − ω 2 [M ]]{vˆ} = {0} (3.51) 1 Nhaân 2 veá [f]: [ [ f ][K] −[ f ][M ]]{}vˆ = {}0 ω 2 vì [ f ] = [K]−1 neân [ f ][K] = [I], ta coù: 1 [ [I] −[ f ][M ]]{}vˆ = {}0 (3.58) ω 2
11. [K]{v(t)}−[K G0 ]{v(t)} = {0} (3.60’) [KG0 ] - Ma traän cöùng hình hoïc, öùng vôùi löïc doïc N0(x), vôùi caùc heä soá xaùc ñònh bôûi: L ' ' k ij G0 = ∫0 No(x) ψi (x) ψj (x)dx (3.62) N (x) Goïi tham soá taûi troïng (load factor) λ = 0 (3.63) G N(x) vôùi N(x) laø löïc doïc do taûi troïng ñang xeùt gaây ra thì ij ij ta coù: kG0 = λG kG do ñoù: [K G0 ] = λG [K G ] (3.64) Theá (3.64) vaøo (3.60’): [[K] − λG [K G0 ]]{v(t)} = {0} (3.65) vì {v(t)} ≠ {0} neân phöông trình xaùc ñònh tham soá taûi troïng λG det[K] − λG [K G0 ] = 0 (3.66) 1 Taûi troïng tôùi haïn thaáp nhaát öùng vôùi λG = min laø coù yù nghóa thöïc teá. Daïng maát oån ñònh töông öùng 1 vôùi vector chuyeån vò v1, ñöôïc tìm baèng caùch theá λG vaøo (3.65).
12. 2 k − ω m − λG kGO vˆ = 0 Ta thaáy söï toå hôïp cuûa taûi troïng maát oån ñònh λG vaø taàn soá dao ñoäng ω 2 seõ thoûa maõn phöông trình trò rieâng. Nhö vaäy khi chòu taûi troïng ñieàu hoaø öùng vôùi moät taàn soá naøo ñoù thì heä coù theå maát oån ñònh ngay caû khi bieân ñoä löïc baèng 0. 3.3.5 Ñieàu kieän tröïc giao (Orthogonality) 3.3.5.1 Caùc ñieàu kieän cô baûn Phöông trình dao ñoäng (3.51) vieát laïi cho taàn soá ωn vaø ωm (giaû thieátωn ≠ωm ) 2 [K] {}vˆn =ωn [M] {vˆn} (3.67) 2 [K] {}vˆm =ωm [M] {vˆm} (3.68) T Nhaân tröôùc {}vˆm cho (3.67): T 2 T {}vˆm [K] {}vˆn =ωn {vˆm} [M] {vˆn} (3.69) Chuyeån trí (3.69) caû hai veá, chuù yù [K]T =[K], [M]T =[M] vì chuùng ñoái xöùng: T 2 T {}vˆn [K] {}vˆm =ωn {vˆn} [M]{vˆm} (3.70) T Nhaân tröôùc {}vˆn cho (3.68): T 2 T {}vˆn [K] {}vˆm =ωm {vˆn} [M]{vˆm} (3.71)
13. ˆ Caùc vector {φn } ñöôïc goïi laø caùc vector tröïc chuaån (Orthonormal). 3.4 PHAÂN TÍCH PHAÛN ÖÙNG ÑOÄNG Phöông phaùp duøng ñeå phaân tích phaûn öùng ñoäng ñöôïc duøng laø phöông phaùp choàng chaát mode. Noäi dung chính cuûa phöông phaùp naøy laø bieán heä dao ñoäng coù heä n phöông trình vi phaân thaønh daïng heä ñoäng coù n phöông trình vi phaân taùch rôøi. Ñeå duøng phöông phaùp treân ta phaûi tìm hieåu toïa ñoä chuaån, sau ñoù thieát laäp phöông trình chuyeån ñoäng taùch rôøi cuûa heä khoâng caûn vaø coù caûn. 3.4.1 Toïa ñoä chuaån (Normal Coordinates) v 11 v 12 v 13 v1 v2 v 21 v 22 v23 = + + + v v 31 v v 33 3 32 v =φ Y v 1= φ 1 1 v = φ 2 2 v 3= φ 3 3 Y 2 Y Y
14. [Y] : veùc tô caùc toïa ñoä suy roäng, cuõng ñöôïc goïi laø caùc toïa ñoä chuaån. Caùc thaønh phaàn Yn cuûa vectô [Y] coù theå tìm deã daøng nhôø tính tröïc giao cuûa caùc haøm daïng nhö sau: T Nhaân 2 veá cuûa (3.79) vôùi [φn] [M]: T T [φn] [M][v] = [φn] [M] [φ][Y] (3.80) T aùp duïng tính tröïc giao [φi] [M][φj] = 0 vôùi i ≠ j, veá phaûi (3.80) ñöôïc trieån khai: T T T [φn] [M][φ][Y]=[φn] [M][φ1][Y1]+[φn] [M][φ2][Y2] + T T + [φn] [M][φn][Yn] = [φn ] [M ][φn ][Yn ] (3.81) Theá (3.81) vaøo (3.80): T T [φn] [M][v] = [φn] [M][φn][Yn] T [φn ] [M ][v] hay Yn = T (3.82) [φn ] [M ][φn ] Nhö vaäy, moãi toïa ñoä chuaån Yn, n =1 N, ñeàu ñöôïc xaùc ñònh theo (3.82) 3.4.2 Phöông trình chuyeån ñoäng taùch rôøi (uncoupled) cuûa heä khoâng caûn Phöông trình chuyeån ñoäng khoâng caûn cuûa heä nhieàu baäc töï do:
15. Theá [vn ] = [φn ]Yn vaøo vaø ñôn giaûn ñi Yn cho 2 veá: 2 [K][φn ] = ωn [M ][φn ] (3.89) T Nhaân tröôùc [φn] cho 2 veá cuûa (3.89): T 2 T [φn ] [K][φn ] = ωn [φn ] [M ][φn ] 2 hay: Kn = ωn Mn (3.90) Nhö vaäy, vieäc duøng toïa ñoä chuaån ñaõ bieán heä N phöông trình vi phaân dao ñoäng cuûa heä coù N baäc töï do veà daïng goàm N phöông trình vi phaân taùch rôøi nhau. ÖÙng vôùi moãi daïng dao ñoäng chính thì phaûn öùng ñoäng cuûa heä ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch choàng chaát caùc phaûn öùng cuûa caùc daïng chính (mode). Phöông phaùp ñöôïc goïi laø phöông phaùp choàng chaát mode (Mode Superposition Method). 3.4.3 Phöông trình chuyeån ñoäng taùch rôøi cuûa heä coù caûn + Thieát laäp phöông trình Phöông trình chuyeån ñoäng cuûa heä coù caûn: [M ][v] + [C][v] + [K][v] = [ p(t)] (3.91) Bieán ñoåi töông töï nhö tröôøng hôïp khoâng caûn:
16. Rayleigh chöùng minh raèng, neáu ma traän caûn [C] coù daïng: [C] = a0[M] + a1[K] (3.96) vôùi a0, a1 laø caùc haèng soá, seõ thoûa ñieàu kieän tröïc giao (3.93) Vieäc xaùc ñònh caùc heä soá cuûa ma traän caûn [C] raát khoù khaên. Trong thöïc teá, thöôøng ngöôøi ta choïn giaù trò cuûa tæ soá caûn ξn (ñöôïc suy ra töø ñieàu kieän coäng höôûng) tuøy vaøo loaïi vaät lieäu vaø daïng keát caáu (Thí duï: keát caáu theùp thöôøng laáy ξ = 2%, BTCT ξ = 3%). Sau ñoù tính Cn theo caùc coâng thöùc treân (3.95). 3.4.4 Toùm taét phöông phaùp choàng chaát daïng Pheùp bieán ñoåi sang toïa ñoä chuaån ñaõ bieán heä N phöông trình vi phaân lieân quan vôùi nhau thaønh N phöông trình taùch bieät. Ñoù chính laø öu ñieåm cô baûn cuûa phöông phaùp choàng chaát mode. Ngoaøi ra, do tính hoäi tuï cao neân thöôøng duøng chæ caàn choàng chaát moät soá mode coù taàn soá thaáp. Trình töï phöông phaùp nhö sau:
17. t 1 −ξnωn (t−τ ) Yn (t) = ∫ Pn (τ )e sinωDn (t −τ )dτ M nωDn 0 2 ωDn = ωn 1−ξ n - taàn soá dao ñoäng coù caûn. Phöông trình treân aùp duïng cho tröôøng hôïp ñieàu kieän ban ñaàu t = 0 thì  Yn(0)=Yn (0) = 0. Coù theå giaûi phöông trình treân baèng phöông phaùp soá. Böôùc 6: Dao ñoäng töï do cuûa daïng chính  Neáu ñieàu kieän ban ñaàu Yn(0) ≠ 0, Yn (0) ≠ 0 thì phaûn öùng cuûa daïng chính phaûi coäng theâm phaàn dao ñoäng töï do coù caûn sau: ⎡Y (0)+Y (0)ξ ω −ξnωnt n n n n Yn (t) = e ⎢ sinωDnt+ Yn(0)cosωDnt ] ⎣ ωDn  Caùc trò soá Yn(0) vaø Yn (0) xaùc ñònh theo vectô chuyeån vò vaø vaän toác ban ñaàu [v(0)] vaø [v(0)]: [φ ]T [M ][v(0)] Y (0) = n n M n (3.97) • [φ ]T [M ][v(0)]  n Yn (0) = M n Böôùc 7: Chuyeån vò trong toïa ñoä hình hoïc
18. Böôùc 8: Löïc ñaøn hoài Löïc ñaøn hoài ñeå duy trì söï bieán daïng cuûa keát caáu, ñöôïc xaùc ñònh theo coâng thöùc: [fS(t)] = [K][v(t)] = [K][φ][Y(t)] = [K][φ1][Y1(t)] + [K][φ2][Y2(t)] + + [K][φn][Yn(t)] 2 2 =ω1 [M][φ1][Y1(t)] + ω2 [M][φ2][Y2(t)] + + 2 ω n [M][φn][Yn(t)] 2 Daïng ma traän: [fs(t)] = [M][φ] [ω n Yn(t)] (3.98) trong ñoù: 2 ⎧ω1 Y1 (t)⎫ ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ω2 Y2 (t)⎪ [ω n Yn(t)] = ⎨ ⎬ (3.99) ⎪ # ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎩ωn Yn (t)⎭ Böôùc 9: Noäi löïc vaø öùng suaát Trong moãi dao ñoäng chính (mode), noäi löïc vaø öùng suaát trong moät phaàn töû tæ leä vôùi toïa ñoä chuaån Yn(t). Chaúng haïn, öùng suaát cuûa phaàn töû khi dao ñoäng vôùi mode n coù daïng: σn = αnYn(t) , vôùi αn laø heä soá tæ leä (3.100)
19. ⎡ 1 −1 0 ⎤ [K] = 600⎢−1 3 − 2⎥ (kip.s/in) ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 − 2 5 ⎦⎥ Keát quaû cuûa taàn soá voøng vaø daïng chuaån: ⎧14.5⎫ ⎧1 ⎫ ⎧1 ⎫ ⎧1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ω = ⎨31.1⎬,φ1 = ⎨0.644⎬,φ2 ⎨− 0.601⎬,φ3 = ⎨− 2.57⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩46.1⎭ ⎩0.3 ⎭ ⎩− 0.676⎭ ⎩2.47 ⎭ Vì taûi troïng xung raát ngaén neân coi phaûn öùng cuûa moãi daïng chính laø dao ñoäng töï do coù heä soá dao ñoäng Dn xaùc ñònh theo Fig. 6-6 trang 29: P0n Yn (t) = Dn sinω1t (a) K n T M n = [φn ][m]φn ] (b) 2 K n = M nωn (c) ⎧1⎫ T ⎪ ⎪ P0n = [φn ]⎨2⎬(500) (d) ⎪ ⎪ ⎩2⎭ Duøng coâng thöùc (b) ta thu ñöôïc khoái löôïng suy roäng nhö sau:
20. ⎧Y1 (t)⎫ ⎧0.686sin14.5t ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨Y2 (t)⎬ = ⎨− 0.128sin 31.1t⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩Y3 (t)⎭ ⎩0.005sin 46.1t ⎭ Chuyeån vò taïi moät ñieåm naøo ñoù ñöôïc xaùc ñònh theo nguyeân lyù coäng taùc duïng. Giaû söû tính chuyeån vò taïi taàng 2: 3 v2 (t) = ∑φ2nYn (t) = 0.644× 0.686sin14.5 + n=1 (−0.601)× (−0.128)sin31.1t + (−2.57)(0.005)sin 46.1t = 0.442sin14.5 + 0.077sin 31.1t − 0.013sin 46.1t vaø löïc ñaøn hoài taùc duïng taïi taàng 2: 3 2 f S 2 (t) = ∑m2ωn Yn (t)φ2n = n=1 139sin14.5t +112sin31.1t − 41sin 46.1t Chuù yù caùc heä soá trong bieåu thöùc löïc ñaøn hoài taét daàn chaäm hôn so vôùi chuyeån vò.
21. ∂ 2 v f dx = mdx (4.2) i ∂t Theá (4.2) vaøo (4.1) ta ñöôïc: ∂Q ∂ 2 v = p − m (4.3) ∂x ∂t 2 ∑ M O = 0 boû qua voâ cuøng beù baäc cao cuûa p vaø fi: ∂M M + Qdx − (M + dx) = 0 (4.4) ∂x ∂M hay = Q (4.5) ∂x Ñaïo haøm rieâng 2 veá vôùi x daãn tôùi: ∂ 2 M ∂ 2 v + m = p (4.6) ∂x 2 ∂t 2 ∂ 2 ∂ 2 v ∂ 2 v hay (EI ) + m = p (4.7) ∂x 2 ∂x 2 ∂t 2 trong ñoù caùc ñaïi löôïng EI vaø m thay ñoåi theo x. Neáu uoán daàm xeùt ñeán aûnh höôûng löïc doïc: ∂ 2 ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v (EI ) + N + m = p (4.8) ∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 ∂t 2 4.1.2 Dao ñoäng doïc cuûa thanh
22. 4.2.1 Dao ñoäng uoán töï do cuûa daàm Xeùt caùc ñaïi löôïng EI, m = const, p(x,t) = 0. Phöông trình (4.7) trôû thaønh: ∂ 4 v(x,t) ∂ 2 v(x,t) EI + m = 0 (4.12) ∂x 4 ∂t 2 m hay: v IV (x,t) + v(x,t) = 0 (4.13) EI Nghieäm choïn daïng phaân ly bieán soá nhö sau: v(x,t) = φ(x)Y (t) (4.14) vôùi φ(x) - haøm daïng, Y (t)- bieân ñoä. Theá (4.14) vaøo (4.13) ta ñöôïc: m φ IV (x)Y (t) + φ(x)Y(t) = 0 (4.15) EI Chia hai veá bôûi φ(x)Y (t), (4.15) trôû thaønh: φ IV (x) m Y(t) + = 0 (4.16) φ(x) EI Y (t) φ IV (x) m Y(t) hay = − (4.17) φ(x) EI Y (t) Phöông trình (4.17) chöùng toû 2 veá khoâng phuï thuoäc vaøo x vaø t, töùc laø baèng moät haèng soá: φ IV (x) m Y(t) = − = a 4 (4.18) φ(x) EI Y (t) Töø ñaây daãn tôùi 2 phöông trình vi phaân thöôøng:
23. caùc haèng soá Ai ñöôïc tìm töø ñieàu kieän bieân cuûa daàm. Thí duï: E18.1, p 379-381. 4.2.2 Dao ñoäng doïc töï do cuûa thanh Xeùt thanh coù ñaëc tröng EA, m haèng soá. Khi q(x,t) = 0 thì phöông trình (4.11) coù daïng: ∂ 2u(x,t) ∂ 2u(x,t) m − EA = 0 (4.28) ∂t 2 ∂x 2 Taùch bieán: u(x,t) = φ(x)Y (t) (4.29) Phöông trình (4.28) vieát laïi döôùi daïng: φ II (x) m Y(t) = = −c 2 (4.30) φ(x) EA Y (t) Töø ñoù daãn tôùi hai phöông trình: Y(t) + ω 2Y (t) = 0 (4.31a) φ II (x) + c 2φ(x) = 0 (4.31b) c 2 EA vôùi ω 2 = (4.32) m Phöông trình (4.31a) coù nghieäm gioáng (4.21). Phöông trình (4.31b) coù nghieäm nhö sau: φ(x) = C1 cos(cx) + C2 sin(cx) (4.33)
24. 4.3.2 Ma traän ñoä cöùng uoán ñoäng löïc Xeùt daàm tieát dieän ñeàu, khoâng chòu löïc taùc duïng, phöông trình chuyeån ñoäng cuûa noù cho bôûi (4.13): m v IV (x,t) + v(x,t) = 0 (a) EI Chuyeån vò cöôõng böùc coù daïng: vi = vi0 sinωt (4.35) vôùi vi0 laø bieân ñoä chuyeån vò bieân vi . Chuyeån vò taïi moät ñieåm baát kyø cuûa daàm coù daïng: v(x,t) = φ(x)sin ωt (4.36) Phöông trình (a) ñöôïc vieát: φ IV (x) − a 4φ(x) = 0 (4.37) mω 2 trong ñoù: a 4 = (4.38) EI Nghieäm cuûa phöông trình (4.37) coù daïng: φ(x) = A1 sin(ax) + A2 cos(ax) + A3 sinh(ax) + A4 cosh(ax) (4.39) a phuï thuoäc vaøo taàn soá cöôõng böùc ω , khaùc vôùi a phuï thuoäc vaøo taàn soá töï nhieân ω theo (4.20).
25. s ≡ sin aL S ≡ sinh aL trong ñoù: c ≡ cos aL C ≡ cosh aL Phöông trình ma traän (4.41) coù theå vieát döôùi daïng kí hieäu ngaén goïn: v = Wη (4.42) Chuyeån vò vaø noäi löïc hai ñaàu thanh ñöôïc minh hoïa treân H.4.3 Mi Vi θi Vj vi θj vj Mj L x i j H.4.3 chuyeån vò vaø löïc nuùt Maët khaùc, noäi löïc vaø ñöôøng ñaøn hoài ñaàu thanh coù quan heä: ⎡Vi L⎤ ⎡ Lφx′′′=0 ⎤ ⎡−aL 0 aL 0 ⎤⎡A1 ⎤ ⎢V L⎥ ⎢− Lφ′′′ ⎥ ⎢acL −asL −aCL −aSL⎥⎢A ⎥ ⎢ j ⎥ = EI⎢ x=L ⎥ = EIa2 ⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢Mi ⎥ ⎢ φx′′=0 ⎥ ⎢ 0 −1 0 1 ⎥⎢A3 ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ′′ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ j ⎦ ⎣ −φx=L ⎦ ⎣ s c − S −C ⎦⎣A4 ⎦ (4.43)
26. Trong tröôøng hôïp tónh hoïc λ = 0 ta coù caùc heä soá cöùng sau: γ 0 = γ 0 = 12, β 0 = β 0 = 6, α 0 = α 0 = 4 Ñoà thò caùc heä soá cöùng ñoäng löïc theo tham soá taàn soá λ cho treân H.4.4. γ 0 = γ 0 = 12, β 0 = β 0 = 6, α 0 = α 0 = 4 Thí duï: E 20-1, p 350-353. 10 20 9 18 β γ 8 16 β 7 14 α 6 12 5 10 4 8 3 6 2 4 1 α 2 0 0 -1 -2 γ β -2 -4 β -3 -6 -4 -8 -5 -10 -6 -12 -7 -14 -8 -16 -9 -18 -10 -20 1 2 3 λ 5 6 123λ 5 6 H.4.4. Heä soá ñoä cöùng ñoäng löïc
27. Thay vaøo phöông trình treân, nhaän ñöôïc: C = 0 1 N(0) = AEφ′(L) = AEC2 c cos(cL) = 0 Töø ñaây cos(cL) = 0 2n −1 cL = π 2 2n −1 1 hay c = π n 2 L Do ñoù phöông trình dao ñoäng ñöôïc vieát nhö sau: 2n −1 x φ (x) = C sin( πc ) n 2 2 L Taàn soá dao ñoäng laø c 2 EA 2n −1 EA ω = n = π n m 2 mL2 Caùc daïng dao ñoäng ñöôïc theå hieän nhö treân hình veõ. Thí duï: Phaân tích dao ñoäng uoán töï nhieân cuûa daàm ñôn giaûn khoái löôïng vaø ñoä cöùng phaân boá ñeàu nhö hình veõ. Nghieäm cuûa baøi toaùn dao ñoäng uoán thanh nhö sau: φ(x) = A1 cos(ax) + A2 sin(ax) + A3 cosh(ax) + A4 sinh(ax)
28. φ(L) = A2 sin(aL) + A4 sinh(aL) = 0 2 φ′′(L) = a (−A2 sin(aL) + A4 sinh(aL)) = 0 Töø ñaây 2A4 sinh(aL) = 0 Vì haøm hyperbolic luoân khaùc khoâng neân A4 phaûi baèng khoâng. Vaäy phöông trình dao ñoäng ñöôïc vieát nhö sau: φn (x) = A2 sin(ax) Taïi x = L A2 sin(aL) = 0 aL = nπ 1 hay a = nπ n L Do ñoù phöông trình dao ñoäng ñöôïc vieát nhö sau: x φ (x) = A sin(nπ ) n 2 L EI Taàn soá dao ñoäng laø ω = nπ 2 n mL4 Caùc daïng dao ñoäng ñöôïc theå hieän nhö treân hình veõ. Thí duï 3: Xeùt heä khung chòu moâ men taùc duïng taïi nuùt, caùc ñaëc tröng veà ñoä cöùng vaø khoái löôïng cuûa töøng thanh a, b, c nhö treân hình veõ. Boû qua aûnh höôûng
29. (aL) a = 2.8; (aL) b = 3.5; (aL) c = 4.2 Töø H.4.4 suy ra ñöôïc α a = 3.338;α b = 2.00;α c = −2.90 (Coù theå aùp duïng coâng thöùc (4.49) ñeå tính) Thay vaøo phöông trình treân, xaùc ñònh ñöôïc ñoä EI cöùng ñoäng cuûa heä: k = 2.68 L M L Chuyeån vò taïi nuùt seõ laø: v = k −1M (t) = 0 sin ωt 2.68EI Chuù yù: EI Neáu ω 2 = (2.89) 4 (taàn soá löïc kích thích mL4 baèng taàn soá rieâng cuûa heä) thì (aL) a = 2.89; (aL) b = 3.66; (aL) c = 4.34 . Ñoä cöùng cuûa heä luùc naøy laø k = 0 .