Bài giảng Giải tích 1 - Nguyễn Hữu Hiệp

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Nguyễn Hữu Hiệp

1. 3.3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN Công thức độ dài 1 √ √ Z 3 x 1   √ x1 4 l(C) = + √ dx = x x + = 2 6 x 3 0 3 0 3.3.3 Thể tích vật thể tròn xoay Cho miền D giới hạn bởi y = f(x), Ox, x = a, x = b. Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi cho D quay quanh Ox và Oy là b R 2 VOx = π y dx a b R VOy = 2π |xy|dx a Chú ý • Khi D quay quanh Ox thì không được cắt Ox. Tương tự cho Oy. • Miền D giới hạn bởi Ox thì công thức tích phân theo x. Nếu D giới hạn bởi Oy thì ta có công thức tương tự bằng cách đổi vai trò x,y cho nhau. Ví dụ 3.15 Cho miền D giới hạn bởi : y = x2, y = x + 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho D quay quanh trục Ox và trục Oy. Phương trình hoành độ giao điểm x2 = x + 2 ⇐⇒ x = −1 ∨ x = 2. Công thức thể tích 2 Z 2 4 2 R 2 72 72 VOx = π x − (x + 2) dx = π (x − x − 2)dx = − = . −1 5 5 −1 Vì miền D cắt trục Oy nên công thức không đúng nữa. Ta bỏ qua VOy. Ví dụ 3.16 Cho miền D giới hạn bởi : y = x2 − 2x, y = x. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho D quay quanh trục Ox và trục Oy. Phương trình hoành độ giao điểm x2 − 2x = x ⇐⇒ x = 0 ∨ x = 3 a) VOx. Vì miền D bị cắt bởi trục Ox nên công thức không đúng. Bài này khó, ta không tính. b) VOy. Công thức 3 3 3 Z Z Z 2 2 3 27π VOy = 2π x(y1 − y2) dx = 2π x(x − 2x − x) dx = 2π (3x − x )dx = . 2 0 0 0 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 80 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
2. 3.3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN (f) y = xex, y = −x, x = 1. (g) 4OAB : A(2; 3),B(3; 2). 2. Tính độ dài đường cong √ (a) y = 2x − x2, 1/2 < x < 1 (b) y = ex, x = 0 1 x2 ln x (c) y = − , x = 1 3 2 4 √ (d) y = 2 1 + ex/2, x = 1 ln 9 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay √ −x (a) D : y = xe , y = 0, x = 2 Tính VOx. 2 (b) y = x , y = x + 2, x ≥ 0. Tính VOx,VOy. √ 2 (c) y = 4 − x , y = 0, y ≥ x. Tính VOx,VOy. 1 (d) y = x, y = , x = 2. Tính VOx,VOy. x (e) y = ln x, y = 0, x = 1, x = 2. Tính VOx,VOy. 4. Tính diện tích mặt tròn xoay √ 2 (a) C : y = 1 + x , x = 0 1/4. Tính SOx,SOy. (b) C : y = ln x, x = 1 e. Tính SOy. x2 5. Cho miền D giới hạn bởi y = 2x2, y = , y = x. 2 (a) Tính diện tích D. x2 (b) Tính độ dài đường cong C : y = , x ∈ [0, 1]. 2 (c) Tính diện tích mặt tròn xoay khi cho C quay quanh Ox và Oy. (d) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho D quay quanh Ox, Oy. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 82 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
3. 4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ví dụ 4.4 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy0 − y = 0 Bài giải Phương trình được viết lại dy dx Z dy Z dx y y = ⇐⇒ = ⇐⇒ ln |y| = ln |x| + C ⇐⇒ ln = C ⇐⇒ = eC y x y x x x Ví dụ 4.5 Tìm nghiệm của phương trình vi phân y0 = 3x2y, y(0) = 2 Bài giải Phương trình được viết lại dy 3 3 = 3x2dx ⇐⇒ ln |y| = x3 + C ⇐⇒ |y| = ex +C = eC .ex y y(0) = 2 =⇒ |2| = eC .e0 =⇒ eC = 2 3 Vậy nghiệm của phương trình là |y| = 2ex . Ví dụ 4.6 Giải phương trình vi phân y0 + 2xy = xy2. Bài giải Phương trình được viết lại dy dy = x(y2 − 2y) ⇐⇒ = xdx dx y2 − 2y dy 1 1 1 ⇐⇒ R = R xdx ⇐⇒ R ( − )dy = R xdx y2 − 2y 2 y − 2 y 2 1 y − 2 x y − 2 2 ⇐⇒ ln = + C ⇐⇒ = ex +2C 2 y 2 y √ Ví dụ 4.7 Giải phương trình vi phân x + xy2 + y 1 − x2y0 = 0 Bài giải Viết lại phương trình √ dy xdx ydy x(1 + y2) + y 1 − x2 = 0 ⇐⇒ √ + = 0 dx 1 − x2 1 + y2 √ 1 √ ⇐⇒ − 1 − x2 + ln |1 + y2| + C = 0 ⇐⇒ y2 = e2 1−x2+2C − 1 2 Ví dụ 4.8 Giải phương trình vi phân (4y − 2x)y0 = 2(x − 2y + 1)2, y(−1) = 0 (1). Bài giải Đặt u = x − 2y + 1 =⇒ u0 = 1 − 2y0. 1 − u0 2u2 du 2u2 + u − 1 (1) : −2(u − 1) = u2 ⇐⇒ u0 = + 1 ⇐⇒ = 2 u − 1 dx u − 1 u − 1 u − 1 ⇐⇒ du = dx ⇐⇒ R du = R dx 2u2 + u − 1 2u2 + u − 1 2 1 ⇐⇒ ln |u + 1| − ln |2u − 1| = |x| + C 3 6 2 1 ⇐⇒ ln |x − 2y + 2| − ln |2x − 4y + 1| = |x| + C 3 6 y(−1) = 0 =⇒ C = −1. 2 1 Vậy nghiệm là ln |x − 2y + 2| − ln |2x − 4y + 1| = |x| − 1 3 6 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 84 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
4. 4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Phương trình trở thành du dx Z du Z dx −1 y 1 = ⇐⇒ = ⇐⇒ ln |u+1| = ln |x|+C ⇐⇒ | +1| = e−2C . −u − 2 − u x −2u − 2 x 2 x x2 Ví dụ 4.11 Giải phương trình vi phân xy0 = x + 2y, y(1) = 3 Bài giải y Chia 2 vế cho x ta được y0 = 1 + 2 x y Đặt u = =⇒ f(u) = 1 + 2u x Phương trình trở thành du dx du dx = ⇐⇒ R = R 1 + 2u − u x 1 + u x ⇐⇒ ln |u + 1| = ln |x| + C ⇐⇒ |u + 1| = eC |x| y ⇐⇒ | + 1| = eC |x| x y(1) = 3 =⇒ |3 + 1| = eC .|1| =⇒ eC = 4 y Vậy nghiệm là | + 1| = 4|x|. x Ví dụ 4.12 Giải phương trình vi phân xy2y0 = x3 + y3. Bài giải x2 y Chia 2 vế cho xy2 ta được y0 = + . y2 x y 1 Đặt u = =⇒ f(u) = + u x u2 Phương trình vi phân trở thành du dx R 2 R dx 1 = ⇐⇒ u du = u2 + u − u x x u3 ⇐⇒ = ln |x| + C ⇐⇒ u = p3 3(ln |x| + C) 3 ⇐⇒ y = xp3 3(ln |x| + C) 2x − y Ví dụ 4.13 Giải phương trình vi phân y0 = 3x − 4y + 5 4.1.3 Phương trình vi phân toàn phần Dạng ( P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 0 0 Py = Qx Nghiệm là U(x, y) = C. Trong đó R x R y U(x, y) = P (x, y0)dx + Q(x, y)dy x0 y0 R x R y = P (x, y)dx + Q(x0, y)dy x0 y0 với (x0, y0) được chọn tùy ý. Thường chọn (x0, y0) = (0, 0) Đại học Bách khoa TPHCM Trang 86 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
5. 4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (x,y) Trong đó U(x, y) = R P dx + Qdy (1,0) Chọn đường đi (1, 0) −→ (x, 0) −→ (x, y) x y Z Z 1 y3 y U(x, y) = 1dx + (y2 + )dy = x − 1 + + x 3 x 1 0 y3 y Nghiệm tổng quát là x + + = C 3 x y(1) = 0 =⇒ 1 + 0 = C =⇒ C = 1 y3 y Vậy nghiệm là x + + = 1 3 x Ví dụ 4.18 Bài giải x x x Giải phương trình vi phân (x + e y )dx + e y (1 − )dy = 0, y(0) = 1. y x x Ta có P 0 = Q0 = − e y do đó nghiệm tổng quát có dạng U(x, y) = C. y x y2 (x,y) Trong đó U(x, y) = R P dx + Qdy (0,1) Chọn đường đi (0, 1) −→ (0, y) −→ (x, y) y x 2 2 Z Z x x x x x U(x, y) = 1.dy + (x + e y )dx = y − 1 + + y(e y − 1) = + ye y − 1 2 2 1 0 2 x x Nghiệm tổng quát là + ye y = C 2 y(0) = 1 =⇒ 0 + 1.e0 = C =⇒ C = 1 2 x x Vậy nghiệm là + ye y = 1 2 4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính Dạng y0 + p(x)y = q(x) R • Tìm hàm h(x) = e p(x)dx • Suy ra nghiệm 1 Z  y(x) = f(x)q(x)dx + C h(x) Chú ý: có nhiều hàm h(x). Ta có thể chọn một hàm h(x) tùy ý. x Ví dụ 4.19 Giải phương trình vi phân y0 + (3x2 + √ )y = 0 3 − x2 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 88 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
6. 4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ví dụ 4.23 Giải phương trình vi phân (x2 + 1)y0 + 4xy = 3. Bài giải 4x 3 Phương trình được viết lại y0 + y = . x2 + 1 x2 + 1 4x 3 p(x) = , q(x) = . x2 + 1 x2 + 1 R 4x dx 2 2 2 h(x) = e x2+1 = e2 ln |x +1| = eln(x +1) = (x2 + 1)2 1 3 =⇒ y(x) = (R .(x2 + 1)2dx + C) (x2 + 1)2 x2 + 1 1 1 = (R (3x2 + 3)dx + C) = (x3 + 3x + C) (x2 + 1)2 (x2 + 1)2 Ví dụ 4.24 Giải phương trình vi phân (1 − x)(y0 + y) = e−x, y(0) = 0. Bài giải e−x Phương trình được viết lại y0 + y = . 1 − x e−x p(x) = 1, f(x) = . 1 − x R h(x) = e 1dx = ex e−x =⇒ y(x) = e−x(R .exdx + C) 1 − x dx = e−x(R + C) = e−x(− ln |1 − x| + C). 1 − x y(0) = 0 =⇒ 0 = 1(0 + C) =⇒ C = 0. Vậy nghiệm là y(x) = −e−x ln |1 − x| 4.1.5 Phương trình vi phân Bernulli Phương trình Bernouli có dạng y0 + p(x)y = f(x).yα, α 6= 0, 1. Phương pháp: Đặt z = y1−α đưa về dạng tuyến tính. Ví dụ 4.25 Giải phương trình vi phân xy0 + y = xy2 ln x, y(1) = 1. Bài giải Ta có α = 2 nên nhân 2 vế cho y−2, ta được y−1 y−2y0 + = ln x x Đặt z = y1−α = y−1 =⇒ z0 = −1.y−2.y0. Ta viết lại phương trình z 1 −z0 + = ln x ⇐⇒ z0 − z = − ln x x x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 90 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
7. 4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 0 y Ví dụ 4.29 Giải phương trình vi phân: xy = xe x + y, y(1) = 0 Bài giải 0 y y Viết lại phương trình y = e x + (dạng đẳng cấp) x y Đặt u = , f(u) = eu + u x du dx Phương trình được viết lại theo công thức = f(u) − u x Z Z du dx −u dx −u − y = ⇐⇒ e du = ⇐⇒ −e = ln |x| + C ⇐⇒ −e x = ln |x| + C. eu + u − u x x y(1) = 0 =⇒ −e0 = 0 + C =⇒ C = −1 − y Vậy nghiệm tổng quát là −e x = ln |x| − 1. Ví dụ 4.30 Giải phương trình vi phân (x4 + 6x2y2 + y4)dx + 4xy(x2 + y2)dy = 0, y(0) = 0 Bài giải 0 0 2 3 Py = Qx = 12x y + 4y do đó nghiệm tổng quát có dạng U(x, y) = C. (x,y) Trong đó U(x, y) = R P dx + Qdy (0,0) Chọn đường đi (0, 0) −→ (x, 0) −→ (x, y) x y Z Z x5 U(x, y) = x4dx + 4xy(x2 + y2)dy = + 2x3y2 + xy4. 5 0 0 x5 Nghiệm tổng quát là + 2x3y2 + xy4 = C 5 y(0) = 0 =⇒ C = 0 x5 Vậy nghiệm là + 2x3y2 + xy4 = 0 5 2 dy Ví dụ 4.31 Giải phương trình vi phân e1+x tan ydx = . x Bài giải Viết lại phương trình ở dạng tách biến 2 dy Z 2 Z cos y 1 2 xex +1dx = ⇐⇒ xex +1dx = dy ⇐⇒ ex +1 = ln | sin y| + C tan y sin y 2 Ví dụ 4.32 Giải phương trình vi phân: xy0 = y + x2, y0(0) = 0. Bài giải y Viết lại phương trình y0 − = x (dạng tuyến tính) x 1 p(x) = − , f(x) = x x R −1 dx − ln |x| 1 h(x) = e x = e = x Z 1 =⇒ y(x) = x( x. + C) = x(x + C) x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 92 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
8. 4.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN y(0) = 0 =⇒ 0 = 1(0 + C) =⇒ C = 0 √ arcsin x Vậy nghiệm là y(x) = 1 − x2. . 2 2xy + 3 Ví dụ 4.36 Giải phương trình vi phân y0 = , y(1) = 2. x2 Bài giải 2 3 Viết lại phương trình y0 − y = (dạng tuyến tính) x x2 −2 3 p(x) = , f(x) = x x2 R −2 dx −2 ln |x| ln x−2 1 h(x) = e x = e = e = x2 Z 3 1  −1 =⇒ y(x) = x2 . dx + C = x2( + C). x2 x2 x3 y(1) = 1 =⇒ 1 = 1(−1 + C) =⇒ C = 2 −1 Vậy nghiệm là y(x) = + Cx2 x Bài tập 2 1. x3y0 = y(x2 + y2). 8. ex (y0 + 2xy) = x √ p 2 2 0 2 − y 2. 1 − y dx + y 1 + x dy = 0. 9. xyy − y + xe x = 0, y(1) = 0. (xy2 + x)dx + (y − x2y)dy = 0 0 y 3. . 10. xy − y = x tan x . 4. y2 + x2y0 = xyy0. y y4 11. 3y0 − √ = √ , y(0) = 1. √ 2 2 5. xy0 + y 1 − x2 = 0, y(1) = 1. x + 1 x + 1 √ 1 − x2 + 1 √ 2y − 3x + 1 ĐS: ln |y| + ln √ = 1 − x2. 12. y0 = . 1 − x2 − 1 6x − 4y + 2 1 1 y y2 ĐS: − (2y − 3x + 1) + ln |8y − 12x + 4| = 6. y0 − = , y(0) = 2. 4 8 x + 1 x + 1 x + C. p √ 7. 1 − y2dx + y 1 − x2dy = 0 13. (2y3 − x2y)y0 = xy2 − 2x3. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 94 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
9. 4.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 00 3 2 2 −2x =⇒ yr = (4Ax + 4Bx − 12Ax − 8Bx + 6Ax + 2B)e Thế vào (*) ta được  1 ( A = −8B + 6A + 8B = 2  3 (−8Bx + 6Ax + 2B) + 4.2Bx + 0 = 2x + 1 ⇐⇒ ⇐⇒ 1 2B = 1 B =  2 −2x −2x 2 1 1 −2x Vậy nghiệm y = C + C2xe + x ( x + )e e 3 2 Ví dụ 4.39 Giải phương trình vi phân y00 + 4y = (2x2 + 3)e−2x (*). Bài giải a) Phương trình đặc trưng k2 + 4 = 0 ⇐⇒ k = 0 ± 2i. 0x Nghiệm thuần nhất y0 = e (C1 cos 2x + C2 sin 2x) b) f(x) = (2x2 + 3)e−2x : α = −2 =⇒ s = 0. 2 −2x yr = (Ax + Bx + C)e 0 2 −2x =⇒ yr = (−2Ax − 2Bx − 2C + 2Ax + B)e 00 2 −2x =⇒ yr = (4Ax + 4Bx + 4C − 8Ax − 4B + 2A)e Thế vào (*) (4Ax2 + 4Bx + 4C − 8Ax − 4B + 2A) + 4(Ax2 + Bx + C) = 2x2 + 3.   1 4A + 4A = 2 A =   4 ⇐⇒ 4B − 8A + 4B = 0 ⇐⇒ 1 7 .  B = C = 4C − 4B + 2A + 4C = 3  4 16 1 2 1 7 −2x Vậy nghiệm là y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + ( x + x + )e . 4 4 16 Ví dụ 4.40 Giải phương trình vi phân y00 + 6y0 + 8y = x(e−x + e−2x) −2x −4x 1 4 −x 1 2 1 −2x ĐS: y = C1e + C2e + ( x − )e + ( x − x)e 3 9 4 4 Ví dụ 4.41 Giải phương trình vi phân y00 − 2y0 + y = e2x sin x (*) 2 a) Phương trình đặc trưng k − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k1 = k2 = 0 x x Nghiệm thuần nhất y0 = C1e + C2xe b) f(x) = e2x sin x : α + βi = 2 + i =⇒ s = 0 2x yr = e (A cos x + B sin x). 0 2x yr = e (3A cos x + 3B sin x − A sin x + B cos x) 00 2x yr = e (3A cos x + 3B sin x − 4A cos x + 4B sin x). Thế vào (*): (3A cos x + 3B sin x − 4A cos x + 4B sin x) −2(3A cos x + 3B sin x − A sin x + B cos x) +(A cos x + B sin x) = sin x  1 A = − ⇐⇒ 2 B = 0 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 96 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
10. 4.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 00 1 1 Bài 6. y + 4y = 2 sin 2x − cos 2x ĐS: y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x(− cos 2x − sin 2x) 2 4 Bài 7. y00 + 5y0 + 6y = e−2x(x2 + 3x − cos x) −2x −3x 1 2 1 −2x −2x 1 1 ĐS: y = C1e + C2e + x( x + x − 1)e + e ( cos x − sin x). 3 2 2 2 4.3 Hệ phương trình vi phân 4.3.1 Ánh xạ đạo hàm Định nghĩa 4.1 Cho D : C1(R) → C thỏa D(x(t)) = x0(t) gọi là ánh xạ đạo hàm Ví dụ 4.44 a) Cho x = e2t + 3t2. 4.3.2 Hệ phương trình vi phân ( x0 = x − 2y + 3t Ví dụ 4.45 Giải hệ phương trình vi phân y0 = 2x − 4y + et ( Dx = x − 2y + 3t Ta viết lại hệ Dy = 2x − 4y + et  1 1 1 x = 2C + C e−3t − et + 2t2 − t −  1 2 2 3 3 Nghiệm 2 y = C + C e−3t + t2 − t.  1 2 3 ( x0 = −x + 3y + 2te−2t (1) Ví dụ 4.46 Giải hệ phương trình vi phân y0 = 2x + 4y − e−2t (2) Bài giải ( (D + 1)x − 3y = 2te−2t (1) a) Viết lại hệ −2x + (D − 4)y = −e−2t (2) (D-4)(1)+3(2): (D − 4)(D + 1)x − 6x = (−4t + 2)e−2t + 2te−2t − 3e−2t ⇐⇒ (D2 − 3D − 10)x = (−12t − 1)e−2t (3) b) Phương trình đặc trưng k2 − 3k − 10 = 0 ⇐⇒ k = −2 ∨ k = 5 5t −2t+C2e Nghiệm thuần nhất y0 = C1e f(t) = (−12t − 1)e−2t : α = −2 =⇒ s = 1 −2t 2 −2t =⇒ xr = t(At + B)e = (At + Bt)e 0 2 −2t =⇒ xr = (−2At − 2Bt + 2At + B)e Đại học Bách khoa TPHCM Trang 98 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
11. 4.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ( x0 = 2x + y + e2t cos 2t Ví dụ 4.48 Giải hệ phương trình vi phân y0 = −x + y + e2t sin 2t ( x0 = 2x + y + t2 (1) Ví dụ 4.49 Giải hệ phương trình vi phân y0 = −x + 2y + cos t (2) ( (D − 2)x − y = t2 (1) Viết lại hệ x + (D − 2)y = cos t (2) (D − 2)pt(1) + pt(2) : (D2 − 4D + 5)x = 2t − 2t2 + cos t (3) a) Phương trình đặc trưng k2 − 4k + 5 = 0 ⇐⇒ k = 2 ± i 2t Nghiệm thuần nhất x0 = e (C1 cos t + C2 sin t). b) Giải x00 − 4x0 + 5x = 2t − 2t2 (3a) f(t) = 2t − 2t2 : α = 0 =⇒ s = 0 2 2 6 4 =⇒ x1 = At + Bt + C. Đạo hàm thế vào (3a) suy ra A = − ,B = − ,C = − 5 25 125 2 2 6 4 Suy ra x1 = t − t − . 5 25 125 c) Giải x00 − 4x0 + 5x = cos t (3b) f(t) = cos t : α + βi = i =⇒ s = 0 =⇒ x2 = A cos t + B sin t. 3 1 Đạo hàm thế vào (3b) suy ra x2 = − cos t + sin t 8 8 2t 2 2 6 4 3 1 Vậy x = e (C1 cos t + C2 sin t) + t − t − − cos t + sin t 5 25 125 8 8 Từ (1) suy ra y = x0 − 2x − t2 1 14 22 3 1 = e2t((C − 2C ) cos t(C − 2C ) sin t) − t2 − − − cos t + sin t. 2 1 1 2 5 25 125 8 8 Bài Tập Giải hệ phương trình vi phân sau ( x0 = 3x + 2y + te2t Bài 1. y0 = 2x + 6y − 6e2t 2t 1 7t 8 2 266 118 2t 2t 7t 1 2 32 2t ĐS: x = −4C1e + C2e + (− t − t + )e y = C1e + C2e + (− t − t)e 2 5 25 25 5 25 ( x0 = 3x − y + tet Bài 2. y0 = 4x − y − 2et t 1 3 3 2 t t 2 3 2 t ĐS:x = (C1 + tC2)e + ( t + t )e , y = (2C1 + C2 + 2C2t)e + ( t + 2t − 2t)e . 3 2 3 ( x0 = −x + 3y + e2t cos t Bài 3. y0 = 2x + 4y − e2t sin t −2t 1 5t 2t 3 5 −2t 5t 2t −1 ĐS:x = −3C1e + C2e + e ( cos t + sin t), y = C1e + C2e + e ( cos t + 2 17 17 17 4 sin t) 17 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 100 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
12. 4.5. BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN a) D : y = x, y = arctan x, x = 1. Tính VOy √ √ 2 b) D : y = x + 1, y = x + 1, x = 1. Tính VOx,VOy. Bài 7. Tính diện tích mặt tròn xoay √ 1 1 a) C : y = x(x − 3 ), x ∈ [0, 3 ]. Tính SOx,SOy √ 2 b) C : y = x − x . Tính SOx,SOy. x2 Bài 8. Cho miền D giới hạn bởi y = 2x2, y = , y = x. 2 a) Tính diện tích D. x2 b) Tính độ dài đường cong C : y = , x ∈ [0, 1]. 2 c) Tính diện tích mặt tròn xoay khi cho C quay quanh Ox và Oy. d) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho D quay quanh Ox, Oy. Bài 9. Giải phương trình vi phân cấp 1 a) x3y0 = y(x2 + y2). p √ b) 1 − y2dx + y 1 + x2dy = 0, y(0) = 0. c) (xy2 + x)dx + (y − x2y)dy = 0, y(1) = 2. d) y2 + x2y0 = xyy0, y(1) = 1. √ e) xy0 + y 1 − x2 = 0, y(1) = 1. √ 1 − x2 + 1 √ ĐS: ln |y| + ln √ = 1 − x2. 1 − x2 − 1 y y2 f) y0 − = , y(0) = 2. x + 1 x + 1 p √ g) 1 − y2dx + y 1 − x2dy = 0, y(2) = 1 2 h) ex (y0 + 2xy) = x, y(1) = 1 0 2 − y i) xyy − y + xe x = 0, y(1) = 0. 0 y j) xy − y = x tan x , y(−1) = 1. y y4 k) 3y0 − √ = √ , y(0) = 1. x2 + 1 x2 + 1 2y − 3x + 1 l) y0 = , y(0) = 1. 6x − 4y + 2 Bài 10. Giải phương trình vi phân cấp 2 Bài 11. Giải hệ phương trình vi phân. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 102 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
13. 4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN +∞ R dx Câu 5. Tính tích phân 2 . 0 (x + x + 1)(x + 2) Câu 6. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3e−x. Câu 7. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi y = −x2 và y = x2 − 2x − 4. Đề số 4 Câu 1 Giải phương trình vi phân y0 + 3x2y = 3x2 + 3x5. Câu 2 Giải phương trình vi phân y00 + 3y0 + 2y = 2x + 3 + 6ex. 0 1 R e x Câu 3 Tính tích phân hoặc chứng tỏ phân kỳ I = 3 dx. −1 x +∞ Câu 4 Tính tích phân I = R e−x cos 2xdx. 0 2 1 Câu 5 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x e x . √ x Câu 6 Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi y = , y = 0, x = 1. 1 + x3 Đề số 5 Câu 1 Giải phương trình vi phân xdy − ydx = 3x2 sin xdx. Câu 2 Giải phương trình vi phân y00 − 4y0 + 13y = (x2 + 4x)e2x. ( x0(t) = 4x + y + 2t + 1, Câu 3 Giải hệ phương trình vi phân y0(t) = 7x − 2y + 3t +∞ dx Câu 4 Tìm α để tích phân R √ hội tụ. Tính Tích phân với α = 1. √ α 2 2 (x − 1) x − 2 3 dx Câu 5 Tính tích phân suy rộng I = R . p 2 3 1 (4x − x − 3) Câu 6 Tính diện tích mặt tròn xoay khi cho đường cong C : y = x2, x = 0 7→ 1 quay quanh trục Ox và Oy. Câu 7 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x2 ln x. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 104 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
14. 4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN √ Câu 4. Cho miền D giới hạn bởi y = x2 + 1, y = ex, x = 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho D quay quanh trục Ox và Oy. Câu 5. Giải phương trình vi phân a) (yexy + 4xy)dx + (xexy + 2x2 + 3)dy = 0. b) (x + y)y0 = (x + y)2 + 1. c) y00 − 4y0 + 3y = cos x + xe3x. ( x0 = x + y + 2et, Câu 6. Giải hệ phương trình vi phân y0 = 3x − y − 3t. Đề số 9: Dự thính 12/2013 x − 1 Câu 1) Khảo sát và vẽ đồ thị y = . e2x +∞ R (2x + 3)dx Câu 2) Cho tích phân I = α 2 0 (x + 1) (x + 4x + 5) (a) Tìm α để I hội tụ (b) Tính I với α = 1. Câu 3) Tính VOx,VOy với D : y = log3 x, y = 4 − x, y = 0. Câu 4) Giải PTVP (x2 + 4)y0 − 2xy = 6x. Câu 5) Giải PTVP y00 − 6y0 + 8y = 6 cos 3x. ( x0 = 7x + 3y + e10t, Câu 6) Giải PTVP y0 = 6x + 4y + 2e10t. Chính quy: 2013-2014. Ca 1 p √ Câu 1 Giải PTVP x y2 + 2xy + 2x2dx = (2xy + 3x2)dy − (2y2 + 3xy)dx, y(1 + 2) = 0 Câu 2 Giải PTVP y00 − 5y0 + 6y = (x + 2)e2x.  x0 = 7x − 12x + 6x  1 1 2 3 0 Câu 3 Giải hệ PTVP x2 = 10x1 − 19x2 + 10x3  0 x3 = 12x1 − 24x2 + 13x3. x2 Câu 4 Khảo sát và vẽ đồ thị y = . |x − 2| 3 6 Câu 5 Tính diện tích miền D : y2 − x2 = 1, y = x − 1, x = . 2 5 4 3 Câu 6 Tính tích phân I = R √ dx. 2 2 (x − 1) 6x − x − 8 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 106 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
15. 4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Đề Học Lại - II/2012-2013 Câu 1. Giải phương trình vi phân (a) y0 cos x + y = 1 − sin x (b) y00 − 3y0 + 2y = 2ex ( x0 = x + 3y − cos t − sin t Câu 2. Giải phương trình vi phân y0 = x + 3y + sin t +∞ dx Câu 3. Cho tích phân I = R √ . Tìm điều kiện để tích phân hội tụ và tính tích m 2 1 x x + 8x + 4 phân khi m = 1. Câu 4. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho miền D giới hạn bởi y = ln x, y = 0, x = 2 quay quanh trục Ox. 1 Câu 5. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = xe x . Đề ôn tập hè 2014 Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = (x − 1)ex +∞ xαdx Câu 2. Cho tích phân I = R √ 2 1 (x + 1) 2x − x + 3 a) Tìm α để tích phân hội tụ. b) Tính tích phân khi α = 1 Câu 3. Cho miền D : y = x2, x = y2. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi cho D quay quanh trục Ox và trục Oy. Câu 4. Giải phương trình vi phân cấp 1: y2 + x2y0 = xyy0, y(1) = 1. Câu 5. Giải phương trình vi phân cấp 2: y00 − 3y0 − 4y = 2x2e−x, y(0) = y0(0) = 0. ( x0 = −x + 5y + t Câu 6. Giải hệ phương trình vi phân y0 = 2x + 8y + tet Đại học Bách khoa TPHCM Trang 108 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp
16. 4.6. ĐỀ THI CUỐI KỲ CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chính quy: 2013-2014. Ca 2 1) y = x cos x + x2 sin x + Cx. x 1 1 x 1 1 2) ytq = C1 cos 2x + C2 sin 2x − cos 2x + sin 2x + , yr = − cos 2x + sin 2x + ,. 4 4 4 4 8 4 00 0 2t 5t −3t 1 2t 8 1 0 2t 3) x + 2x + 15x = e − 8, x = C1e + C2e − e + , y = (x − x − e ). 15 15 8 4) Tiệm cận y = 1. Cực đại (1; 1), cực tiểu (0; 0). 8π 5) Vy = . 3 √ ln 3 π 3 6) I = − . 2 18 7) α − . 2 √ 1 π 3 3. I = − . 3 27 π 4. VOy = . 6 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 110 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp