Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học Phần tử và hệ thống liên tục - Nguyễn Tấn Phúc

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học Phần tử và hệ thống liên tục - Nguyễn Tấn Phúc

1. Chương 2: Mô tả toán học Phần tử và hệ thống liên tục 2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái. •3 2.1 Phương trình vi phân Tng quát, quan h gi a tín hi u vào, tín hi u ra ca mt h th ng liên tc tuy n tính bt bi n SISO có th mô t bng ph ươ ng trình vi phân tuy n tính h s hng: dynn dy−1 dr mm dr− 1 a+ a ++ ay(t)b = + b ++ br(t) nndtnn−1 dt−1 0 mm dt mm− 1 dt − 1 0 ai , b i : thông s c a h th ng (kh i l ư ng, ma sát, R,L,C, ) r(t) : tín hi u vào y(t) : tín hi u ra n = b c c a h th ng = b c ph.trình vi phân Vi h th ng th c t : m ≤ n (nguyên lý nhân qu ) •4 GV. NGUY N TH HÙNG 2
2. Ví dụ 2.3: Đặc tính động học vận tốc xe ôtô v(t) f(t) b dv m+ bv(t) = f(t) dt m : kh i l ư ng xe b : h s c n c a không khí (ma sát nh t)
   Tín hi u vào: L c ñ y c a ñ ng c ơ, f(t)
   Tín hi u ra: v n t c c a xe , v(t) •7 Ví dụ 2.4: Bộ giảm xóc của xe ôtô, xe máy m : kh i l ư ng, [kg] b : h s ma sát nh t, [N.s/m] k : ñ c ng lo xo, [N/m]
   Tín hi u vào: l ư ng di ñ ng r(t), [m]
   Tín hi u ra: l ư ng di ñ ng y(t), [m] dy2 dy dr m+ b + ky(t) = b + kr(t) dt 2 dt dt •8 GV. NGUY N TH HÙNG 4
3. 2.2 Phép biến đổi Laplace Nghieäm y(t) Nghieäm Y(s) •11 2.2 Phép biến đổi Laplace 2.2.1 Định nghĩa • Cho hàm thời gian f(t) xác định với mọi t ≥ 0, biến đổi Laplace của f(t) là: ∞ F(s)= L[f (t)] = ∫ f (t)e−st dt 0 s : bi n Laplace (bi n s ph c) L : toán t bi n ñ i Laplace F(s): bi n ñ i Laplce hay nh Laplace c a f(t) Bi n ñ i Laplace t n t i khi tích phân trong bi u th c ñ nh ngh ĩa trên là h i t (h u h n). •12 GV. NGUY N TH HÙNG 6
4. 2.2 Phép biến đổi Laplace 2a) Nếu các điều kiện đầu khác 0 n Lf[(n ) ( t )]= sFs n ( )− ∑ s nii− f ( − 1) (0) i=1 &&2 & L[f(t)]= s F(s) − sf(0) − f(0) (3) 3 2 & && L[f (t)]= sF(s) − sf(0) − sf(0) − f(0) 2b) N u các ñiu ki n ñ u = 0 Lf[(n ) ( t )]= sFs n ( ) Ví d , xét ptvp: 300&&y(t)+ 5y(t) & + 20 y(t) = 100 r(t) Bi n ñ i Laplace 2 v v i ðKð =0 ta ñư c: 300sY(s)2 + 5 sY(s) + 20 Y(s) = 100 R(s) (300 s2 + 5 s + 20 )Y(s) = 100 R(s) •15 2.2 Phép biến đổi Laplace 3) Ảnh của tích phân t  F( s ) L ftdt( ) = ∫  s 0  4) nh c a hàm tr f(t-T) = f(t) khi t ≥ T = 0 khi t<T L[f(t− T)] = e−Ts F(s) 5) nh c a tích ch p ÑN t t f(t)*f(t)= f().f(t τ −ττ= )d f(t −τ ).f()d ττ 12∫0 12 ∫ 0 1 2 L[f1 (t)*f 2 (t)]= F(s).F 12 (s) •16 GV. NGUY N TH HÙNG 8
5. 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 2) Hàm xung đơn vị (xung Dirac) ∞ h a→0 δ (t) 1 t t 0 a 0 ∞0 + 0 + L[δ (t)] = ∫δ(t)e−st dt =δ ∫ (t)e − 0 dt =δ= ∫ (t)dt 1 0 0 0 3) Hàm m ũ e -αααt (ααα <0 ) ∞ ∞ e−(s +α )t ∞ 1 L[e−α t ] = ∫e−α−t edt st= ∫ e −+α (s)t dt = − = s+α0 s +α 0 0 •19 2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản 4) Hàm dốc đơn vị t.1(t) t khi t ≥ 0 r(t)= t.1(t) =  0 khi t < 0 0 t Ly tích phân tng ph n e−st udv= uv − vdu u= t ; v = ∫ ∫ −s ∞te−st∞ ∞ e − st 11 L[t.1(t)]= te−st dt = + dt =+= 0 ∫0 ∫ 2 2 0−s 0 s s s Theo cách t ươ ng t , ta tính ñư c nh c a t 2, t 3, t n Cũng có th dùng tính ch t nh c a tích phân: t  L[1(t)] 1 L[t.1(t)]= L∫ 1(t)dt  = = 2 0  s s •20 GV. NGUY N TH HÙNG 10
6. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Bài toán : Biết hàm Y(s) , tìm hàm thời gian y(t)=? Y(s) thường có dạng tỉ số của hai đa thức theo s: bsm+ b s m− 1 + b + P(s) m m1− 0 (m<n) Y(s) = = n n− 1 Q(s) asn+ a n1− s + a + 0
   PP gi i: Phân tích Y(s) thành t ng các phân th c ñơ n gi n, sau ñó áp d ng các công th c cơ b n. n n −1 − 1 y(t)= L [Y(s)] =∑ L [Y(s)]i = ∑ y(t) i i1= i1 =
   Cách phân tích Y(s) hoàn toàn ph thu c vào lo i nghi m c a m u s Q(s) ( nghi m ñơ n/ b i/ ph c). •B môn : C ơ ðin T •23 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 1) Mẫu số của Y(s) chỉ có nghiệm đơn Gi s Q(s) có n nghi m ñơ n s 1 , s 2 , , s n Khi ñó có th phân tích : Q(s)= an1 (s − s)(s − s 2 ) (s − s n ) P(s) AA A A Y(s)= =12 + ++ i ++ n Q(s)ss−−12 ss ss − i ss − n Các h s A i (i=1,2, ,n) xác ñ nh b i: A= lim[(s − s).Y(s)] =− [(s s).Y(s)] i i i s= s i s→ s i   −1 Ai si t Tra b ng ta có: L  = Ai e s− s i  n sti12 st st st n ⇒ y(t)=∑ Aei12 = Ae + Ae ++ Ae n i= 1 •B môn : C ơ ðin T •24 GV. NGUY N TH HÙNG 12
7. 18s+ 126 Y (s) = s(s2 + 23s + 126) 4 9 y(t)1= + e−9t − e − 14t 5 5 •B môn : C ơ ðin T •27 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 2) Mẫu số của Y(s) có nghiệm bội Gi s Q(s) có (n-r) nghi m ñơ n s 1 , s 2 , , s n-r và m t nghi m b i s k lp r l n Khi ñó có th phân tích : r Q(s)=− an (s s) (s 1 − s nr− )(s − s k ) A A B BB Y(s)=++1 nr− + r ++ 2 + 1 ssss− −r 2 ss − 1 n− r ()ss−k() ss − k k Ai= lim [(s − s i ).Y(s)] ( i=1,2, ,n-r) s→ s i 1 d r− i  r  ( i=r,r-1, ,1) Bi = limr− i  (s − sk ) .Y(s)   (r− i)! s→ s k ds  •B môn : C ơ ðin T •28 GV. NGUY N TH HÙNG 14
8. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược   d2  d 5s+ 24  B1 = lim [(s + 3) Y(s)]  = lim    s3→−ds  s3 →−  dss(s4)+   u  ' uv′− vu ′ Lu ý:   = v  v2 5s(s+− 4) (2s + 4)(5s + 24) 3 1 B1 = lim = = s→− 3 s2 (s+ 4) 2 9 3 21 3 1 ⇒ Y(s) =− − + 3s() s+ 4()s+ 3 2 3(s + 3) 2 1 ⇒ y(t)=− e−4t − 3te − 3t + e − 3t 3 3 •B môn : C ơ ðin T •31 3s+ 40 Y (s) = s(s+ 5)(s + 3) 2 85 31 13 y(t)=- e−5t - te − 3t + e − 3t 94 6 36 •Bài gi ng : Lý Thuy t ðiu Khi n T •32 ð ng GV. NGUY N TH HÙNG 16
9. 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược Nhận xét : Có thể đưa kết quả về dạng hàm sin hay cos của tổng/hiệu. α β  αω±βω=α+βsint cost2 2  sint ω± cost ω  22 22  α+β α+β  =α+β2 2 (sin ω tcos ϕ± cos ω tsin ϕ ) = α+β2 2 sin( ω±ϕ t ) Trong ñó : α β ϕ =arccos = arcsin α+β22 α+β 22 •B môn : C ơ ðin T •35 2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược 2s+ 5 Ví dụ: Tìm y(t) biết Y(s) = s(s2 + 6s + 25) Gi i. Mu s c a Y(s) có m t nghi m ñơ n s=0 và hai nghi m ph c p 1,2 =-3± 4j nên có th phân tích : 2s+ 5 A C (s+ 3) + 4C Y(s) = = + 1 2 s(s2++ 6s 25) s s 2 ++ 6s 25 (A+ C)s2 +++ (6A 3C 4C)s + 25A Y(s) = 1 1 2 s(s2 + 6s + 25) So sánh v i Y(s) ñã cho, ta ñư c: 25A= 5 A= 1/5 A+ C1 = 0 ⇒ C1 = − 1/5 6A+ 3C1 + 4C 2 = 2 C2 = 7/20 •B môn : C ơ ðin T •36 GV. NGUY N TH HÙNG 18
10. •Tìm Hàm y(t) bi t : 15s+ 225 Y (s) = s(s2 + 18s + 225) 1 y(t)= 1- e−9t cos12t + e − 9t sin12t 2 •B môn : C ơ ðin T •39 Bài tập: Cho Y(s), tìm y(t)=? s+ 20 2 17 3 Y(s) = y(t)= − e−3t + e − 5t s(2s2 + 16s + 30) 3 12 4 6s+ 15 15−t 3 − 4t 1 − 4t Y(s) = 2 y(t)= - e - te + e s(s+ 1)(s + 8s + 16) 16 4 16 s+ 5 Y(s) = −2t π  2 y(t)= 1 − 2e sin t +  s(s+ 4s + 5) 4  •B môn : C ơ ðin T •40 GV. NGUY N TH HÙNG 20
11. 2.3 Hàm truyền 2) Nh n xét
    Khái ni m hàm truy n ch dùng cho h th ng (hay ph n t ) tuy n tính b t bi n.
    Hàm truy n ch ph thu c vào các thông s và b c c a h th ng mà không ph thu c vào lo i và giá tr c a tín hi u vào, tín hi u ra .
    Gi thi t các ðKð =0 nh m m c ñích dùng hàm truy n ñ nghiên c u bn ch t ñ ng h c c a h th ng .
    Dùng hàm truy n ñ mô t và phân tích h th ng thu n li h ơn PTVP vì hàm truy n là phân th c ñ i s . Quan h vào-ra s ñơ n gi n là ph ươ ng trình ñ i s : G(s)= Y(s)/R(s) → Y(s) = R(s).G(s) Tín hi ệu ra = tín hi ệu vào * hàm truy ền •B môn : C ơ ðin T •43 2.3 Hàm truyền 3) ða th c ñ c tính, Ph ươ ng trình ñ c tính - ða th c m u s c a hàm truy n g i là ña th c ñ c tính: n n− 1 A(s)= asn + a n1− s ++ a 0 - Cho m u s hàm truy n =0 ta có ph ươ ng trình ñ c tính: n n− 1 asn+ a n1− s ++= a 0 0 Da vào các nghi m ho c h s ca ph ươ ng trình ñ c tính có th xét tính n ñ nh ca h th ng (ch ươ ng 4). 4) Mô t h MIMO ð mô t h MIMO ph i dùng ma tr n các hàm truy n. Mi hàm truy n ch ng v i m t c p tín hi u vào, ra. R1 Y1 M Hệ MIMO M Gij= Y/R i j R3 Y4 •B môn : C ơ ðin T •44 GV. NGUY N TH HÙNG 22
12. Chương 2: Mô tả toán học Phần tử và hệ thống liên tục 2.1 Phương trình vi phân. 2.2 Phép biến đổi Laplace. 2.3 Hàm truyền. 2.4 Sơ đồ khối. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình. 2.6 Graph tín hiệu. 2.7 Phương trình trạng thái. •Bài gi ng : Lý Thuy t ðiu Khi n T •47 ð ng •47 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình 2.5.1 Ph n t c ơ khí  H lò xo-kh i l ng-gi m ch n - Tín hi u vào: l c tác d ng F(t) - Tín hi u ra: l ư ng di ñ ng y(t) Ph ươ ng trình vi phân: d2 y dy m+ b + ky(t) = F(t) dt 2 dt Bi n ñ i Laplace 2 v v i ðKð =0 : (ms2 + bs + k)Y(s) = F(s) Hàm truy n b c hai: Y(s) 1 G(s) = = F(s) ms2 + bs + k •B môn : C ơ ðin T •48 GV. NGUY N TH HÙNG 24
13. 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình 2.5.2 Ph n t ñin  Mch RLC n i ti p Ph ươ ng trình vi phân: du2 du LCC+ RC C + u = u dt2 dt C Bi n ñ i Laplace 2 v v i ðKð =0 : 2 (LCs+ RCs + 1)UC (s) = U(s) Hàm truy n b c hai: Tín hi u vào: ñin áp u(t) U (s) 1 Tín hi u ra: ñin áp u c(t) G(s) =C = U(s) LCs2 + RCs + 1 •B môn : C ơ ðin T •51 2.5 Hàm truyền của các khâu vật lý điển hình  Mch RLC n i ti p & // - Theo Kirchoff : uR+ u C = u (*) 1 du u= i dt⇒ i= C C CC∫ C C dt di 1 L ⇒ uuLCL= = i L= ∫ udt C i dt L uR= Ri = R( i L + i C ) du R -Th vào (*) , ta ñư c: RCC + u + udtu = dtC L ∫ C d2 u du du -Ly ñ o hàm 2 v , ñư c: RLCC+ L C + Ru = L dt dtC dt ñư 2 -L y Laplace 2 v , c: (RLCs+ Ls + R )() UC s = LsU () s U( s ) Ls - Hàm truy n: G( s ) =C = U( s ) RLCs2 + Ls + R •B môn : C ơ ðin T •52 GV. NGUY N TH HÙNG 26
14. 2.5.3 Động cơ điện DC Tín hi u vào: ñin áp u Tín hi u ra: v n t c góc ω R: ñin tr ph n ng L: ñin c m ph n ng Ke: h ng s s c ñin ñ ng e=K eω: s c ph n ñin ñ ng S d ng 3 ph ươ ng trình c ơ b n: di 1) Ph ươ ng trình m ch ñin ph n ng : u= L + Ri + K ω dt e Bi n ñ i Laplace 2 v : U(s) 1 I(s) U(s)= LsI(s) + RI(s) +ω Ke (s) U(s)− K ω (s) = Ls + R I(s) Ls+ R e ( ) ω(s) ⇒ Sơ ñ kh i (1): Ke •B môn : C ơ ðin T •55 2.5.3 Động cơ điện DC 2) Ph ươ ng trình mômen ñin t : ⇒ Sơ ñ kh i (2): M(t)= K i(t) ⇒ M(s)= K I(s) m m I(s) M(s) Km : hng s mômen c a ñ ng c ơ Km 3) Ph ươ ng trình cân b ng mômen c ơ: dω M(t)= J +ω+ B (t) M(t) dt t ⇒ Sơ ñ kh i (3): ⇒ M(s)= Js ω (s) +ω B (s) + Mt (s) Mt(s) M(s)− Mt (s) =+ω (Js B). (s) J: mômen quán tính c a ñcơ M(s) 1 ω(s) và t i quy v tr c ñ ng c ơ Js+ B B: h s ma sát ca ñcơ và ti quy v tr c ñ ng c ơ Mt : mômen ph t i (nhi u) •B môn : C ơ ðin T •56 GV. NGUY N TH HÙNG 28
15. 2.5.3 Động cơ điện DC
    Nu ñ ng c ơ ñư c ñiu khi n góc quay ϕ (ñ nh v ); Do ω=d ϕ/dt ⇒ ω(s)=s. Φ(s) nên sơ ñ kh i có thêm khâu tích phân 1/s. Mt(s) U(s) 1 I(s) M(s) 1 ω(s) 1 Φ(s) Km Ls+ R Js+ B s ω(s) Ke Hàm truy n: Φ(s) K G(s) = = m (2-50 tr.46) U(s) s[(Ls+ R)(Js + B) + Km K e ) Nu b qua ñin c m: Km Φ(s) KRB+ K K K G(s) ==m =m e = U(s) s(RJsRBKK)+ +RJ  s(Ts1) + m e s s+ 1  RB+ Km K e  •B môn : C ơ ðin T •59 GV. NGUY N TH HÙNG 30