Giáo trình Kỹ thuật số - Chương 2: Hàm logic

Nội dung text: Giáo trình Kỹ thuật số - Chương 2: Hàm logic

1. ___Chương 2 Hàm Logic II - 2 A B Y=f(A,B) 0 (hở) 0 (hở) 0 (tắt) 0 (hở) 1 (đóng) 0 (tắt) 1 (đóng) 0 (hở) 0 (tắt) 1 (đóng) 1 (đóng) 1 (cháy) 2.1.2. Biểu diễn biến và hàm logic 2.1.2.1. Giản đồ Venn Còn gọi là giản đồ Euler, đặc biệt dùng trong lãnh vực tập hợp. Mỗi biến logic chia không gian ra 2 vùng không gian con, một vùng trong đó giá trị biến là đúng (hay=1), và vùng còn lại là vùng phụ trong đó giá trị biến là sai (hay=0). Thí dụ: Phần giao nhau của hai tập hợp con A và B (gạch chéo) biểu diễn tập hợp trong đó A và B là đúng (A AND B) (H 2.1) (H 2.1) 2.1.2.2. Bảng sự thật Nếu hàm có n biến, bảng sự thật có n+1 cột và 2n + 1 hàng. Hàng đầu tiên chỉ tên biến và hàm, các hàng còn lại trình bày các tổ hợp của n biến trong 2n tổ hợp có thể có. Các cột đầu ghi giá trị của biến, cột cuối cùng ghi giá trị của hàm tương ứng với tổ hợp biến trên cùng hàng (gọi là trị riêng của hàm). Thí dụ: Hàm OR của 2 biến A, B: f(A,B) = (A OR B) có bảng sự thật tương ứng. A B f(A,B) = A OR B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2.1.2.3. Bảng Karnaugh Đây là cách biểu diễn khác của bảng sự thật trong đó mỗi hàng của bảng sự thật được thay thế bởi một ô mà tọa độ (gồm hàng và cột) xác định bởi tổ hợp đã cho của biến. Bảng Karnaugh của n biến gồm 2n ô. Giá trị của hàm được ghi tại mỗi ô của bảng. Bảng Karnaugh rất thuận tiện để đơn giản hàm logic bằng cách nhóm các ô lại với nhau. Thí dụ: Hàm OR ở trên được diễn tả bởi bảng Karnaugh sau đây A \ B 0 1 0 0 1 1 1 1 ___ ___Nguyễn Trung Lập KỸ THUẬT SỐ
2. ___Chương 2 Hàm Logic II - 4 1 1 1 Nhận xét: Tính chất của hàm AND có thể được phát biểu như sau: - Hàm AND của 2 (hay nhiều) biến chỉ có giá trị 1 khi tất cả các biến đều bằng 1 hoặc - Hàm AND của 2 (hay nhiều) biến có giá trị 0 khi có một biến bằng 0. 2.1.4.3. Hàm OR [tổng logic, toán tử (+)] : Y = A + B Bảng sự thật A B Y=A + B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Nhận xét: Tính chất của hàm OR có thể được phát biểu như sau: - Hàm OR của 2 (hay nhiều) biến chỉ có giá trị 0 khi tất cả các biến đều bằng 0 hoặc - Hàm OR của 2 (hay nhiều) biến có giá trị 1 khi có một biến bằng 1. 2.1.4.4.Hàm EX-OR (OR loại trừ) Y = A ⊕ B Bảng sự thật A B Y = A ⊕ B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Nhận xét: Một số tính chất của hàm EX - OR: - Hàm EX - OR của 2 biến chỉ có giá trị 1 khi hai biến khác nhau và ngược lại. Tính chất này được dùng để so sánh 2 biến. - Hàm EX - OR của 2 biến cho phép thực hiện cộng hai số nhị phân 1 bit mà không quan tâm tới số nhớ. - Từ kết quả của hàm EX-OR 2 biến ta suy ra bảng sự thật cho hàm 3 biến A B C YABC= ⊕ ⊕ 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 ___ ___Nguyễn Trung Lập KỸ THUẬT SỐ
3. ___Chương 2 Hàm Logic II - 6 Định lý De Morgan được chứng minh bằng cách lập bảng sự thật cho tất cả trường hợp có thể có của các biến A, B, C với các hàm AND, OR và NOT của chúng. 2.1.5.4. Sự phụ thuộc lẫn nhau của các hàm logic cơ bản Định lý De Morgan cho thấy các hàm logic không độc lập với nhau, chúng có thể biến đổi qua lại, sự biến đổi này cần có sự tham gia của hàm NOT. Kết quả là ta có thể dùng hàm (AND và NOT) hoặc (OR và NOT) để diễn tả tất cả các hàm. Thí dụ: Chỉ dùng hàm AND và NOT để diễn tả hàm sau: Y= A .B + B.C+ A.C Chỉ cần đảo hàm Y hai lần, ta được kết quả: Y =Y = A.B+ B.C+ A.C= A .B.B.C.A.C Nếu dùng hàm OR và NOT để diễn tả hàm trên làm như sau: Y= A.B + B.C+ A.C = A + BBC+ + + A + C 2.2. CÁC DẠNG CHUẨN CỦA HÀM LOGIC Một hàm logic được biểu diễn bởi một tổ hợp của những tổng và tích logic. ♦ Nếu biểu thức là tổng của những tích, ta có dạng tổng Thí dụ : f(X,Y,Z)= XY + XZ + YZ ♦ Nếu biểu thức là tích của những tổng, ta có dạng tích Thí dụ : f(X, Y, Z)= (X + Y).(X +Z).(Y + Z) Một hàm logic được gọi là hàm chuẩn nếu mỗi số hạng chứa đầy đủ các biến, ở dạng nguyên hay dạng đảo của chúng. Thí dụ : f(X, Y, Z)= XYZ + XYZ + XYZ là một tổng chuẩn. Mỗi số hạng của tổng chuẩn được gọi là minterm. f(X,Y,Z)= (X + Y + Z).(X + Y + Z).(X + Y + Z) là một tích chuẩn. Mỗi số hạng của tích chuẩn được gọi là maxterm. Phần sau đây cho phép chúng ta viết ra một hàm dưới dạng tổng chuẩn hay tích chuẩn khi có bảng sự thật diễn tả hàm đó. 2.2.1. Dạng tổng chuẩn Để có được hàm logic dưới dạng chuẩn, ta áp dụng các định lý triển khai của Shanon. Dạng tổng chuẩn có được từ triển khai theo định lý Shanon thứ nhất: Tất cả các hàm logic có thể triển khai theo một trong những biến dưới dạng tổng của hai tích như sau: f(A,B, ,Z) = A.f(1,B, ,Z) + A .f(0,B, ,Z) (1) Hệ thức (1) có thể được chứng minh rất dễ dàng bằng cách lần lượt cho A bằng 2 giá trị 0 và 1, ta có kết quả là 2 vế của (1) luôn luôn bằng nhau. Thật vậy Cho A=0: f(0,B, ,Z) = 0.f(1,B, ,Z) + 1. f(0,B, ,Z) = f(0,B, ,Z) Cho A=1: f(1,B, ,Z) = 1.f(1,B, ,Z) + 0. f(0,B, ,Z) = f(1,B, ,Z) Với 2 biến, hàm f(A,B) có thể triển khai theo biến A : ___ ___Nguyễn Trung Lập KỸ THUẬT SỐ
4. ___Chương 2 Hàm Logic II - 8 Tóm lại ta có: Z = A . B .C + A .B. C + A .B.C + A. B .C + A.Β.C - Ý nghĩa của định lý Shanon thứ nhất: Nhắc lại tính chất của các hàm AND và OR: b1.b2 bn = 1 khi b1, b2 , bn đồng thời bằng 1 và để a1 + a2 + + ap = 1 chỉ cần ít nhất một biến a1, a2, , ap bằng 1 Trở lại thí dụ trên, biểu thức logic tương ứng với hàng 1 (A=0, B=0, C=1) được viết A . B .C =1 vì A = 1 , B = 1, C = 1 đồng thời. Biểu thức logic tương ứng với hàng 2 là A .B. C =1 vì A=0 ( A = 1), B=1, C=0 ( C = 1) đồng thời Tương tự, với các hàng 3, 5 và 7 ta có các kết quả: A .B.C , A. B .C và A.Β.C Như vậy, trong thí dụ trên Z = hàng 1 + hàng 2 + hàng 3 + hàng 5 + hàng 7 Z = A . B .C + A .B. C + A .B.C + A. B .C + A.Β.C Tóm lại, từ một hàm cho dưới dạng bảng sự thật, ta có thể viết ngay biểu thức của hàm dưới dạng tổng chuẩn như sau: - Số số hạng của biểu thức bằng số giá trị 1 của hàm thể hiện trên bảng sự thật - Mỗi số hạng trong tổng chuẩn là tích của tất cả các biến tương ứng với tổ hợp mà hàm có trị riêng bằng 1, biến được giữ nguyên khi có giá trị 1 và được đảo nếu giá trị của nó = 0. 2.2.2. Dạng tích chuẩn Đây là dạng của hàm logic có được từ triển khai theo định lý Shanon thứ hai: Tất cả các hàm logic có thể triển khai theo một trong những biến dưới dạng tích của hai tổng như sau: f(A,B, ,Z) = [ A + f(1,B, ,Z)].[A + f(0,B, ,Z)] (2) Cách chứng minh định lý Shanon thứ hai cũng giống như đã chứng minh định lý Shanon thứ nhất. Với hai biến, hàm f(A,B) có thể triển khai theo biến A f(A,B) = [ A + f(1,B)].[A + f(0,B)] Mỗi hàm trong hai hàm vừa tìm được lại có thể triển khai theo biến B f(1,B) = [ B + f(1,1)].[B + f(1,0)] & f(0,B) = [ B + f(0,1)].[B + f(0,0)] f(A,B) = ⎨ A + [ B + f(1,1)].[B + f(1,0)]⎬.⎨A + [ B + f(0,1)].[B + f(0,0)]⎬ Vậy: f(A,B) = [ A + B + f(1,1)].[ A +B + f(1,0)].[A+ B + f(0,1)].[A+B + f(0,0)] Cũng như dạng chuẩn thứ nhất, f(i,j) là giá trị riêng của f(A,B) khi A=i và B=j trong bảng sự thật của hàm. Với hàm 3 biến: f(A,B,C)=[ A + B + C +f(1,1,1)].[ A + B +C+f(1,1,0)].[ A +B+ C +f(1,0,1)].[ A +B+C+f(1,0,0)]. [A+ B + C +f(0,1,1)].[A+ B +C+ f(0,1,0)].[A+B+ C +f(0,0,1)].[A+B+C+f(0,0,0)] Số số hạng trong triển khai n biến là 2n. Mỗi số hạng là tổng (OR) của các biến và trị riêng của hàm. - Nếu trị riêng bằng 0 số hạng được rút gọn lại chỉ còn các biến (0 là trị trung tính của phép cộng logic) A + B + C + f(0,0,0) = A + B + C nếu f(0,0,0) = 0 - Nếu trị riêng bằng 1, số hạng triển khai = 1 A + B + C + f(0,0,1) = 1 nếu f(0,0,1) = 1 ___ ___Nguyễn Trung Lập KỸ THUẬT SỐ
5. ___Chương 2 Hàm Logic II - 10 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 0 1 0 1 0 3 0 1 1 1 0 4 1 0 0 0 1 5 1 0 1 1 0 6 1 1 0 0 1 7 1 1 1 1 0 Diễn tả Z theo dạng tổng chuẩn: Z =A BC +A BC + A BC Lấy đảo hai vế: Z =A BC +A BC +A BC = A BC.A BC.A BC Dùng định lý De Morgan một lần nữa cho từng thừa số trong biểu thức, ta được: Z= (A + B + C).(A + B + C).(A + B + C) Diễn tả Z theo dạng tích chuẩn: Z=++ (A B C)(A ++ B C)(A ++ B C)(A ++ B C)(A ++ B C) Lấy đảo hai vế: Z=++ (A B C)(A ++ B C)(A ++ B C)(A ++ B C)(A ++ B C) Z =A +BC + +A +BC + + A + BC+ + A + BC+ + A + BC+ =A BC +ABC +ABC + A BC+ A BC 2.2.4. Dạng số Để đơn giản cách viết người ta có thể diễn tả một hàm Tổng chuẩn hay Tích chuẩn bởi tập hợp các số dưới dấu tổng (Σ) hay tích (Π). Mỗi tổ hợp biến được thay bởi một số thập phân tương đương với trị nhị phân của chúng. Khi sử dụng cách viết này trọng lượng các biến phải được chỉ rõ. Thí dụ : Cho hàm Z xác định như trên, tương ứng với dạng chuẩn thứ nhất, hàm này lấy giá trị của các hàng 1, 2, 3, 5, 7, ta viết Z=f(A,B,C) = Σ(1,2,3,5,7). Tương tự, nếu dùng dạng chuẩn thứ hai ta có thể viết Z =f(A,B,C)= Π(0,4,6). Chú ý: Khi viết các hàm theo dạng số ta phải chỉ rõ trọng số của các bit, thí dụ ta có thể ghi kèm theo hàm Z ở trên 1 trong 3 cách như sau: A=MSB hoặc C=LSB hoặc A=4, B=2, C=1 2.3. RÚT GỌN HÀM LOGIC Để thực hiện một hàm logic bằng mạch điện tử, người ta luôn luôn nghĩ đến việc sử dụng lượng linh kiện ít nhất. Muốn vậy, hàm logic phải ở dạng tối giản, nên vấn đề rút gọn hàm logic là bước đầu tiên phải thực hiện trong quá trình thiết kế. Có 3 phương pháp rút gọn hàm logic: - Phương pháp đại số - Phương pháp dùng bảng Karnaugh - Phương pháp Quine Mc. Cluskey ___ ___Nguyễn Trung Lập KỸ THUẬT SỐ
6. ___Chương 2 Hàm Logic II - 12 - Qui tắc 4: Có thể đơn giản bằng cách dùng hàm chuẩn tương đương có số hạng ít nhất. Thí dụ: Hàm f(A,B,C) = Σ(2,3,4,5,6,7) với trọng lượng A=4, B=2, C=1 Hàm đảo của f: f(A, B,C)= Σ (0,1) = A.B.C + A.B.C = A.B = A + B Vậy f(A,B,C) = A+B 2.3.2. Dùng bảng Karnaugh Dùng bảng Karnaugh cho phép rút gọn dễ dàng các hàm logic chứa từ 3 tới 6 biến. 2.3.2.1.Nguyên tắc Xét hai tổ hợp biến AB và A B , hai tổ hợp này chỉ khác nhau một bit, ta gọi chúng là hai tổ hợp kề nhau. Ta có: AB + A B = A , biến B đã được đơn giản . Phương pháp của bảng Karnaugh dựa vào việc nhóm các tổ hợp kề nhau trên bảng để đơn giản biến có giá trị khác nhau trong các tổ hợp này. Công việc rút gọn hàm được thực hiện theo bốn bước: Š Vẽ bảng Karnaugh theo số biến của hàm Š Chuyển hàm cần đơn giản vào bảng Karnaugh Š Gom các ô chứa các tổ hợp kề nhau lại thành các nhóm sao cho có thể rút gọn hàm tới mức tối giản Š Viết kết quả hàm rút gọn từ các nhóm đã gom được. 2.3.2.2 Vẽ bảng Karnaugh - Bảng Karnaugh thực chất là một dạng khác của bảng sự thật, trong đó mỗi ô của bảng tương đương với một hàng trong bảng sự thật. Để vẽ bảng Karnaugh cho n biến, người ta chia số biến ra làm đôi, phân nửa dùng để tạo 2n/2 cột, phân nửa còn lại tạo 2n/2 hàng (nếu n là số lẻ, người ta có thể cho số lượng biến trên cột lớn hơn số lượng biến cho hàng hay ngược lại cũng được). Như vậy, với một hàm có n biến, bảng Karnaugh gồm 2n ô, mỗi ô tương ứng với tổ hợp biến này. Các ô trong bảng được sắp đặt sao cho hai ô kề nhau chỉ khác nhau một đơn vị nhị phân (khác nhau một bit), điều này cho thấy rất thuận tiện nếu chúng ta dùng mã Gray. Chính sự sắp đặt này cho phép ta đơn giản bằng cách nhóm các ô kề nhau lại. Với 2 biến AB, sự sắp đặt sẽ theo thứ tự: AB = 00, 01, 11, 10 (đây là thứ tự mã Gray, nhưng để cho dễ ta dùng số nhị phân tương ứng để đọc thứ tự này: 0, 1, 3, 2) Thí dụ : Bảng Karnaugh cho hàm 3 biến (A = MSB, và C = LSB) (H 2.3) (H 2.3) ___ ___Nguyễn Trung Lập KỸ THUẬT SỐ
7. ___Chương 2 Hàm Logic II - 14 (H 2.6) ♦ Từ dạng số thứ nhất, với các trọng lượng tương ứng A=4, B=2, C=1 Thí dụ 3 : f(A,B,C) = Σ(1,3,7). Hàm số sẽ lấy giá trị 1 trong các ô 1,3 và 7. ♦ Từ dạng tích chuẩn: Ta lấy hàm đảo để có dạng tổng chuẩn và ghi trị 0 vào các ô tương ứng với tổ hợp biến trong tổng chuẩn này. Các ô còn lại chứa số 1. Thí dụ 4 : Y = f(A,B,C) = (A+B+C).(A+ B +C).( A +B+C).( A +B+ C ).( A + B C) Y = A . B . C + A .B. C + A. B . C + A. B .C + A.B. C Và bảng Karnaugh tương ứng (H 2.7). (H 2.7) ♦ Từ dạng số thứ hai: Thí dụ 5 : f(A,B,C) = Π(0,2,4,5,6) Hàm sẽ lấy các trị 0 ở các ô 0, 2, 4, 5, 6. Dĩ nhiên là ta phải ghi các giá trị 1 trong các ô còn lại (H 2.7). ♦ Từ bảng sự thật: Thí dụ 6 : Hàm f(A,B,C) cho bởi bảng sự thật N A B C f(A,B,C) ___ ___Nguyễn Trung Lập KỸ THUẬT SỐ
8. ___Chương 2 Hàm Logic II - 16 số 1 của nhóm chỉ chứa trong phân nửa bảng trong đó biến A có giá trị 1 (hay 0). Nói cách khác nếu các số 1 của nhóm đồng thời nằm trong các ô của biến A và A thì biến A sẽ được đơn giản. Hình dưới đây minh họa việc lấy các thừa số trong tích Thí dụ đối với bảng (H 2.9) ta có kết quả như sau: - Hàm Y là hàm 4 biến A,B,C,D - Nhóm 1 chứa 2 số 1 (k=1), như vậy nhóm 1 sẽ còn 3 biến, theo hàng, 2 số 1 này ở 2 ô ứng với A B và AB, biến A sẽ được đơn giản và theo cột thì 2 ô này ứng với tổ hợp C. D . Kết quả ứng với nhóm 1 là: B. C . D - Nhóm 2 chứa 4 số 1 (4=22 , k=2), như vậy nhóm 2 sẽ còn 2 biến, theo hàng, 4 số 1 này ở 2 ô ứng với tổ hợp A B và A B, biến B sẽ được đơn giản và theo cột thì 4 ô này ứng với tổ hợp CD và C D , cho phép đơn giản biến D . Kết quả ứng với nhóm 2 là: A C. (H 2.9) - Nhóm 3 chứa 4 số 1 (4=22 , k=2), như vậy nhóm 2 sẽ còn 2 biến, theo hàng, 4 số 1 này ở ô ứng với tổ hợp A B, theo cột 4 số 1 này chiếm hết 4 cột nên 2 biến Cvà D được đơn giản. Kết quả ứng với nhóm 3 là: A B. Và hàm Y rút gọn là: Y = B C D + A C + A B Dưới đây là một số thí dụ Thí dụ 1 : Rút gọn hàm Y = f(A,B,C) = A .B.C+ A .B.C+A. B. C+A.B.C+A.B.C (H 2.10) (H 2.10) cho Y = A B + C Thí dụ 2 : Rút gọn hàm Y = f(A,B,C,D) = Σ(0,2,4,5,8,10,12,13) với A=MSB (H 2.11) ___ ___Nguyễn Trung Lập KỸ THUẬT SỐ
9. ___Chương 2 Hàm Logic II - 18 (H 2.13) nhóm (1) cho : CE ; (2) cho : BCE ; (3) cho : BDE Vậy f(A,B,C,D,E) = CE + BCE + BDE Thí dụ 5 : Rút gọn hàm f(A,B,C,D,E,F)=∑(2,3,6,7,8,9,12,13,14,17,24,25,28,29,30,40,41,44,45,46,56,57,59,60,61,63) Tương tự như trên nhưng phải vẽ 4 bảng cho: A B cho các số (0-15) ; A B cho các số (16-31) ; AB cho các số (48-63) và A B cho các số (32-47). (H 2.14) Kết quả: (1) cho CE ; (2) ACDF + BCDF ; (3) A BCE; (4) ABDEF ; (5) ABCF Vậy: f(A,B,C,D,E,F) = CE + A BCE+ ABCF + ACDF + BCDF + ABDEF ___ ___Nguyễn Trung Lập KỸ THUẬT SỐ
10. ___Chương 2 Hàm Logic II - 20 số =2k (thí dụ 2 tổ hợp 1 và 5 có hiệu số là 4 nên đơn giản được biến B), nếu hiệu số ≠ 2k thì 2 tổ hợp đó không so sánh được, tức không có biến được đơn giản. Kết quả cho bảng thứ hai - Bảng thứ hai gồm các tổ hợp đã được rút gọn và chỉ còn lại 2 nhóm (giảm một nhóm so với bảng 1). Bảng 2 A B C D 1,5 0 - 0 1 x 2,6 0 - 1 0 x 2,10 - 0 1 0 x 4,5 0 1 0 - x 4,6 0 1 - 0 x 4,12 - 1 0 0 x 5,13 - 1 0 1 x 6,14 - 1 1 0 x 10,14 1 - 1 0 x 12,13 1 1 0 - x 12,14 1 1 - 0 Thực hiện công việc tương tự như trên với hai nhóm trong bảng thứ hai này, các số hạng sẽ được nhóm lại nếu chúng chỉ khác nhau một biến và có vị trí dấu - trùng nhau. Ta được bảng thứ 3. Bảng 3: A B C D 2,6 ; 10,14 - - 1 0 2,10 ; 6,14 - - 1 0 4,5 ; 12,13 - 1 0 - 4,6 ; 12,14 - 1 - 0 4,12 ; 5,13 - 1 0 - 4,12 ; 6,14 - 1 - 0 Quan sát bảng thứ 3 ta thấy có các tổ hợp giống nhau, như vậy ta có thể lọai bỏ bớt các tổ hợp này và chỉ giữ lại một. Kết quả của hàm rút gọn gồm tổng các số hạng tương ứng với các tổ hợp không gom thành nhóm trong các bảng đầu tiên, đó là tổ hợp (1,5) trong bảng 2, trị tương ứng là A C D với các tổ hợp còn lại trong bảng cuối cùng, đó là các tổ hợp (2,6 ; 10,14) mà trị tương ứng là C D , (4,5 ; 12,13) cho B C và (4,6 ; 12,14) cho BD trong bảng 3. Vậy: f(A,B,C,D) = A C D + C D + B C + B D Đến đây, nếu quan sát các tổ hợp cho các kết quả trên, ta thấy các tổ hợp còn chứa các số hạng giống nhau (số 4 và số 12 chẳng hạn), như vậy kết quả trên có thể là chưa tối giản. ♣ Giai đọan 2: Để có thể rút gọn hơn nữa ta lập một bảng như sau: Cột bên trái ghi lại các tổ hợp đã chọn được trong giai đoạn 1, các cột còn lại ghi các trị thập phân có trong hàm ban đầu. ___ ___Nguyễn Trung Lập KỸ THUẬT SỐ
11. ___Chương 2 Hàm Logic II - 22 Bảng 3: A B C D 3,7 ; 11,15 - - 1 1 3,11 ; 7,15 - - 1 1 Kết quả của hàm rút gọn gồm tổng các số hạng tương ứng với các tổ hợp không gom thành nhóm: (4,6), (4,12), (8,12), (6,7) và (3,7;11,15) f(A,B,C,D) = CD+ A B D + B C D + A C D + A BC ♣ Giai đọan 2: Bảng 4 3 4 6 7 8 11 12 15 3,7;11,15 ← *↓ *↓ *↓ *↓ 4,6 * * 4,12 * * 8,12 ← *↓ *↓ 6,7 * * x x x x x x Các cột 3, và 8 chỉ chứa một dấu *, các tổ hợp ở cùng hàng với các dấu * này sẽ được chọn, đó là các tổ hợp (3,7;11,15) và , (8,12), tương ứng với CD và A C D . Đánh dấu X dưới các cột tương ứng với các số có trong các tổ hợp đã chọn. Đến đây ta thấy còn 2 cột 4 và 6 chưa có dấu X, trong lúc chúng ta còn đến 3 tổ hợp để chọn. Dĩ nhiên trong trường hợp này ta chỉ cần chọn tổ hợp (4,6) (A B D ) thay vì chọn (4,12) và (6,7) thì đủ dấu X để lấp đầy các cột. Tóm lại: f(A,B,C,D) = CD + A B D + A C D Thí dụ về bài toán đầy đủ: Thí dụ 1: Cho hàm logic F(A, B, C) thỏa tính chất: F(A,B,C) = 1 nếu có một và chỉ một biến bằng 1 a- Lập bảng sự thật cho hàm F. b- Rút gọn hàm F. c- Diễn tả hàm F chỉ dùng hàm AND và NOT Giải a. Dựa vào điều kiện của bài toán ta có bảng sự thật của hàm F: A B C F(A,B,C) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 ___ ___Nguyễn Trung Lập KỸ THUẬT SỐ
12. ___Chương 2 Hàm Logic II - 24 c/ Ít nhất 1 trong các biến X,Y,Z,T bằng 1 d/ Ít nhất 1 trong các biến X,Y,Z,T bằng 0 e/ Các biến A,B,C,D lần lượt có giá trị 0,1,1,0 2. Tính đảo của các hàm sau: a/ f1 = (A + B)( A + B ) b/ f2 = (A + B + C )(B + C + D)( A + C + D) c/ f3 = A(C + D) + ( A + C)( B + C + D) d/ f4 = (AB + C)(BC + D) + A BC + C D e/ f5 = A B C + A B C + A(BC + B C ) 3. Chứng minh bằng đại số các biểu thức sau: a/ A.B + A B. = A.B+ A .B b/ A.B+ A.C = (A + C)(A + B) c/ A.C + B.C = A.C+ B.C d/ (A+ B)(A + C)(B + C) = (A + B)(A + C) e/ (A+ C)(B + C) = (A + C)(B + C) 4. Viết dưới dạng tổng chuẩn các hàm xác định bởi: a/ f(A,B,C) = 1 nếu số nhị phân (ABC)2 là số chẵn b/ f(A,B,C) = 1 nếu có ít nhất 2 biến số = 1 c/ f(A,B,C) = 1 nếu số nhị phân (ABC)2 >5 d/ f(A,B,C) = 1 nếu số biến số 1 là số chẵn e/ f(A,B,C) = 1 nếu có 1 và chỉ 1 biến số =1 5. Viết dưới dạng tích chuẩn các hàm ở bài tập 4 6. Viết dưới dạng số các bài tập 4 7. Viết dưới dạng số các bài tập 5 8. Rút gọn các hàm dưới đây bằng phương pháp đại số (A = MSB) a/ f1 = ABC + A B C + AB C D b/ f2 = (A+BC) + A ( B + C )(AD+C) c/ f3 = (A+B+C)(A+B+C)( A +B+C)( A +B+ C ) d/ f4(A,B,C,D) = Σ(0,3,4,7,8,9,14,15) e/ f5 = A B + AC + BC f/ f6 = (A+ C )(B+C)(A+B) 9. Dùng bảng Karnaugh rút gọn các hàm sau: (A = MSB) a/ f(A,B,C) = Σ(1,3,4) b/ f(A,B,C) = Σ(1,3,7) c/ f(A,B,C) = Σ(0,3,4,6,7) d/ f(A,B,C) = Σ(1,3,4) . Các tổ hợp biến 6,7 cho hàm không xác định e/ f(A,B,C) = A.B.C + A.B.C+ A .B.C+ A .B.C f/ f(A,B,C,D) = Σ(5,7,13,15) g/ f(A,B,C,D) = Σ(0,4,8,12) h/ f(A,B,C,D) = Σ(0,2,8,10) i/ f(A,B,C,D) = Σ(0,2,5,6,9,11,13,14) j/ f(A,B,C,D) = Π(0,1,5,9,10,15) k/ f(A,B,C,D) = Π (0,5,9,10) với các tổ hợp biến (2,3,8,15) cho hàm không xác định l/ f(A,B,C,D,E) = Σ(2,7,9,11,12,13,15,18,22,24,25,27,28,29,31) ___ ___Nguyễn Trung Lập KỸ THUẬT SỐ