Lý thuyết tích phân suy rộng đầy đủ

Nội dung text: Lý thuyết tích phân suy rộng đầy đủ

1. 2 Hình 1.1: Diện tích tam giác cong Hình 1.2: Diện tích hình thang cong
2. 4 Thật vậy, khẳng định trên được suy ra từ tính toán sau đây:  A A  x1−α A1−α−1 Z dx  1−α = 1−α nếu α 6= 1 = 1 α A x  1 ln x = ln A nếu α = 1. 1 +∞ Định lý 1.1.2 (Tiêu chuẩn Cauchy). Tích phân suy rộng loại I R f(x)dx hội tụ khi a A00 R và chỉ khi với mọi  > 0 tồn tại A0 > a (phụ thuộc vào ) sao cho f(x)dx 0 tồn tại A0 > a (phụ thuộc vào ) a A00 0 00 0 00 R sao cho |F (A ) − F (A )| 0 và 00 An 0 00 0 00 R ∃{An}, {An} với An,An → +∞ khi n → +∞ sao cho f(x)dx ≥ 0 với mọi n ∈ N 0 An +∞ đủ lớn thì R f(x)dx phân kỳ. a ii) Tiêu chuẩn Cauchy chỉ khẳng định sự hội tụ của tích phân mà không cho ta giá trị của nó. +∞ R α 0 Ví dụ 1.1.3. Xét sự hội tụ của tích phân x sin xdx (α > 0). Chọn dãy An = 0 00 α π/6 + 2nπ và An = 5π/6 + 2nπ, n = 1, 2, Khi đó, x sin x ≥ 1/2 với mọi 0 00 0 00 An ≤ x ≤ An, n = 1, 2, và An → +∞,An → +∞ khi n → +∞. Do đó, 00 An Z 2π 1 π xα sin xdx ≥ = =:  > 0, ∀ n = 1, 2, 3 2 3 0 0 An +∞ Vì vậy, theo tiêu chuẩn Cauchy, R xα sin xdx (α > 0) phân kỳ. Chú ý rằng, ta có thể 0 dùng Định lý Abel để xét sự hội tụ của tích phân suy rộng trên. +∞ +∞ Định nghĩa 1.1.2. Ta nói rằng R f(x)dx họi tụ tuyệt đối nếu R |f(x)|dx hội tụ. a a +∞ +∞ Nếu R f(x)dx hội tụ nhưng R |f(x)|dx phân kỳ thì ta nói tích phân đó hội tụ có điều a a kiện hoặc bán hội tụ.
3. 6 1.1.2 Các tiêu chuẩn hội tụ Định lý 1.1.9 (Weierstrass). Giả sử f, g :[a, +∞) → R thỏa mãn |f(x)| ≤ g(x) ∀x ≥ +∞ +∞ a. Khi đó, nếu R g(x)dx thì R f(x)dx hội tụ (tuyệt đối). a a Định lý 1.1.10 (Dirichlet). Giả sử f, g : [0, +∞) → R thỏa mãn A R (i) f(x)dx 0) với mọi A > a. a (ii) Hàm g đơn điệu và g(x) → 0 khi x → +∞. +∞ Khi đó, R f(x)g(x)dx hội tụ a Định lý 1.1.11 (Abel). Giả sử f, g : [0, +∞) → R thỏa mãn +∞ (i) R f(x)dx hội tụ. a (ii) Hàm g đơn điệu và bị chặn. +∞ Khi đó, R f(x)g(x)dx hội tụ. a +∞ R sin x Ví dụ 1.1.12. Xét sự hội tụ của tích phân xα dx. Ta xét hai trường hợp sau đây. 1 TH1. α > 0. Ta có A R (i) sin xdx = | cos 1 − cos A| ≤ 2, ∀A > 1. 1 (ii) g(x) := 1/xα đợn điệu giảm và g(x) → 0 khi x → +∞. +∞ R sin x Vì vậy, theo Định lý Dirichlet, xα dx hội tụ với α > 0. 1 +∞ R sin x TH2. α ≤ 0. Ta sẽ chứng minh xα dx hội tụ với α ≤ 0. Với α = 0, ta có 1 A +∞ R R sin xdx = cos 1 − cos A. Do 6 ∃ limA→+∞(cos 1 − cos A) nên tích phân sin xdx phân 1 1 kỳ. Đới với trường hợp α < 0. Ta sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. +∞ Thậy vậy, giả sử R x−α sin xdx hội tụ. Khi đó, vì hàm g(x) := 1/x−α đơn điệu và bị 1
4. 8 Ví dụ 1.2.1. Xét sự hội tụ của tích phân 1 Z dx (α ∈ ). xα R 0 Ta có  1−α 1 1−α 1  x = 1−η nếu α 6= 1 Z dx  1−α 1−α = η α 1 x  η ln x = − ln η nếu α = 1.  η 1 R dx Vì vậy, ta kết luận rằng xα hội tụ nếu α < 1 và phân kỳ nếu α ≥ 1. 0 Ví dụ 1.2.2. Xét sự hội tụ của tích phân 1 Z ln2015 xdx. 0 √ 2015 √ 2015 Ta có limx→0+ x ln x = 0. Do đó, tồn tại 0 < η0 < 1 sao cho | x ln x| < 1 với mọi 0 < x ≤ η0, tức là 1 | ln2015 x| < √ ∀ 0 < x ≤ η . x 0 η0 η0 R √1 R 2015 Do x dx hội tụ nên | ln x|dx cũng hội tụ theo dấu hiệu so sánh. Vì vậy, ta kết 0 0 1 η0 1 luận rằng R ln2015 xdx = R ln2015 xdx + R ln2015 xdx hội tụ (tuyệt đối). 0 0 η0 1.3 Các bài tích phân suy rộng trong các đề thi những năm gần đây Thông thường hàm dưới dấu tích phân suy rộng có nhiều điểm bất thường (điểm mà hàm không có giới hạn hoặc điểm ∞). Khi đó, ta phải chia tích phân thành tổng các tích phân (suy rộng) mà mỗi tích phân này chỉ có nhiều nhất một điểm bất thường. Bài 1 (Năm 2014). Xét sự hội tụ đều của tích phân suy rộng sau +∞ Z x cos x I := dx, p, q ∈ . xp + xq R 0
5. 10 b) Xét sự hội tụ đều của I. Trước hết, ta viết tích phân trên thành tổng của hai tích phân 1 +∞ Z x cos x Z x cos x I = dx + dx. xp + xq xp + xq 0 1 Không mất tổng quát ta có thể giả sử p ≤ q. Ta chú ý rằng 1 Z x cos x I := dx 1 xp + xq 0 hội tụ không đều trên p 0. Thật vậy, ta có 1 1 f(x, p, q) ∼ C. ≤ , khi x → 0+, xp−1 x1− trong đó, C = 1/2 nếu p = q và C = 1 nếu p 6= q. Vì vậy, tồn tại 0 0 là hằng số. Do 1 Z 1 dx x1− 0 hội tụ nên theo Định lý Weierstrass tích phân I1 hội tụ đều trên p ≤ 2 − . Đối với tích phân +∞ Z x cos x I := dx, 2 xp + xq 1 ta sẽ chứng minh I2 hội tụ không đều trên q > 1 và hội tụ đều trên q ≥ 1 +  với mỗi  > 0.
6. 12 Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi β 1 và phân kỳ nếu α = 0, β ≤ 1. √ TH2. α > 0. Ta có xf(x) → +∞ khi x → +∞. Do đó, tồn tại A0 > 1 sao cho √ xf(x) > 1, ∀ x ≥ A0. √1 Tức là f(x) > x với mọi x ≥ A0. Do +∞ Z 1 √ dx x 1 phân kỳ nên theo dấu hiệu so sánh, I2 phân kỳ với α > 0, β ∈ R. 2 TH3. α 1 sao cho 2 x f(x) < 1, ∀ x ≥ A0. 1 Tức là f(x) < x2 với mọi x ≥ A0. Do +∞ Z 1 dx x2 1 hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh, I2 hội tụ với α < 0, β ∈ R. Kết luận: I hội tụ nếu α < 0, β < 2 và phân kỳ trong các trường hợp còn lại. Bài 3 (Năm 2012). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau +∞ Z xp I := √ dx, p ∈ R. ex − 1 0
7. 14 Không mất tổng quát ta giả sử α ≤ β. a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất 1 Z sin x I := dx. 1 xα + xβ 0 Ta có sin x 1 f(x) := ∼ C , khi x → 0+, xα + xβ xα−1 trong đó C = 1 nếu α 6= β và C = 1/2 nếu α = β. Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi α 1 1 và g(x) := 1/(xβ + xα) đơn điệu và hội tụ về 0 khi x → +∞. Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ với mọi α, β > 0. Kết luận: I hội tụ nếu 0 < min{α, β} < 2 và phân kỳ trong các trường hợp còn lại. Bài 5 (Năm 2011). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau +∞ Z dx I := dx, α, β ∈ . xα(ln x)β R 1 Trước hết, ta viết 2 +∞ Z dx Z dx I = + . xα(ln x)β xα(ln x)β 1 2 a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất 2 Z dx I := . 1 xα(ln x)β 1
8. 16 Trước hết, ta viết 1 +∞ Z sin t Z sin t 2I = √ dt + √ dt. α + 1 α + 1 t 2 2 (1 + t) t 2 2 (1 + t) 0 1 a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất 1 Z sin t I1 := √ dt. α + 1 t 2 2 (1 + t) 0 Ta có sin t 1 f(t) := √ ∼ , khi t → 0+. α + 1 α/2−1/2 t 2 2 (1 + t) t Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi α 1 1 1 và g(t) := α 1 √ đơn điệu và hội tụ về 0 khi t → +∞. Theo Định lý Dirichlet, I2 t 2 + 2 (1+ t) hội tụ với mọi α ≥ 0. Kết luận: I hội tụ nếu 0 ≤ α < 3 và phân kỳ trong các trường hợp còn lại. 2) Ta có +∞ +∞ +∞ Z 1 Z 1 Z f(x) cos2 xdx = f(x)dx + f(x) cos(2x)dx. 2 2 a a a +∞ Mặt khác, tích phân R f(x) cos(2x)dx hội tụ theo Định lý Dirichlet (bài tập!) nên a +∞ +∞ 2 tích phân suy rộng R f(x)dx và R f(x) cos2 xdx hoặc cùng hội tụ hoặc cùng phân a a kỳ. Bài 7 (Năm 2009). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau +∞ Z α−1 βx I := x e dx, α, β ∈ R. 0
9. 18 2) Chứng minh rằng tích phân +∞ Z sin(f(x))dx 0 hội tụ nếu f 0(x) đơn điệu tăng và dần ra +∞ khi x → +∞. 1) Trước hết, ta viết 1 +∞ Z Z  − 1 − 4   − 1 − 4  I = e x2 − e x2 dx + e x2 − e x2 dx. 0 1 a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất 1 Z  1 4  − 2 − 2 I1 := e x − e x dx. 0 1 4 − 2 − 2 Đặt f(x) := e x − e x . Khi đó, do limx→0+ f(x) = 0 nên điểm x = 0 là bất thường khử được của I1. Vì vậy, I1 hội tụ. b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai +∞ Z  1 4  − 2 − 2 I2 := e x − e x dx. 1 Ta có 3 f(x) ∼ khi x → +∞. x2 +∞ R dx Hơn nữa, tích phân x2 hội tụ nên theo dâu hiệu so sánh I2 hội tụ. 1 Kết luận: I hội tụ khi và chỉ khi α > 0, β 0 và hàm 0 g(x) := 1/f 0(x) đơn điệu và dần về 0 khi x → +∞ nên, theo Định lý Dirichlet, tích phân I hội tụ.
10. 20 hội tụ. Điều này vô lý vì tích phân này thực tế phân kỳ (xem chứng minh ở trên). Kết luận: I hội tụ nếu −2 1 1 và g(t) := √ √1 đơn điệu và hội tụ về 0 khi t → +∞. Theo Định lý Dirichlet, I t( 3 t+10) 2 hội tụ.
11. 22 Trước hết, ta viết 1 +∞ Z ln2 x Z ln2 x I = dx + dx. xα xα 0 1 a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất 1 Z ln2 x I := dx. 1 xα 0 Ta xét các trường hợp sau: TH1. α = 1. Trong trường hợp này ta có 1 Z 1 2 1 3 I1 = ln xd ln x = ln x = +∞. 3 0 0 Vì vâỵ, I1 phân kỳ khi α = 1. γ + TH2. α > 1. Chọn 1 1/x với mọi x ≥ η0. Mặt khác, vì tích phân xγ phân kỳ nên theo 0 dâu hiệu so sánh I1 phân kỳ. γ + TH3. α γ > α. Do x f(x) → 0 khi x → 0 nên tồn tại 0 < η0 < 1 1 γ R dx sao cho |f(x)| < 1/x với mọi x ≥ η0. Mặt khác, vì tích phân xγ hội tụ nên theo dâu 0 hiệu so sánh I1 hội tụ. b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai +∞ Z ln2 x I := dx. 2 xα 1 Ta xét các trường hợp sau: TH1. α = 1. Trong trường hợp này ta có +∞ Z +∞ 2 1 3 I2 = ln xd ln x = ln x = +∞. 3 1 1 Vì vâỵ, I2 phân kỳ khi α = 1.
12. 24 ln2 x và f(x) ∼ x khi x → +∞. Do đó, I2 phân kỳ khi α = 3/2. TH2. α > 3/2. Chọn 1 1 sao cho |f(x)| γ > α − 1/2. Do xγf(x) → +∞ khi x → +∞ nên tồn tại +∞ γ R dx A > 1 sao cho |f(x)| > 1/x với mọi x ≥ A. Mặt khác, vì tích phân xγ phân kỳ 1 nên theo dâu hiệu so sánh I2 phân kỳ. Kết luận: I hội tụ khi và chỉ khi α > 3/2. Bài 14 (Năm 2003-1). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau +∞ Z xα sin(2x) I := dx, α ∈ . 1 + x2 R 0 Trước hết, ta viết 1 +∞ Z xα sin(2x) Z xα sin(2x) I := dx + dx. 1 + x2 1 + x2 0 1 a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất 1 Z xα sin(2x) I := dx. 1 1 + x2 0 Ta có xα sin(2x) 2 f(x) := ∼ khi x → 0+. 1 + x2 x−α−1 Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi α > −2. b) Xét sự hội tụ của tích phân thứ hai +∞ Z xα sin(2x) I := dx. 2 1 + x2 1 Ta xét các trường hợp sau: TH1. α 1 1
13. 26 Bài 16 (Năm 2000). Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau +∞ Z (x + 1)α sin x I := dx, α, β ∈ . (x − 1)β R 1 Trước hết, ta viết 2 +∞ Z (x + 1)α sin x Z (x + 1)α sin x I := dx + dx. (x − 1)β (x − 1)β 1 2 a) Xét sự hội tụ của tích phân thứ nhất 2 Z (x + 1)α sin x I := dx. 1 (x − 1)β 1 Ta có (x + 1)α sin x 2α sin 1 f(x) := ∼ khi x → 1+. (x − 1)β (x − 1)β Vì vâỵ, theo dấu hiệu so sánh, I1 hội tụ khi β 1 1 và g(x) := (x + 1)α/(x − 1)β đơn điệu và hội tụ về 0 khi x → +∞. Theo Định lý Dirichlet, I2 hội tụ với mọi α < 1. TH2. α ≥ β. Ta sẽ chứng minh I2 phân kỳ. Thật vậy, giả sử I2 hội tụ. Khi đó, do hàm β α g1(x) := (x − 1) /(x + 1) đơn điệu và bị chặn nên theo Định lý Abel, tích phân +∞ +∞ Z Z (x + 1)α sin x (x − 1)β sin xdx = dx (x − 1)β (x + 1)α 1 1 hội tụ. Điều này vô lý vì tích phân này thực tế phân kỳ (xem chứng minh ở trên). Kết luận: I hội tụ khi và chỉ khi α < β < 1.