Bài giảng Giải tích 1 - Bài 10: Tích phân bất định

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Bài 10: Tích phân bất định

1. ĐỊNH NGHĨA F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) F’(x) = f(x) f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định
2. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM 8/ chx dx=+ shx C 9/ shx dx=+ chx C dx 10 / =+thx C ch2 x dx 11/ = −cothx + C sh2 x dx x 12 /=+ ln tan C sinx 2 dx x 13 /= ln tan + +C cosx 2 4
3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.Đổi biến: Đổi biến 1: x = u(t) dx = u’(t) dt f(x) dx = f(u(t))u’(t) dt Đổi biến 2: u(x) = t u’(x) dx = dt f(u(x))u’(x) dx = f(t) dt 2. Tích phân từng phần: u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) u’(x)v(x) dx
4. Một số lưu ý khi dùng tp từng phần Pxn() là đa thức bậc n. Pn.ln( x ) dx dv= P dx, u là phần còn lại Pn.arctan xdx n Pn.arcsin xdx x Pn. e dx u= Pn( x ), dv là phần còn lại Pn.sin xdx
5. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Nguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bản dx() Ax+ B dx , ()x− am x2 + px + q Trong đó: * m là các số tự nhiên, * Các tam thức bậc 2 có = p2 - 4q< 0
6. Tích phân các phân thức cơ bản ()Ax+ B dx Đạo hàm của MS (lấy hết Ax) x2 ++ px q A 2xp+ Ap dx = dx + B − 2 x2 ++ px q 2 x2 ++px q 2xp+ du dx = =ln uC + x2 ++ px q u
7. Ví dụ x - 1 ò dx xx2 -+1 1 2x - 1 æö1 dx ç ÷ = ò dx +-ç 1÷ò 2 xx2 -+1 èøç2 xx2 -+1 1 1 dx =ln(xx2 - + 1) - ò 2 2 æö132 çx -+÷ èøç 24÷ 1 1 1 2 x - =ln(x2 - x + 1) - . arctan2. 2 + C 2233
8. Chứng minh quy nạp In dx 2 2−nn 2 2 − − 1 I = uxa=( + ) du = − 2 nxxa ( + ) dx n 22n ()xa+ dv== dx, choïn v x 2 2−nn 2 2 2 − − 1 In = x( x + a ) + 2 n x ( x + a ) dx 2 2−nn 2 2 2 2 2 − − 1 Ixxan =( + ) + 2 nxaaxa ( + − )( + ) dx =xxa(2 + 2 )−n + 2 nxa ( 2 + 2 ) − n dxnaxa − 2 2 ( 2 + 2 ) − n − 1 dx 2 2−n 2 In= x( x + a ) + 2 nI n − 2 na I n+1 1 x Inn+1 =2 2 2 2 +(2 n − 1) I 2na ( x+ a )
9. MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH 2x−− 1 2 x 1 A B fx()= = = + xx2 +−23(x− 1)( x + 3) x − 1 x + 3 Tính A: nhân 2 vế với (x-1), sau đó thay x bởi 1 2xB− 1x=1 1 =A +( x − 1) A = xx++3 3 4 Để tính nhanh, trong biểu thức 21x − (xx−+ 1)( 3) Che (x-1) rồi cho x = 1 ta tìm được A Tính B: nhân 2 vế với (x+3), sau đó thay x bởi -3 (hoặc che x+3 trong phân thức ban đầu) B = 7/4
10. 21x− A1/ 4 C fx()= = + + (x− 1)22 ( x + 3)xx−+13 ( x − 1) Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1 Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3
11. 21xA− 1/ 4− 7 /16 fx()= = + + (x− 1)22 ( x + 3)xx−+13 ( x − 1) Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1 Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3 Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x→
12. Sử dụng nguyên tắc chung Quy đồng mẫu số và đồng nhất tử số 2 vế 21x−+ A Bx C fx()= = + (x22+ x + 1)( x + 3)x + 3 x + x + 1 2x− 1 = A ( x2 + x + 1) + ( Bx + C )( x + 3) 2x − 1 = ( A + B ) x2 + ( A + 3 B + C ) x + A + 3 C AB+=0 A =−1 ABC +32 + = = B 1 AC+31 = − C = 0
13. 21x − −dx xdx dx =+ (x2 + x + 1)( x + 3) x + 3 xx2 ++1 1 (2x+ 1) dx 1 dx = −lnx + 3 + − 2 2 2 xx++1 2 13 x ++ 24 1 = −lnx + 3 +ln(xx2 + + 1) 2 1 2x + 1/ 2 −+arctan C 2 3 3 / 2
14. Ví dụ 3 (xx++ 1)2 mm21 I= dx 12==, x +1 nn1232 BSCNN( n12 , n )= 6 tx6 =+1 =dx6 t5 dt tt46+−1 I= 6 t5 dt =6 (t6 + t 8 − t 2 ) dt t 3
15. dt dt I =−3 =−3 t3 −1 (t− 1)( t2 + t + 1) dt t + 2 = − + dt t −1 tt2 ++1
16. ()Ax+ B dx A (2ax+ b) dx = 2 ax++ bx c 2a ax2 ++ bx c Ab dx + B − 2a ax2 + bx + c Tương tự cho trường hợp còn lại.
17. 1 du I = 3 2 2 2 − u 3 13 =+arcsin uC 3 2 1 3 1 =arcsin xC − + 3 23
18. ĐỔI BIẾN LƯỢNG GIÁC R( x, ax2 ++ bx c) dx Sau khi đưa tam thức bậc 2 về bình phương đúng, có thể rơi vào các TH sau: 22 R(,) u A− u du Đặt u = Asint 22 R(,) u u− A du Đặt u = A/sint 22 R(,) u u+ A du Đặt u = Atant
19. Ví dụ 2 3 2 3 I= ( x + 4 x + 5) dx = ( x + 2) + 1 dx 23 I=+ ( u 1) du Đặt u = tant dt It=+(tan23 1) cos2 t dtcos tdt dv = = = cos5t (1−− sin 2 t ) 3 (1 v 2 ) 3
20. TÍCH PHÂN TREBUSEV xm() ax n+ b p dx m,n, p là các sô hữu tỷ TH 1: p là số nguyên : Đặt x = tk, k là BSCNN mẫu số của m, n. m +1 n k TH 2: là số nguyên: Đặt ax +b = t , k là n mẫu số của p m +1 TH 2: + p là số nguyên: Đặt bx− n +a = tk , k n là mẫu số của p
21. Ví dụ 1 dx m= −4, n = 2, p = − I = 2 42 xx1+ m +1 − 4 + 1 1 +p = − = −2 n 22 Đặt x-2 +1 = t2 -2x-3dx = 2tdt −2dx 2 I = 2t ( t− 1) dt 2 x 2 +1 = =2 (t − 1) dt xx32 t x 2
22. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC R(cos x ,sin x ) dx Thay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp không đổi =txcos Thay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp không đổi =txsin Thay x bởi +x, biểu thức dưới dấu tp không đổi =txtan x Tổng quát: =t tan 2
23. cos3 x I= dx cos2 xx+ 2sin Thay x bởi - x trong biểu thức dưới dấu tp cos3 ( − x ) dx() − cos2 ( −xx ) + 2sin( − ) −cos3 x =−()dx cos2 xx+ 2sin cos3 x = dx cos2 xx+ 2sin
24. dx I = cosxx++ sin 2 x 12x t = tan dt =(1 + tan2 ) dx dx = dt 2 22 1+ t 2 12dt dt I == 2t 1− t2 1 + t 2 t 2 + 2 t + 3 ++2 11++tt22
25. Ví dụ sinxx+− 2cos 3 I= dx sinxx−+ 2cos 3 sinxx+− 2cos 3 =A(sin x − 2cos x + 3)' + B (sin x − 2cos x + 3) + C sinxx + 2cos − 3 =A(cos x + 2sin x ) + B (sin x − 2cos x + 3) + C 4 3 6 ABC =,, = − = − 5 5 5