Bài giảng Giải tích 1 - Bài 13: Tích phân suy rộng (Phần 1)

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Bài 13: Tích phân suy rộng (Phần 1)

1. Tích phân suy rộng loại 1 (cận vô hạn) Cho f(x) khả tích trên [a, b],  b a + b f( x ) dx= lim f ( x ) dx aab→+ gọi là tích phân suy rộng loại 1 của f trên [a, + ) Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, ngược lại ta nói tích phân phân kỳ. Giới hạn trên còn được gọi là giá trị của tpsr.
2. ĐỊNH NGHĨA bb f( x ) dx= lim f ( x ) dx − a→− a + a + fxdx()()()=+ fxdx fxdx − − a Lưu ý: tích phân vế trái hội tụ khi và chỉ khi các tp vế phải hội tụ. (chỉ cần 1 tp vế phải phân kỳ là tp vế trái phân kỳ, không cần biết tp còn lại)
3. + b I= cos xdx ()b ==cosxdx sin b 0 0 Không có gh khi b →+ Phân kỳ + ln x I = e x b ln x ln b 1 = = tdt =− ln2 b 1 e x 1 2 ⎯⎯⎯→+ b→+ Phân kỳ
4. Tính chất của tích phân suy rộng 2.f khả tích trên [a, b],  b a. Khi đó  ≠ 0 + + f() x dx và f() x dx a a cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (cùng bản chất)
5. Công thức Newton-Leibnitz f khả tích trên [a, b],  b a, F là nguyên hàm của f trên [a, + ), khi đó + f()()()() x dx= F x+ = F + − F a a a trong đó F(+ ) = lim F ( x ) x→ Lưu ý: các phương pháp tính tích phân xác định vẫn sử dụng được cho tp suy rộng.
6. + 12 1 2 (x + 1/ 2) = lnx − ln( x + x + 1) + arctan 2 22331 + xx1 (+ 1/ 2) =+ln arctan 2 2 xx++1 331 1 1 1 =0 + .arctan( + ) − ln + arctan 3 3 3 3 1 =+ln3 63 2
7. Ví dụ + + + x. e−x dx = −xe−−xx + e dx 0 0 0 + = −xe−−xx − e = 1 0
8. TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho f(x), g(x) không âm và khả tích trên [a, b],  b a Nếu f()()xg k x , x a + + g() x dx hội tụ thì f() x dx hội tụ a a + f() x dx phân kỳ thì phân kỳ a
9. Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 1 f(x) kg(x) f(b) k g(b) + g() x dx hội tụ ()b bị chận trên a g f ()b bị chận trên + f() x dx hội tụ a
10. Chứng minh tiêu chuẩn so sánh 2. fx() lim=K 0, x→+ gx() f() x K −Kx ,  gx( ) 2 KK3 g( x ) f ( x ) g ( x ),  x 22 Kết luận như tiêu chuẩn so sánh 1
11. Tích phân cơ bản + dx với a 0 Hội tụ > 1 a x (Nghĩa là: > 1 thì tp hội tụ, 1 thì tp phân kỳ) Chứng minh: lnba−= ln , 1 b dx ()b = = 1 1 1 a x − ,1 −1 ba −−11
12. Ví dụ + x −1 Khảo sát sự hội tụ: I= dx 1 xx3 ++32 Hàm dưới dấu tp liên tục trên [1, + ), đây là tpsr loại 1. x −1 0 f ( x ) = ,  x [1, + ) xx3 ++32 x 1 Cách 1: f( x ) = ,  x [1, + ) xx3 2 + dx hội tụ nên I hội tụ 1 x2
13. Ví dụ + x −1 Khảo sát sự hội tụ: I= dx 0 xx3 ++32 Hàm dưới dấu tp liên tục trên [0, + ), đây là tpsr loại 1 Lưu ý: 1.Hàm dưới dấu tích phân thay đổi dấu. + dx 2.Không thể so sánh I với 0 x2 + x −1 3.I cùng bản chất với J= dx 3 I hội tụ 1 xx++32
14. + 1 I=− x cos 1 dx 1 x Tiêu chuẩn so sánh 2 dùng được cho hàm âm. 1 xx cos− 1 0 ,  [1, + ) x 1 1 1 f( x )= x cos − 1 x − = − xx 2x2 2 1 Chọn gx()= x fx( )2 1x→+ 1 =x cos − 1 ⎯⎯⎯→− g( x ) x 2
15. + 11 I=− sin dx 1 xx Khai triển Maclaurin cho f theo u = 1/x trong lân cận 1 1 1 1 1 11 f(). x= − − + o . xx 6 xx33 6 x3 1 fx( ) 1 Chọn gx(),= ⎯⎯⎯→x→+ x3 gx( ) 6 + + dx I cùng bản chất với g() x dx = : hội tụ 11x3
16. 23x + fx()= (41++xx ) 3 4 21x (1) 4 = 21 , 0 + + xx3 3 2x 1 1 = ,0 (2) 4 2 1 4xx3 3 2x 2 1 ==,0 (3) 4 5 1 5xx3 3
17. + (không thay tương I= x2. e−x dx 1 đương được) 1 Xét gx()= x f(). x x2 e−x x2+ = = ⎯⎯⎯x→+ →0, gx() 1 ex x + 1 g() x dx phân kỳ. Không có kết luận cho I 1 + 1 g() x dx hội tụ I hội tụ 1
18. + ln x (không thay tương I= dx 1 x2 đương được) 1 Xét gx()= x ln x 0 nếu 2 − > 0 (1) f( x )2 ln x ==x gx() 1 x2− x + nếu 2 − 0 (2) Lưu ý: phải chọn sao cho có thể kết luận I hội tụ hay phân kỳ.
19. + 2 k = 0 và g() x dx hội tụ (1) (a) 1 1 + f() x dx hội tụ 1 chọn = 3/2 ln x Trong f( x )2 ln x bài làm x x→+ ==1/2 ⎯⎯⎯→ 0 chỉ viết gx() 1 x như bên x3/2 cạnh + + g() x dx hội tụ f() x dx hội tụ 1 1
20. Ví dụ + 2 Khảo sát sự hội tụ: I= x. e−x cos x . dx 1 −x2 f( x )= x . e cos x thay đổi dấu trên [1, + ) + + 2 Xét I== f( x ) dx x . e−x cos x dx 1 11 2 f(). x x e−x
21. + cos x I= dx 1 x2 Hàm lấy tích phân thay đổi dấu trên [1, + ) + + cos x I== f() x dx dx 1 11x2 1 + dx fx(), hội tụ I1 hội tụ x2 1 x2 I hội tụ tuyệt đối
22. Dùng tích phân từng phần cho I + cos x I= dx 1 x 1 dx udu= = − x x2 dvxdxvx==cos,sin + cosx+ sin xdx I = − + 22 1 xx1 + sin xdx = sin1 + 1 x2 const hội tụ tuyệt đối I hội tụ
23. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 Điểm kỳ dị: Cho f(x) xác định trên [a, b] \ {x0}. Nếu limfx ( ) = xx→ 0 ta nói x0 là điểm kỳ dị của f trên [a, b] b Tích phân suy rộng loại 2 là f() x dx a với f có ít nhất 1 điểm kỳ dị trên [a, b]
24. Nếu f kỳ dị tại a và b b c b fxdx()()()=+ fxdx fxdx a a c Nếu f kỳ dị tại x0 (a, b) b x b f()()() x dx=+0 f x dx f x dx a a x0 (vế trái hội tụ các tp vế phải đều hội tụ)
25. Ví dụ 1 dx x 1 = = arcsin 0 0 1− x2 2 1ln x dx kỳ dị tại x = 0 0 x 1 1 ln2 x = lnx . d( ln x) = = − 0 2 0 Vậy tp trên phân kỳ.
26. Ví dụ −1/4 dx I = f kỳ dị tại x = −1/2. −1/2 xx21+ t2 =2 x + 1 2 tdt = 2 dx 1/ 2 tdt 1/ 2 dt I = = 2 0 t 2 −1 0 t 2 −1 t 2 1/ 2 1/ 2 11 t −−1 2 1 =−dt ==ln ln 0 tt−+11 t +1 0 21+
27. TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho f(x), g(x) như tiêu chuẩn so sánh 1 fx() Đặt k = lim (giới hạn tại điểm kỳ dị) xb→ − gx() bb Cùng hội tụ • 0 k f(),() x dx g x dx aa hoặc phân kỳ b b • k = 0 g() x dx hội tụ f() x dx hội tụ a a b b • k = g() x dx phân kỳ f() x dx phân kỳ a a
28. Sự hội tụ tuyệt đối (hàm có dấu tùy ý) b Cho f(x) khả tích trên [a, b - ],   0, nếu f a b b hội tụ thì f hội tụ. Khi đó ta nói f a a hội tụ tuyệt đối. • Sự hội tụ tuyệt đối là sự hội tụ của tích phân |f| • Hội tụ tuyệt đối hội tụ
29. 1 Chọn gx()= (x − 0)1/2 f() x x x + = ⎯⎯⎯→x→0 1 g( x ) sin x 11dx I cùng bản chất với g() x dx = 0 0 (x − 0)1/2 nên hội tụ.
30. Xét I1: f kỳ dị tại x = 0 11 f( x )= , khi x → 0+ sinx cos x x 1 Chọn gx()= x f() x x + = ⎯⎯⎯→x→0 1 gx() sinxx cos 3 nên hội tụ. I1 cùng bản chất với g() x dx 0
31. 1 Chọn gx()= 1 − x 2 − fx() − x x→ =2 ⎯⎯⎯→2 1 gx() sinxx cos 2 nên pkỳ I2 cùng bản chất với g() x dx /3 I1 hội tụ, I2 phân kỳ I hội tụ
32. Ví dụ 3/2 + (xx+1) Khảo sát sự hội tụ I= dx 0 ex −1 f kỳ dị tại x = 0, tách I thành 2 tích phân: 3/2 3/2 2 (x++11) x+ ( x) x I=+ dx dx 12eexx−−11 I2 I1 (do x = 0 quyết định) (do x = + quyết định)
33. 1 dx 1/ 0 x −1 1 dx 2/ 0 exx − ln 13cos5x + 2 3/ dx 0 e x −1 + 2 4 /x 1− cos dx 0 x2