Bài giảng Giải tích 1 - Bài 15: Phương trình vi phân cấp 1

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Bài 15: Phương trình vi phân cấp 1

1. BÀI TOÁN DẪN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Vận tốc nguội lạnh của một vật trong không khí tỷ lệ với hiệu giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí. Tìm quy luật giảm nhiệt của vật nếu nhiệt độ của không khí là 200C và nhiệt độ ban đầu của vật là 1000C. Quy luaät giaûm nhieät söï thay ñoåi nhieät ñoä theo thôøi gian Gọi nhiệt độ của vật là hàm số T theo biến thời gian t dT =k T( t ) − 20 , T (0) = 1000 C PTVP dt
2. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1.PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân 2.Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm. 3.Nếu ẩn hàm là hàm 1 biến PTVP thường. Nếu ẩn hàm là hàm nhiều biến PTVP đạo hàm riêng. 4.Hệ PTVP là hệ gồm nhiều PTVP và nhiều ẩn hàm.
3. NGHIỆM CỦA PTVP 3.Đồ thị của hàm nghiệm gọi là đường cong tích phân. 4.Hàm y = y(x) thỏa (1) nhưng không phải là nghiệm riêng được gọi là nghiệm kỳ dị của (1).
4. MỘT SỐ DẠNG PTVP CẤP 1 • Phương trình tách biến • Phương trình đẳng cấp • Phương trình tuyến tính cấp 1 • Phương trình vi phân toàn phần • Phương trình Bernoulli.
5. 2 Ví dụ 3y y’ = 2x (1) y(0) = 1 (2) (1) = 3y2 dy 2 xdx = 32y2 dy xdx y32 = x + C (3) ( tích phân tổng quát ) Thay x = 0, y = 1 vào TPTQ C = 1 3 Vậy nghiệm của (1) và (2) là: yx=+2 1 Hoặc tích phân riêng là: y3 = x2 + 1
6. y’ = 3x2y, y(0) = 2 Hàm y = 0 không thỏa đk ban đầu nên không xét dy dy y'= 3 x22 y = 3 x dx =3x2 dx y y ln y = x3 + c 33 y = ex+ c = e c e x 3 y = Cex ,0 C 3 x = 0, y = 2 C = 2 nghiệm ye= 2 x :
7. DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾN y’ = f(ax + by + c) Đặt u = ax + by +c Vd: y’ = (4x + y – 1)2 u=4 x + y − 1 u ' = 4 + y ' Pt trở thành du uu'4−=2 =dx u2 + 4 1 u arctan =xc + 22 41xy+− arctan = 2xC + 2
8. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP y y yf = Đổi biến: u = Hay: y = ux x x 22 xy Vd: xyy' = x − xy + y y '1 = − + yx y u = =y ux y''=+ u x u x 1 Pt trở thành: u'1 x+ u = − + u u 1− u =ux' u u + ln|u-1| = −ln|x| + C
9. Ví dụ Giải pt: (2x− 4 y + 6) + y '( x + y − 3) = 0 −2xy + 4 − 6 =y' xy+−3 −2x + 4 y − 6 = 0 x = 1 x+ y −3 = 0 y = 2 Đổi biến: x = X + 1, y = Y + 2, pt trở thành −2(XYXY + 1) + 4( + 2) − 6 − 2 + 4 YY''= = XYXY+1 + + 2 − 3 +
10. (U+− 1) dU dX = UU2 −+32X −ln(U − 1)2 + ln U − 23 = − ln | X | + c (UC− 2)3 = (U − 1)2 X (YXCYX − 2 )32 = ( − ) (trả về x, y)
11. Ví dụ Giải pt: (3x+ 2 y ) dx + (2 x − 9 y ) dy = 0 P(x,y) Q(x,y) PQyx ==2 Chọn : (xy00 , )= (0,0) xy U(,)(,)(,) x y=+ P tyx0 dt Q t dt xy00 xy =(3t +0 ) dt + (2x − 9t ) dt 00
12. Ví dụ xx yy x Giải pt: x+ e dx + e10 − dy = y P(x,y) Q(x,y) x x P = − ey = Q yxy2 Chọn : (xy00 , )= (0,1) xy U(,)(,)(,) x y=+ P tyx dt Q0 t dt xy00
13. PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 (1) y’ +p(x)y = q(x) Toàn bộ pt chỉ chứa hàm bậc 1 theo y và y’. (2) y’ + p(x)y = 0: pt thuần nhất Cấu trúc nghiệm tổng quát của (1): y = y0 + yr • y0 là nghiệm tổng quát của (2) • yr là 1 nghiệm riêng của (1)
14. Bước 2: tìm 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất − p() x dx y0 = Ce Biến thiên hằng số: trong y0 coi C =C(x) Thay y0 vào y’ + p(x)y = 0 (1) để xác định C(x). −− p()() x dx p x dx Cxe'()− pxCxe ()() + pxy ()0 = qx () =C'( x ) q ( x ) e p() x dx Chọn C()() x= q x e p() x dx dx − p()() x dx p x dx yr = e q() x e dx
15. 2 /y '− 2 xy = 1 − 2 x2 y = e− −22xdx( (1 − 2 x2 ) e − xdx dx + C) 22 =exx( (1 − 2 x2 ) e− dx + C) 2 2 2 =ex( xe− x + C) = x + Ce x
16. =+e−sinxx( sin x cos xe sin dx C) =e−sinx(sin xe sin x − cos xe sin x dx + C) =e−sinx(sin xe sin x − e sin x + C) y=sin x − 1 + Ce−sin x y(0)=1 C = 2 −sin x Nghiệm bài toán: y=sin x −1 + 2 e
17. xy x −= yy++11 11 − −dy y − dy x = eyy++11 . e dy + C y +1 1 x =( y + 1)(ln | y + 1| − + C ) y +1
18. 22 y Vd: 1/xy '+= y x y y' + = xy2 x y' 1 1 Chia hai vế cho y2: +=x y2 xy Đặt u = y 1−2 = y −1 uu Pt trở thành: −u'' + = x u − = − x xx dx dx − u = exx − xe dx + C = − x2 + Cx 11 = −x2 + Cx y = y −+x2 Cx
19. 3 / (x+= x3 sin y ) y ' 2 y 2yx ' = x + x3 sin y xysin xy' 1 sin xx' − = 3 − = 22yy x322 yx 2y Đổi biến: u = x −2, pt trở thành: uysin u'+ = − u = y−1(cos y + C ) yy 1 cos yC+ = x2 y