Bài giảng Giải tích 1 - Bài 17: Hệ phương trình vi phân cấp 1

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Bài 17: Hệ phương trình vi phân cấp 1

1. ĐỊNH NGHĨA F1(t,x1,x2, , xn, x1’,x2’, ,xn’) = 0 Hệ tổng quát . Fn(t,x1,x2, , xn, x1’,x2’, ,xn’) = 0 x1’ = f1(t,x1,x2, , xn) Hệ chính tắc . xn’ = fn(t,x1,x2, , xn) t : biến x1, x2 , , xn : ẩn hàm
2. PHƯƠNG PHÁP KHỬ B1: xây dựng một ptvp cấp n theo 1 hàm chọn trước. B2: giải ptvp cấp n vừa tìm được và rút về hệ với (n – 1) hàm Vd: t x'= x '( t ) = 2 y + e (1) t y'= y '( t ) = − x + 3 y − e (2) t t t y = − x' + 3 y ' − e y = − 2 y − e + 3 y ' − e (3) tt x'= 2 y + e x ' = 2 y + e
3. Cách khử cho hệ 2 pt (tuyến tính) x = a1 x + b 1 y + f 1() t (1) (2) y = a2 x + b 2 y + f 2 () t 1.Lấy đạo hàm pt (1) theo t được (3) 2.Thay y’ từ pt (2) vào (3) được (4) 3.Rút y từ (1) thay vào (4) 4.Pt kết quả là pt cấp 2 theo ẩn hàm x và biến t Nếu xuất phát từ pt (2), ta có pt cấp 2 theo y
4. Ví dụ t x'= x '( t ) = 2 y + e 1/ t y'= y '( t ) = − x + 3 y − e xt() 02 Xt()= A = yt() −13 et Ft()= t −e
5. PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT X’ = AX + F(t) A chéo hóa được (  P: P-1AP = D (chéo) ) X’ = PDP-1X + F(t) Đặt Y = P-1X: P-1X’ = DP-1X + P-1F(t) Y’ = DY + G(t) y1  10 0 y 1 g 1 ( t ) y 0 0 y g ( t ) 2 =+ 2 2 2 y n 0 0 n y n g n ( t )
6. t x =+2 x e (1) 12 t x 2= − x 1 +3 x 2 − e t 02 e A = , Ft()= t −13 −e Chéo hóa A 21 10 −1 11− P = , D = , P = , 11 02 −12 −1 yx11 −1 YPX= = P yx22
7. tt y=+2 te C e 11 tt2 y22=+3 e C e tt 21 2te+ C1 e X= PY = 11 tt2 3e+ C2 e t2 t t t 2C12 e+ C e + 4 te + 3 e = t2 t t t C12 e+ C e +23 te + e Vậy nghiệm hệ đã cho là: t2 t t t x1( t )= 2 C 1 e + C 2 e + 4 te + 3 e t2 t t t x2( t )= C 1 e + C 2 e + 2 te + 3 e
8. y'( t )=  y ( t ) 1t 1 1 1 y11( t) = c e y2'( t )=  2 y 2 ( t ) 2t y22( t) = c e y'( t )=  y ( t ) n n n nt ynn( t) = c e n kt (P là cột thứ k của P) X== PY ck e Pk k k=1 kt Xkk== e P, k 1, , n : heä nghieäm ñltt cuûa heä thuaàn nhaát
9. Vd: x1 = x 1 + x 2 + 2 x 3 1 1 2 x = x + x + 2 x =XX 1 1 2 2 1 2 3 x 3=2 x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 224 A 1−  1 2 AI− =1 1 −  2 = 2 (6 −  ) = 0 2 2 4 −  1 = 0 2 = 6
10. 11tt 2t 6t X1== e P 1, X 2 e P 2, X3== e P 3 e P 2 3 12 1 =XCX =C e0tt −10 + C e0 + Ce6t 1  kk 1 2 3 k=1 01 − 2 6t x C1++2 C 2 C 3 e 1 x = − C + C e6t 2 1 3 x 6t 3 −+C232 C e
11. PP biến thiên hằng số tìm Xr Xr = C1(t)X1 + + Cn(t)Xn Ci tìm từ hệ pt: C’1(t)X1 + + C’n(t)Xn = F(t)
12. Các nghiệm đltt của hệ thuần nhất tt 21 2 X12== e , X e 11 Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất tt 21 2 X0= C 1 X 1 + C 2 X 2 = C 1 e + C 2 e 11 Tìm Xr bằng pp biến thiên hằng số: Trong X0 xem C1 và C2 là các hàm cố theo t
13. tt 21 2 X0= C 1 X 1 + C 2 X 2 = C 1 e + C 2 e 11 C( t )= 2 t 1 Xr = C1()() t X 1 + C 2 t X 2 −t C2( t )= 3 e t 21 − t2 t =+23te e e 11 43tett+ e = tt 23te+ e Nghiệm tổng quát: XXX=+0 r
14. 2 t t t e − −1 2 / 3− 1/ 3 e 33 PF== 1/ 3 1/ 3t 1 t t e + 33 Hệ viết lại theo y1, y2 Y =+ DY P−1 F 2 t et − yy11 2 33 = + yy 5 1 t 22 et + 33