›
›

Bài giảng Giải tích 1 - Chương 5C: Hệ phương trình vi phân

Hệ phương trình tuyến tính hệ số hằng

Định nghĩa: Hệ ptvp là hệ gồm các ptvp chứa đạo hàm của các hàm cần tìm

Ví dụ: Các hệ ptvp

m

Hệ 2 ptvp cấp 1

[F(t,x,y,x', y')=0 \G(t,x,y,x', y')=0

Trong đó

t là biến độc lập, x(t), y(t) là các hàm cần tìm.

Hệ 3 ptvp cấp 1 dạng chính tắc ( x = f(t,x,y,z)

y' = g(t,x,y,z)

z' = h(t,x,y,z)

pdf 19 trang xuanthi 26/12/2022 1900
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Giải tích 1 - Chương 5C: Hệ phương trình vi phân", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_giai_tich_1_chuong_5c_he_phuong_trinh_vi_phan.pdf

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương 5C: Hệ phương trình vi phân

  1. Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng Hệ ptvp tuyến tính cấp 1 hệ số hằng là hệ ptvp có dạng dx 1 a x a x a x f ( t ) dt 11 1 12 2 1nn 1 dx2 a21 x 1 a 22 x 2 a 2nn x f 2 ( t ) dt dx n a x a x a x f ( t ) dt n1 1 n 2 2 nn n n Trong đó fi(t), i=1,2, ,n là các hàm liên tục trong (a,b)
  2. Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử d Ta kí hiệu phép lấy đạo hàm là D Suy ra dt dd23 D23 = , D = , dt23 dt Ví dụ với hệ ptvp sau x 2 x y et (D 2) x y et Ta viết thành y x 2 y t x ( D 2) y t Sau đó, ta dùng phương pháp khử như đối với hpt đại số tuyến tính
  3. Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử t x2 5 x 2 4 x 2 2 e 3 t 1 2 3 11 x C et C e4 t te t t 2 1 2 3 4 16 xt Thay vào pt (2) xx 2 1222 1 1 1 41 x C e4t C e t e t ( t 1) t 1 22 1 3 4 24
  4. Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử y 8 y 16 y 3 e2t 2 t 1 (3) 31 y C e4t C te 4 t e 2 t t 1 1248 Thay vào pt (2) x Dy 3 e2t 7 3 1 C C e4t C te 4 t e 2 t t 1 2 2 4 8 4
  5. Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử Hệ trên tương đương với: (D 2) x12 ( D 2) x 0 (4) 2 ( 4D 5) x12 ( D 5 D 3) x 0 (5) 2 Khử x2: (D +5D+3)*(4)+(D+2)*(5) 2 (D 5 D 3)( D 2) x11 ( 4 D 5)( D 2) x 0 32 (D 3 D 4) x1 0 x1 3 x 1 4 x 1 0 t 22 t t x1 C 1 e C 2 e C 3 te t 22 t t Thay vào pt (4) để tìm x2: x2 C 1 e C 4 e C 3 te tt1 2 Thay vào (1) để tìm x3: x C e (4 C C 4 C ) e 3 13 2 3 4
  6. Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng x x 2 x t 2 Ví dụ: Giải hpt 1 1 2 x2 x 1 42 x 2 12 2 1 1 1 1 2 0 A SSD ,, 14 1 1 1 2 0 3 Đặt Y=S-1X, ta được hpt: 2 dY 1 y11 22 y t DY S F() t dt 2 y22 34 y t 2dt 2 2 dt y11 e ( t 2) e dt C y e 3dt( t 2 4) e 3 dt dt C 12
  7. Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng 2t x1 x 1 33 x 2 x 3 e 2t Ví dụ: Giải hpt x2 3 x 1 5 x 2 3 x 3 e x 6 x 6 x 4 x 2 t 3 1 2 3 1 3 3 e 2t 1 1 1 A 3 5 3 F() t e 2t S 1 0 1 6 6 4 2t 0 1 2 1 3 1 2 0 0 1 SD 1 2 2 0 , 0 2 0 2 1 1 1 0 0 4
  8. Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng 2 x1 x 1 32 x 2 x 3 t 2 Ví dụ: Giải hpt x2 32 x 1 x 2 x 3 t x x x 22 x t 3 1 2 3 1 3 2 t 2 111 2 A 3 1 2 F() t t S 1 1 1 1 1 2 2t 1 1 0 1 1 2 0 0 0 1 SD 1 1 1 2 , 0 4 0 4 2 2 0 0 0 4
  9. Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – Bài tập Giải các hpt sau x 2 x y 1. y x2 y x 46 x y 2. y 23 x y t x y 2 x 6 y cos t 3. y x 3 y sin t x' x 44 x x et 1 1 2 3 ' 4. x2 8 x 1 11 x 2 8 x 3 2 t ' x3 8 x 1 8 x 2 5 x 3