Bài giảng Giải tích 2 - Chương 0 : Hàm nhiều biến và những khái niệm cơ bản

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương 0 : Hàm nhiều biến và những khái niệm cơ bản

1. NỘI DUNG 1.Dãy điểm trong Rn. 2.Tập đóng, tập mở, tập bị chận, tập compact. 3.Hàm nhiều biến. 4.Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến.
2. CÁC DẠNG TẬP HỢP CƠ BẢN A  Rn là tập đóng mọi dãy trong A có giới hạn thì giới hạn cũng nằm trong A. (A lấy tất cả các đường biên có thể có) A  Rn là tập mở phần bù của A trong Rn là đóng (A không lấy bất kỳ phần nào của biên)
3. A là tập bị chận tồn tại M >0 sao cho x A, ||x|| M 22 x= x1 + + xn (A có thể được bao bọc bởi một mặt cầu (hoặc đường tròn)) A là tập compact A là tập đóng và bị chận A = {(x,y)/ y 0} A không A compact A không compact compact
4. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA HÀM 2 BIẾN Hàm số z = f(x,y) biểu diễn một mặt cong trong không gian D
5. Ví dụ 1/f ( x , y )== x , lim f ( x , y ) x0 , xx→ 0 yy→ 0 Vì D = R2 và (xn, yn) → (x0, y0) xn → x0, yn → y0 f (xn, yn) = xn → x0,  (xn, yn) Vậy f( x , y )== y , lim f ( x , y ) y0 , xx→ 0 yy→ 0
6. Một số lưu ý trong tính giới hạn • Các phép toán và tính chất của giới hạn hàm 1 biến vẫn còn đúng cho hàm nhiều biến(tổng, hiệu, tích , thương, giới hạn kẹp, ) • Thay tương đương VCB, VCL, khai triển Taylor, qtắc L’Hospitale chỉ áp dụng nếu chuyển được sang hàm 1 biến. • Để ý dạng vô định khi tính giới hạn.
7. xy 5 /f ( x , y ) = xy22+ Không có ghạn khi (x,y)→ (0, 0) Chọn 2 dãy điểm: 1 1 1 XY=(0, ) → (0,0), = ( , ) → (0,0) nnn n n nhưng 1 limf ( Xnn )= 0 lim f ( Y ) = nn→ → 2
8. HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẤT f(x, y) liên tục tại (x0, y0) D limf ( x , y )= f ( x00 , y ) xx→ 0 nếu: yy→ 0 Những tính chất quan trong của hàm số liên tục • Các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định, • f liên tục trên tập A đóng và bị chận thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên A. Lưu ý: mọi phát biểu trên không gian n chiều cũng tương tự trên không gian 2 chiều.