Bài giảng Giải tích 2 - Chương: Chuỗi lũy thừa

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương: Chuỗi lũy thừa

1. ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng: n  an (), x− x0 aRn là giá trị cho trước n=1 Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp: n D=  x R:() an x − x0 hoäi tuï n=1 aXn Nếu đặt X = x – x0, chuỗi trở thành  n , n=1 nên không mất tính tổng quát ta chỉ xét chuỗi này.
2. Chứng minh định lý n n Neáu  axn hoäi tuï taïi x00 =0 thì limaxn 0 n=1 n→ n M 0: an x0 M ,  n nn nn xx ann x= a x0 M xx00 x x ( − x00, x ) : 1 x0 n x n  hoäi tuïaxn hoäi tuï nn==00x0
3. Trường hợp chuỗi tổng quát n  an () x− x0 n=1 n Soá R >0 sao cho  an () x− x0 hoäi tuï trong n=1 (x00− R,, x + R)vaø phaân kyø beân ngoaøi  − R R goïi laø baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi . Khoảng hội tụ: (,)x00−+ R x R
4. Lưu ý 1.Có thể tính bán kính hội tụ như sau: 1 a RR==lim hay lim n nx→ n → an an+1 2. Trường hợp R = 0 hay R = , không được gọi là bán kính hội tụ nhưng có thể gọi tạm cho dễ sử dụng.
5. (n !)2 2/ Tìm baùn kính hoäi tuï:  xn n=1(2n )! (n !)2 an = (2n )! (n !)2 an (2n )! R = lim = lim n→ an+1 n→ (n + 1)!2 (2n + 2)! (2nn++ 1)(2 2) ==lim 4 n→ (n + 1)2
6. (3x + )n 4/ Tìm mieàn hoäi tuï  n n=1 5 n n (xx++ 3) 3 n = : chuoãi caáp soá nhaân nn==105 5 x + 3 Điều kiện hội tụ: 1 − 8 x 2 5 Vaäy mieàn hoäi tuï laø: D =−( 8,2)
7. Chú ý 1.Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác định 2.Trong khoảng hội tụ, đạo hàm (tích phân) của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tích phân) tương ứng. 3.Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗi tích phân bằng BKHT của chuỗi ban đầu. n n−1 S()() x= an x S x = nan x nn==01
8. xn 1/Sx()=  MHT: D =− 1,1) n=1 n 1 S () x=  xn−1 =  xn =, x ( − 1,1) n=1 n=0 1− x x dt =Sx()−S(0) = −ln(1 −xx ),  ( − 1,1) 0 1− t Do S(0)= 0 S( x ) = − ln(1 − x ), x 1 S(− 1) = lim S ( x ) = − ln 2 x→−1+
9. 3/S( x) =  nxn MHT: D =−( 1,1) n=1 S() x= x nxn−1 n=1 n x = x x =xx , ( − 1,1)  1− x n=1 x =,x ( − 1,1) (1− x )2
10. xn S( x )= = − ln(1 − x ), x 1 n=1 n 11 S =− nn n=1 nn.2 (+ 1).2 (1/ 2)nn( 1/ 2) +1 =−2 nn==11nn+1 (1/ 2)nn( 1/ 2) =−2 nn==12nn 1 =SS(1/ 2) − 2 ( 1/ 2) − =+ln 2 1 2
11. 1 S ( x )= , x ( − 1,1) S( x )= arctan x , x ( − 1,1) 1+ x2 (− 1)n S =  n n=0 3 (2n + 1) 21n+ (− 1)n 1 = 3  n=0 21n + 3 1 ==3.arctan 3. 3 6
12. f( x0 )= a 0 , f ( x 0 ) = a 1 , f ( x 0 ) = 2! a 2 , , ()n f( x0 )= n ! an , a0== f( x 0 ), a 1 f ( x 0 ) fx () a = 0 2 2! fx()n () a = 0 , n n!
13. Định lý Nếu f khả vi vô hạn trong lân cận x0 và tồn tại C > 0, R > 0 sao cho ()nn f(),, x C  x ( x00 − R x + R) Khi đó ()n fx()0 n f()(),, x= x − x0  x ( x 0 − R x 0 + R) n=0 n!
14. n ()k fx()0 n f()(), x=− x x0 + Rn (1) k=0 n! xR (x00 −, x + R) Cn+1 x− x n+1 R 0 → 0, khi n → n (n + 1)! qua giới hạn (1) ta có: ()n fx()0 n f()(),, x= x − x0  x ( x 0 − R x 0 + R) n=0 n!
15. Yêu cầu của 1 bài khai triển chuỗi 1.Vận dụng được chuỗi Maclaurin cơ bản . n 2.Viết được dạng chuỗi lũy thừa theo (x-x0) với hàm f cho trước. 3.Chỉ ra miền hội tụ của chuỗi tìm được, đó chính là miền mà hàm f được khai triển thành chuỗi Taylor.
16. xn 4 / ln(1+x ) = ( − 1)n−1 , D =−( 1,1 n=1 n x21n+ 5 / sinx =− ( 1)n n=0 (2n + 1)! x2n DR= cosx =− ( 1)n n=0 (2n )! x21n+ 6 / arctanx =  (− 1)n , D =−( 1,1) n=0 21n +
17. n−1 n (− 1) X X fx( )=+ ln 4 , MKT : −( 1,1 n=1 n 4 4 (− 1)n−1 x n =ln 4 + n ( − 2) , n=1 n.4 x − 2 với −( 1,1 hay x −( 2,6 4
18. (−xx )nn (2 ) fx( )= ( − 1)nn−−11 + ( − 1) nn==11nn −1 + ( − 2)n =  xn n=1 n −11 Với: −x 22
19. (−− 1)nn ( 1) −1 (1+x ) e−x = x n + x n nn==01nn! (− 1)! (−− 1)nn ( 1) −1 =1 +xxnn + nn==11nn! (− 1)! nn−1 (−− 1) ( 1) n =1 + + x n=1 nn! (− 1)! (− 1)n =11 + ( − nx) n D = R n=1 n!
20. 1.3.5 (2n − 1) f xnn x2 ( )= 1 + ( − 1) n n=1 2!n Điều kiện: 0 xx2 1 − 1 1 x f( x )=+ f ( t ) dt f (0) 0 1.3.5 (2n − 1) xxnn21+ = + ( − 1) n n=1 2nn !(2+ 1) Điều kiện: −11 x
21. 11 S n−1 2 / = ( − 1) 1 − n n=1 n 3 Xét 2 chuỗi lũy thừa: xn R( x )=− ( 1)nn−1 x và Tx( )=− ( 1)n−1 n=1 n=1 n −x R()() x= − − x n = − ,x −( 1,1) n=1 1+ x T( x )=+ ln(1 x ), x −( 1,1 11 SRT=− 33
22. nn+2 33 2 15nn−+11 55 = −( − 1) + ( − 1) 10 nn==11nn 3+ 2 n 3 1 3 9 n−1 5 = −ln 1 + + ( − 1) 10 5 25 n=3 n