Bài giảng Giải tích 2 - Chương : Cực trị hàm nhiều biến (Phần 1)

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương : Cực trị hàm nhiều biến (Phần 1)

1. NỘI DUNG 1. Cực trị tự do. 2. Cực trị có điều kiện. 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên tập compact.
2. Lưu ý: dùng định nghĩa để xét cực trị là xét dấu biểu thức sau với (x,y) gần (x0,y0) f(,)(,)(,) x0 y 0 = f x y − f x 0 y 0 fxy(,)(,)(,)0 0 = fx 0 + xy 0 + yfxy − 0 0 hay x, y gần 0 (nhưng không đồng thời bằng 0) Nếu f giữ nguyên dấu trong 1 lân cận của (x0, y0) thì f đạt cực trị tại điểm này, ngược lại f không đạt cực trị tại đây.
3. 2/ P(0, 0) là điểm cực tiểu không chặt của f(x, y) = x2y2 vì f(0,0) = f(x, y) – f(0, 0) = x2y2 0, (x, y) hay f(x, y) f(0, 0), (x, y) nhưng f(x, 0) = f(0, 0), x 0 và f(0, y) = f(0, 0), y 0 Tức là: trong lân cận V bất kỳ của (0, 0) luôn luôn có ít nhất 1 đíểm (x, y) để dấu “ = “ xảy ra.
4. 3/ f(x, y) = x2 – y2 không đạt cực trị tại (0, 0 ) vì f(x, 0 ) > 0 = f(0, 0),x 0; f(0, y) f(0,0) và f(P2) < f(0,0).
5. Điều kiện đủ của cực trị: Hàm z = f(x, y) có đạo hàm cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng P0(x0, y0) của f. 2 1.Nếu d f(x0,y0) xác định dương thì f đạt cực tiểu chặt tại P0. 2 2.Nếu d f(x0,y0) xác định âm thì f đạt cực đại chặt tại P0. 2 3.Nếu d f(x0,y0) không xác định dấu thì f không đạt cực trị tại P0
6. VÍ DỤ 1/ Tìm cực trị z = f(x, y) = x3 + y3 – 3xy 2 fx =3 x − 3 y = 0 (xy , )= (0,0) 2 hay ( x , y )= (1,1) fy =3 y − 3 x = 0 fxx =6 x , f xy = − 3, f yy = 6 y Tại (0,0): A = f”xx(0,0) = 0, B = f”xy(0,0) = -3, C = f”yy(0,0) = 0, = AC – B2 = - 9 < 0 f không đạt cực trị tại (0,0)
7. f(x, y) = x4 + y4 – x2 – 2xy – y2 22 fxx =12 x − 2, f xy = − 2, f yy = 12 y − 2 Tại (1,1): A = f”xx(-1,-1) = 10, B = f”xy(-1,-1) = -2, C = f”yy(-1,-1) = 10, = AC – B2 = 100 – 4 > 0 A > 0 f đạt cực tiểu tại (-1,-1), f(-1,-1) = -2
8. f(0,0) = x4 + y4 – (x + y)2 Nếu x = – y : f(0,0) = 2x4 > 0 Nếu x = y: f(0,0) = 2x4 – 4x2 = 2x2(x2 – 2) f(0,0) và f(P2) < f(0,0). Kết luận: f không đạt cực trị tại (0, 0).
9. (Loại câu hỏi này chỉ xét xem điểm nào thỏa hệ {f’x = 0, f’y = 0} nhưng không cần giải nếu hệ khó) f(x, y) = 2x4 + y4 – x2 – 2y2 P1(0,0), P2(-1, 1), 3 Xét hệ: fx =8 x − 2 x = 0 P3(1/2, -1), 3 fy =4 y − 4 y = 0 P4(0,1) Chỉ có P1, P3 và P4 thỏa hệ nên P2 không là điểm dừng, vậy P2 không là điểm cực trị
10. 4/ Tìm cực trị f(x, y, z) = −x2 + y2 + z2 – 4xz + 4x + 6y – 2z fx = −2 x − 4 z + 4 = 0 fy =2 y + 60 = (,,) x y z = (0,3,1) − fz =2 z − 4 x − 2 = 0 d2 z(0,− 3,1) = − 2 dx 2 + 2 dy 2 + 2 dz 2 − 8 dxdz Đây là dạng toàn phương không các định dấu nên f không đạt cực trị tại (0, -3, 1)( hay f không có cực trị)