Bài giảng Giải tích 2 - Chương : Cực trị hàm nhiều biến (Phần 2)

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương : Cực trị hàm nhiều biến (Phần 2)

1. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Xét 2 bài toán: Bài 1: Tìm cực trị z=1 − x22 − y Cực đại đạt tại (0,0), z = 1
2. Bài 2: Tìm cực trị z=1 − x22 − y Thỏa điều kiện x + y – 1 = 0 z =1/ 2 x + y – 1 = 0 Cực đại đạt tại (1/2, 1/2),
3. Điều kiện cần của cực trị có điều kiện Giả sử f, khả vi trong lân cận của M0(x0, y0) và 22 xy (MM00 )+ ( ) 0, Nếu f đạt cực trị tại M0 với điều kiện = 0 thì tồn tại  R sao cho fxx ( M00 )+= ( M ) 0 ( ) fyy ( M00 )+= ( M ) 0 (M0 )= 0  : nhân tử Lagrange
4. Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện Giả sử f, có các đhr đến cấp 2 liên tục trong lân cận của M0(x0, y0) và M0 là điểm dừng của L(x,y), 2 2 2 dLM(0 )= Lxx ( Mdx 0 ) + 2 L xy ( Mdxdy 0 ) + L yy ( Mdy 0 ) 2 1.Nếu d L(M0) xác định dương thì f đạt cực tiểu có điều kiện tại M0. 2 2.Nếu d L(M0) xác định âm thì f đạt cực đại có điều kiện tại M0.
5. Loại 2:(tổng quát) dùng pp nhân tử Lagrange L(x,y) = f(x,y) +  (x,y) LMx (0 )= 0 B1: tìm điểm dừng của L(x, y) : LMy (0 )= 0 (M0 )= 0 2 B2: xét dấu d L tại M0 có kèm đk d (M0) = 0 •Xác định dương: cực tiểu •Xác định âm: cực đại
6. Điểm dừng: xy= −4, = 1, = − 1/ 2 xy=4, = − 1, = 1/ 2 LLLxx =2 , xy = 0, yy = − 16 , d =−2 xdx 16 ydy Tại M1(- 4, 1),  = -1/2 d2 L(− 4,1) = − dx 2 + 8 dy 2 d (− 4,1) = − 8 dx − 16 dy = 0 d2 L(− 4,1) = − 4 dy 2 + 8 dy 2 = 4 dy 2 0 dx=−2 dy M1 là điểm cực tiểu có đk của f, f(M1) = 9
7. (x , y )= x22 − 8 y − 8 = 0 z=1 − 4 x − 8 y
8. xy22 L( x , y )= xy + + − 1 82 Điểm dừng của L là n0 hệ: x L ( x , y )= y + = 0 x 4 Ly ( x , y )= x + y = 0 xy22 + −10 = 82  =2,(x , y ) = (2, − 1) hay ( x , y ) = ( − 2,1)  = −2,(x , y ) = (2,1) hay ( x , y ) = ( − 2, − 1)
9.  x LLL =, = 1, =  , d (,) x y=+ dx ydy xx4 xy yy 4 Tại P3(2, 1),  = - 2 1 d2 L( P )= − dx 2 − 2 dy 2 + 2 dxdy 1 2 1 d ( P )= dx + dy = 0 1 2 d22 L( P )= − 8 dy 0 1 dx=−2 dy Vậy f đạt cực đại có đk tại P3, f(P3) = 2. Tương tự tại P4(-2, -1)
10. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT Định lý: f liên tục trên tập compact D thì f đạt min, max trên D. Nhắc lại: tập compact là tập đóng (lấy tất cả các biên) và bị chận (có thể được bao bởi 1 hình tròn)
11. VÍ DỤ 1/ Trên tam giác OAB, với O(0, 0), A(0, 1) và B(1, 0), tìm các điểm M(x, y) có tổng bình phương khoảng cách đến các đỉnh là lớn nhất, bé nhất. 2 2 2 A OM=+ x y , 2 2 2 x+y = 1 AM= x +( y − 1) , BM2=( x − 1) 2 + y 2 O B Đặt z = OM2 + AM2 + BM2
12. Xét trên biên D z=3 x22 + 3 y − 2 x − 2 y + 2 OA: x = 0, 0 y 1, z = 3y2 – 2y + 2 z’(y) = 6y – 2 = 0 y = 1/3 các điểm đặc biệt: (0,0), (0,1), (0,1/3) OB: y = 0, 0 x 1, z = 3x2 – 2x + 2 A z’(x) = 6x – 2 = 0 x = 1/3 x+y = 1 các điểm đặc biệt: O B (0,0), (1,0), (1/3,0)
13. 2/ Tìm gtln, gtnn của z = f(x, y) = x2 + y2–3x+ 4y trên hình tròn D: x2 + y2 1 Điểm dừng của z = f(x, y) trên miền mở của D là nghiệm hệ fxx =2 − 3 = 0 (xy , )=− (3 2, 2) fy =2 + 4 = 0 22 y xy+ 1 22 xy+ 1 (loại) Trên biên D: x2 + y2 = 1, xét hàm Lagrange L( x , y )= x2 + y 2 − 3 x + 4 y + ( x 2 + y 2 − 1)