Bài giảng Giải tích mạch - Chương 6: Phương pháp toán tử Laplace

Nội dung text: Bài giảng Giải tích mạch - Chương 6: Phương pháp toán tử Laplace

1. 6.1.Định nghĩa L{ f (t)} = F(s) = f (t)e−stdt (6.1) 0 *Hàm f(t) biến thực được gọi là gốc và biến đổi Laplace của nó là ảnh F(s), có biến phức s = σ + jω . Biểu thức (6.1) xác định ảnh của 1 hàm f(t) sẽ tồn tại khi và chỉ khi có 1 giá trị nào của tham số s để tích phân Laplace hội tụ *Biến đổi Laplace theo định nghĩa trên là biến đổi một phía và ta chỉ xét trường hợp này. Ảnh F(s) không phụ thuộc vào hàm f(t) với t < 0. Để thể hiện điều đó ta dùng hàm đơn vị ký hiệu u(t) 1 t 0 u(t) = 0 t 0 Do đó ta có: L{f(t)} = L{f(t)u(t)} ảnh của hàm đơn vị có dạng: L{u(t)} = 1/s
2. 6.2.Biến đổi Laplace của hàm f(t) Hàm f(t) (t > 0- ) F(s) Hàm mũ e-at 1/(s + a) sine sin ωt ω/(s2 + ω2) cosine cosωt s/(s2 + ω2) Damped ramp te-at 1/(s + a)2 Damped sine e-at sinωt ω/[(s + a)2+ω2] Damped cosine e-at cosωt (s + a)/[(s + a)2+ω2]
3. 6.3.Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace −s0t * L{e f (t)u(t)} = F(s + s0 ) *L {(df/dt) u(t)} = sF(s) – f(0-) n n n n-1 0 n-1 n-1 •L{(d f/dt ) u(t)} = s F(s) –s f(0- ) - -s d f(0-)/dt t 1 * L{ f ( )d} = F(s) 0 s d n F(s) * L{t n f (t)} = (−1)n dsn f (t) * L{ } = F(u)du t s
4. 6.4.Biến đổi Laplace ngược 1 1 + j L−1{F(s)} = F(s)estds j2 1 − j *Rất khó tìm biến đổi Laplace ngược của 1 hàm F(s) bằng cách áp dụng định nghĩa trên. •Ta sẽ dùng phương pháp khác để tìm biến đổi Laplace ngược. •Biến đổi hàm F(s) ra dạng phù hợp chúng ta có thể tìm biến đổi Laplace ngược dể dàng
5. Tổng quát về biến đổi Laplace ngược Một cách tổng quát hầu hết các hàm X(s) có dạng N a sk N(s) k=0 k X (s) = = M D(s) b sk k=0 k *N(s) và D(s) là những đa thức theo s *Các nghiệm của N(s) = 0 gọi là các điểm 0 của X(s) * Các nghiệm của D(s) = 0 gọi là các điểm cực của X(s) *Để tìm x(t) = L-1 {X(s)}, ta cần : 1.Tìm các cực của X(s) 2.Áp dụng cách phân tích X(s) thành những phân thức tối giản (dùng Matlab chẳng hạn) 3.Tìm biến đổi ngược của mỗi thành phần bằng cách tra bảng
6. Trường hợp các điểm cực là cực đơn 96(s + 5)(s +12) k k k Ví dụ: X (s) = = 1 + 2 + 3 s(s +8)(s + 6) s s +8 s + 6 96(s + 5)(s +12) 96(5)(12) k = = =120 1 (s +8)(s + 6) s=0 8(6) 96(s + 5)(s +12) 96(−3)(4) k = = = −72 2 s(s + 6) s=−8 (−8)(−2) 96(s + 5)(s +12) k = = 48 3 s(s +8) s=−6 −1 96(s +5)(s +12) −6t −8t L  = (120 + 48e − 72e )u(t) s(s +8)(s + 6) 
7. Trường hợp các điểm cực là cực phức riêng biệt N(s) N(s) X (s) = = D(s) (s + − j )(s + + j ) k k * = 1 + 1 s + − j s + + j k1 = (s + − j )X (s) |s=− + j 0 * 0 k1 = k1  ;k1 = k1  − * −1 k1 k1  − t L +  = 2 k1 e cos(t + ) s + − j s + + j  *Thông thường nghiệm phức của X(s) là 1 cặp phức liên hiệp *Residu của X(s) cũng là 1 cặp phức liên hiệp
8. Trường hợp các điểm cực là cực phức riêng biệt 10(s2 +119) *Tìm f( t), nếu: F(s) = (s +5)(s2 +10s +169) Trả lời: f(t) = (10e-5t - 8,33e-5t sìn12t)u(t) *Lưu ý: k/(s+a) ↔ ke-at u(t) k ktn−1e−at u(t) (s + a)n (n −1)! k k* + 2 k e− t cos(t +)u(t) s + − j s + + j k k * 2 k t n−1 + e− t cos(t +)u(t) (s + − j)n (s + + j)n (n −1)!
9. Trường hợp các điểm cực là cực bội 100(s + 25) k k k k F(s) = = + 1 + 2 + 3 s(s + 5)3 s (s + 5)3 (s + 5)2 s + 5 100(s + 25) 100(25) k = = = 20 (s + 5)3 s=0 125 100(s + 25) 100(20) k = = = −400 1 s s=−5 − 5 d 100(s + 25) s −(s + 25) k = =100 = −100 2 2 ds s s=−5 s s=−5 1 d 25 1 50 k = 100 − = 100 = −20 3 2 3 2 ds s s=−5 2 s s=−5
10. Trường hợp các điểm cực là cực bội d 768 k2 = 2 ds (s + 3+ j4) s=−3+ j4 2(768) = − = − j3 = 3 −900 (s + 3+ j4)3 s=−3+ j4 * * Ta chỉ cần tính k1; k2 còn k1 ; k2 là các số phức liên hiệp của k1; * * 0 k2 ; k1 = -12; k2 = j3 = 3 /90 −12 −12 F(s) = 2 + 2 (s + 3− j4) (s + 3+ j4) 3 − 900 3900 + + (s + 3− j4) (s + 3+ j4) Vậy: f(t) = [-24te-3t cos4t + 6e-3t cos(4t - 900 )]u(t)
11. Trường hợp hàm hữu tỷ không hợp qui N(s) B(s) X (s) = = A(s) + D(s) C(s) Trường hợp hàm hữu tỷ X(s) không hợp qui ta dùng qui tắc chia đa thức như trên. *Ví dụ: Tìm f(t) (biến đổi Laplace ngược) của: s4 +13s3 + 66s2 + 200s + 300 F(s) = s2 + 9s + 20 30s +100 → F(s) = s2 + 4s +10 + s2 + 9s + 20
12. Ví dụ tìm biến đổi Laplace ngược *Tìm f(t) nếu: 5s2 + 29s + 32 F(s) = (s + 2)(s + 4) Trả lời: f(t) = 5δ(t) – (3e-2t -2e-4t )u(t) *Tìm f(t) nếu: 2s3 +8s2 + 2s − 4 F(s) = (s2 + 5s + 4) Trả lời: f(t) = 2(dδ(t)/dt) - 2δ(t) +4e-4t u(t)
13. 6.5.Phân tích mạch dùng toán tử Laplace *Biến đổi Laplace rất hữu ích để phân tích mạch thay vì phải giải phương trình vi phân ta đưa về phương trình đại số. *Phương pháp này tương tự như phương pháp dùng ảnh phức: 1.Tính các điều kiện đầu: -Dòng điện chạy qua cuộn dây -Điện áp 2 đầu tụ. 2.Biến đổi các phần tử mạch sang miền s 3.Tính trong miền s các điện áp và dòng điện mà ta quan tâm 4.Dùng biến đổi Laplace ngược để tìm biểu thức dòng điện, điện áp trong miền thời gian
14. Phương trình trong miền s: Điện trở i(t) R I(s) R + v(t) - + V(s) - v(t) = Ri(t) V(s) = RI(s) *Đấy chính là định luật ohm. *Giống như KCL & KVL, sự liên hệ giữa áp và dòng của thành phần điện trở trong miền thời gian và miền s thì giống nhau. *Lưu ý ta đã dùng tính tuyến tính của LPT trong cả 2 trường hợp định luật Kirchhoff và định luật Ohm
15. Phương trình trong miền s: Tụ điện i(t) C CV0 + v(t) - V /s I(s) 1/sC 0 I(s) 1/sC + V(s) - + V(s) - 1 t ➢ i(t) = Cdv(t)/dt v(t) = i( )d +V0 C 0 ➢ I(s) = C[sV(s) – V ] 0 1 1 1 ➢ I(s) = sCV(s) – CV 0 V (s) = I(s) + V0 C s s ➢ Với V0 = v(0- ) 1 V V (s) = I(s) + 0 sC s
16. Ví dụ về trở kháng trong miền s *Một điện trở 500Ω, một cuộn dây 16mH, một tụ điện 25nF tất cả được mắc song song. a)Tính biểu thức của dẩn nạp tương đương của các phần tử trong miền s b)Tính các điểm 0 và điểm cực của biểu thức ở câu a Trả lời: a) 25 x 10-9 (s2 +80000s + 25 x 108 )/s b) z1 = -40000 + j30000; z2 = -40000 -j30000; p1 = 0 *Các thành phần mắc song song ở ví dụ trên bây giờ được mắc nối tiếp với một điện trở 2000Ω a)Tính biểu thức của trở kháng tương đương của các phần tử trong miền s b)Tính các điểm 0 và điểm cực của biểu thức ở câu a Trả lời: a) 2000(s + 50000)2 /(s2 + 80000s + 25 x 108 ); b) z1 = z2 = -50000; p1 = -40000 +j30000; p2 = -40000 -j30000
17. 5x106/s + I V1 80/s - 5 kΩ 1,25x106/s + V2 20/s - (80 / s) + (20 / s) 20 10−3 I = = 5000 +[(5 106 ) / s]+ (1,25 106 / s) s +1250 80 5 106 20 10−3 80 V1 = − = s s s +1250 s +1250 20 1,25 106 20 10−3 20 V2 = − = s s s +1250 s +1250
18. Ví dụ về phân tích mạch trong miền s + v - t=0 4,8 Ω 4 H 0,25 F 160 V i ➢ Năng lượng trử ban đầu trong mạch bằng 0 khi khóa đóng ➢ A)Tính dòng I trong miền s ➢ B)Tính dòng i khi t > 0 ➢ C) Tính điện áp V trong miền s ➢ D) Tính điện áp v khi t > 0
19. I R Ω + V - 1/sC Ω VDC /s 160s C) V = sLI = (s + 0,6 − j0,8)(s + 0,6 + j0,8) k k * = 1 + 1 s + 0,6 − j0,8 s + 0,6 + j0,8 160(−0,6 + j0,8) k = =10036,870 1 j1,6 ➢ D) v(t) = [200e-0,6t cos(0,8t + 36,870 )]u(t) V
20. + s Ω + 15 Ω 1/s Ω 3 Ω 5 /s V2 15 /s V1 - - ➢ A) Các phương trình tại 2 nút: ➢ (V1 - V2 )/s + V1s = 5/s; V2 /3 + (V2 - V1)/s + [V2 - (15/s)]/15 = 0 5(s + 3) 2,5(s2 + 6) →V = ; V = 1 s(s2 + 2,5s +1) 2 s(s2 + 2,5s +1) 15 50 / 3 5/ 3 15 125/ 6 25/ 3 B)V = − + ; V = − + 1 s s + 0,5 s + 2 2 s s + 0,5 s + 2
21. Ví dụ về phân tích mạch trong miền s 0,5 F + a 5 Ω 1Ω 2 Ω 0,2 vx 20 u(t) vx 1 H - b ➢ Cho mạch như hình biết điện tích ban đầu của tụ bằng 0. ➢ A) Tìm mạch tương đương Thévenin tại 2 đầu a và b trong miền s? ➢ B) Tìm dòng I chạy qua tải gồm điện trở 2Ω mắc nối tiếp cuộn dây 1 H trong miền s?
22. 2/s Ω I 5 Ω T + 1Ω 0,2 V x V IT Vx T - ➢ Ta có: Vx = 5IT và ZTh = VT / IT (V − 5I )s I = T T +V − 6I T 2 T T ➢ →14IT = VTs + 5sIT + 2VT 5(s + 2,8) → Z = Th s + 2
23. Ví dụ về phân tích mạch trong miền s 2 Ω + 5u(t) 20 u(t) 1,25H 50mF v V A - ➢ Năng lượng trong mạch bằng 0 trước khi 2 nguồn được nối vào mạch. ➢ A)Tính thành phần của v(t) do nguồn áp tạo ra với t > 0 ➢ B)Tính thành phần của v(t) do nguồn dòng tạo ra với t > 0 ➢ C) Tính v(t) với t > 0
24. 2 Ω + 1,25s 20/s V’’ 5/s 20 u(t) V - V '' V '' V ''s 5 B) + + = 2 1,25s 20 s 100 50 / 3 50 / 3 →V '' = = − (s + 2)(s + 8) s + 2 s + 8 50 → v'' = (e−2t − e−8t )u(t) V 3 ➢ C) v = v’ + v’’ = (50e-2t - 50e-8t )u(t) V
25. L L R1 L R1 R1 i (t) i e1 xl e2 (t) R i e2 e2 (t) ≡ e (t) 2 + e1 (t) 1 R2 ➢ *Tại t 0 tụ không tham gia vào mạch nên không tính áp trên tụ). Dòng điện qua cuộn dây: E 10 − 450 10 − 450 I = 1 = = = 5 2 −900 0 R1 + jL +1/ jC 1+ 2 j −1j 245 0 ➢ →i(t) = iL (t) = 5√2 sin(t-90 ). Với t 0 khóa ở vị trí 2 dòng i(t) sẽ là: i(t) = iqđ (t) + ixl (t). ➢ Dòng xác lập ixl (t) do 2 nguồn e1(t) và e2(t) tạo ra còn dòng quá
26. sL R1 Liqđ (0+ ) Iqđ (s) R2 ➢ Trong miền s, ta có: ➢ Iqđ (s) = Liqđ (0+ ) / (2 + 2s) = iqđ (0+ ) /(1 + s) = 1,46/(1+s) -t ➢ → iqđ (t) = 1,46e u(t) ➢ Từ kết quả trên ta có: ➢ i(t) = ixl + iqđ ➢ = [-5 + 2,5√2 sin(t – 900 ) + 1,46e-t ]u(t) ➢ * Từ thí dụ trên ta đã dùng toán tử Laplace để chỉ tính riêng thành phần quá độ như vậy việc tính toán trong miền s trở nên đơn giản hơn
27. (P.13.25).Ví dụ về phân tích mạch trong miền s i 0(t) 400Ω + -30t 50000 te 5 H v (t) u(t) 0 - ➢ Tính v0(t); i0(t) bằng cách phân tích mạch trong miền s ? ➢ Trả lời: ➢ [-30000te-30t + 1600e-30t - 1600e-80t ]u(t) V ➢ [200te-30t - 4e-30t + 4e-80t ]u(t) A
28. (P.13.13).Ví dụ về phân tích mạch trong miền s 50 Ω 100 Ω 100 Ω + t = 0 10 Ω 30 Ω v (t) 5 μF 2 mH 500V - ➢ Tính v(t)? ➢ Trả lời: v(t) = −50e−20000tu(t) V
29. Ví dụ về phân tích mạch trong miền s + 0,125 µF 8 H 20 kΩ v (t) - iL ➢ Cho v(0) = 0V; iL(0- ) = -12,25 mA. Tính v(t)?
30. Ví dụ về phân tích mạch trong miền s + v(t) R v0 (t) - i L L -at ➢ Tính v0 (t) ? Biết v(t) = e u(t) và iL(0) = I0 A