Bài giảng Giải tích mạch - Chương 8: Biến đổi Fourier

Nội dung text: Bài giảng Giải tích mạch - Chương 8: Biến đổi Fourier

1. 8.1.Phân tích chuổi Fourier f(t): Hàm tuần hoàn có chu kỳ T có thể được biểu diễn bởi chuỗi Fourier dạng lượng giác 3 thành phần (dạng chuẩn): f (t) = av + an cos n0t + bn sin n0t (9.1) n=1 *Với n là các số nguyên 1,2,3, *av , an , bn gọi là các hệ số khai triển Fourier. *ω0 = 2л/T: gọi là tần số cơ bản ; các tần số là bội của ω gọi là sóng hài như 2ω là sóng hài bậc 2; 3ω là sóng hài bậc 3 v.v *Ta có thể phân tích nguồn kích thích tuần hoàn thành chuổi Fourier gồm thành phần một chiều av + tổng các thành phần điều hòa (an và bn ) và dùng nguyên lý xếp chồng để tìm đáp ứng xác lập. Ta xác định các hệ số khai triển Fourier như sau:
2. t0 +T sin m0t dt = 0 t 0 t0 +T cos m0t dt = 0 t 0 t0 +T cos m0t sin n0t dt = 0 t 0 t0 +T sin m0t sin n0t dt = 0; m n t 0 T = ; m = n 2 t0 +T cos m0t cos n0t dt = 0; m n t 0 T = ; m = n 2
3. T 2 Vm bk = ( )t sin k0t dt T 0 T 2V 1 t = m sin k t − cos k t T 2 2 2 0 0 0 T k 0 k0 2V T V = m 0 − cos 2 k = − m 2 T k0 k Chuổi Fourier của v(t) là: Vm Vm 1 v(t) = −  sin n0t 2 n=1 n V V V V = m − m sin  t − m sin 2 t − m sin 3 t − 2 0 2 0 3 0
4. Các hàm đối xứng *Hàm chẳn: Nếu f(t) = f(-t ). Các hệ số Fourier rút gọn: 2 T / 2 av = f (t)dt T 0 4 T / 2 ak = f (t)cos k0t dt T 0 bk = 0
5. Các hàm đối xứng A A A 0 T 0 T 0 T H.a H.b H.c ➢ Tùy thuộc vào điểm t = 0 nằm ở vị trí nào mà hàm tuần hoàn có thể không đối xứng như hình a; hoặc đối xứng chẳn (hàm chẳn) như hình b hay đối xứng lẻ (hàm lẻ) như hình c
6. Các hàm đối xứng T/2 T/4 T/2 T T/4 T H.a H.b ➢ *Hàm đối xứng ¼ sóng : Là hàm đối xứng bán sóng cộng thêm mỗi bán kỳ âm và dương đối xứng qua điểm giữa của nó. ➢ Hình a cho ta hàm đối xứng ¼ sóng ➢ Hình b không phải hàm đối xứng ¼ sóng mặc dù nó là hàm đối xứng bán sóng
7. Ví dụ tìm chuổi Fourier của hàm lẻ và đối xứng i(t) Im T/2 0 T -Im ➢ Việc chọn điểm t = 0 theo hình trên , ta có đây là hàm lẻ lại là hàm đối xứng bán sóng và ¼ sóng nên : av = 0 ; ak = 0 (do hàm lẻ). Vì đối xứng bán sóng nên bk = 0 với k chẳn. Vì đối xứng ¼ sóng nên biểu thức bk với k lẻ là: 8 T / 4 bk = i(t)sin k0tdt for k odd T 0
8. Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước vg(t) Vm T/3 0 T/6 T/2 T -Vm ➢ Trả lời: 12Vm sin( n / 3) vg (t) = 2  2 sin n0t n=1,3,5 n
9. Ví dụ về dạng sóng hài của chuổi Fourier v(t) Vm T/2 3T/4 0 T/4 T ➢ A) Tính ak ; bk của hàm tuần hoàn cho như hình? ➢ B) Viết 4 thành phần đàu tiên của chuồi Fourier của v(t) dưới dạng chỉ có thành phần cosine? ➢ Giải: ➢ A)Hàm này không phải hàm chẳn cũng không phải hàm lẻ; nó cũng không đối xứng bán sóng và ¼ sóng. Ta tính các hệ số ak và bk
10. 0 *a1 -jb1 = Vm /л - jVm /л = √2Vm /л /-45 ; 0 *a2 -jb2 = 0- jVm /л = Vm /л /-90 ; 0 *a3 -jb3 = -Vm /3л - jVm /3л = √2Vm /3л /-135 ; Vậy 4 số hạng đầu của chuổi Fourier của v(t): V 2V V v(t) = m + m cos( t − 450 ) + m cos(2 t −900 ) 4 o 0 2V + m cos(3 t −1350 ) + 3 0
11. 8.4.Áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch R v + g Vm vg C v0 - T 2T -Vm ➢ *Ta đi tìm đáp ứng xác lập do nguồn kích thích tuần hoàn được phân tích Fourier. Hàm kích thích là hàm lẻ, đối xứng bán sóng và ¼ sóng, như vậy chỉ có thành phần bk với k là số lẻ T / 4 8 4Vm bk = Vm sin k0tdt = T 0 k 4Vm 1 → vg =  sin n0t n=1,3,5 n
12. Đáp ứng ngõ ra tương ứng với thành phần bậc k: (4V ) V = m  −  ;  = tg−1k RC 0k 2 2 2 2 k k 0 k 1+ k 0 R C 4V → v = m sin( k t −  ) 0k 2 2 2 2 0 k k 1+ k 0 R C *Đáp ứng ngõ ra tương ứng với hàm kích thích vg: 4V sin( n t −  ) v (t) = m 0 n 0  2 n=1,3,5 n 1+ (n0RC )
13. Ví dụ áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch vi + 100kΩ + Vm v v 0 T/2 i 100nF 0 - T - -Vm ➢ *Sóng tam giác được cung cấp cho mạch như hình. Hãy viết 3 thành phần đầu tiên khác không của chuổi Fourier đáp ứng ngõ 2 ra v0 xác lập? Biết Vm = 281,25л mV; T = 200л ms ➢ Trả lời: 2238,83cos(10t - 5,710 ) +239,46cos(30t -16,700 ) + ➢ 80,50cos(50t – 26,570 )+ mV
14. Ví dụ tính trị hiệu dụng hàm tuần hoàn *Giả sử tín hiệu tuần hoàn gồm các thành phần: Vdc = 15V V1 = 27,01/√2 V: Trị hiệu dụng của tần số cơ bản V2 = 19,10/√2 V: Trị hiệu dụng sóng hài bậc 2 V3 = 9/√2 V: Trị hiệu dụng sóng hài bậc 3 V5 = 5,4/√2 V: Trị hiệu dụng sóng hài bậc 5 Vậy trị hiệu dụng của tín hiệu tuần hoàn là: 2 2 2 2 2 27,01 19,10 9 5,40 Frms = 15 + + + + 2 2 2 2 = 28,76V
15. Ví dụ về công suất P của các hàm tuần hoàn v(t) Vm T/2 3T/4 0 T/4 T ➢ Giả sử tín hiệu áp như hình cung cấp 2 đầu 1 điện trở 15Ω. Biết Vm = 60V và T = 5ms. ➢ A) Viết 5 thành phần đầu khác không của chuổi Fourier của v(t) ➢ B) Tính công suất trung bình ứng với mỗi thành phần? ➢ C) Tính công suất P tổng cộng của điện trở ➢ D) Công suất do 5 thành phần đầu tiên bằng bao nhiêu phần trăm công suất tổng cộng? ➢ Giải:
16. C) Ta đi tính trị hiệu dụng của tín hiệu: (60)2 (T / 4) V = = 900 = 30V rms T Công suất PT của điện trở: 2 PT = 30 /15 = 60 W D) Công suất của 5 thành phần đầu khác không là: P = Pdc +P1 + P2 + P3 + P4 = 55,15 W → (55,15/60) x 100 = 91,92%
17. Hàm lượng sóng hài, hệ số sóng hài,hệ số công suất, hệ số méo dạng *Hàm lượng sóng hài: Là tỉ số giữa biên độ của thành phần thứ k>1 và thành phần tần số cơ bản: hk = Ak /A1 (k > 1) •Hệ số sóng hài: 2 h = hk k=2 *Hệ số công suất cosφ = P/S *Trên thực tế thường là nguồn kích thích là điều hòa còn dòng trong mạch bị méo dạng nên : Cosφ = V1rms I1rms cos φ1/Vrms Irms ; Mà V1 = V → cos φ = k0 cosφ1 ; k0 = I1rms /Irms < 1 : gọi là hệ số méo dạng
18. Ví dụ về chuổi Fourier dạng hàm mũ v(t) Vm - ∆/2 0 ∆/2 T-∆/2 T T+∆/2 ➢ Tìm chuổi Fourier dạng hàm mũ của hàm v(t)? ➢ Giải: ➢ Ta tính tích phân Cn bắt đầu tại điểm t = -∆/2 như sau: / 2 − jn0t 1 t0 +T V e − jn0t m Cn = Vme dt = T t0 T − jn 0 − / 2 jVm − jn0 / 2 jn0 / 2 2Vm = (e − e )= sin n0 / 2 n0T n0T
19. 8.8.Phổ biên độ và phổ pha rời rạc 1 ICnI θn 0,8 1800 0,2 -9 -7 -6-5 -2 -1 1 2 5 6 7 9 -2л -л 0 л 2л ➢ *Biên độ của hệ số triển khai Fourier là hàm của n và gọi là phổ biên độ rời rạc của tín hiệu tuần hoàn. ➢ *Pha của hệ số triển khai Fourier cũng là hàm của n và gọi là phổ pha rời rạc. ➢ Hình trên cho ta phổ biên độ và phổ pha của hệ số Fourier trong thí dụ trên với Vm = 5V; ∆= T/5. Phổ biên độ có dạng sinx/x ; trong khi phổ pha thì bằng 0 tại n = -1;-2;-3;-4;1;2;3;4; không xác định tại -5 và +5 và =1800 tại -6;-7;-8;-9;6;7;8;9.v.v