Bài tập Giải tích 2: Chuỗi lũy thừa

Nội dung text: Bài tập Giải tích 2: Chuỗi lũy thừa

1. Bài tập 1. Tìm bán kính hội tụ của các chuỗi sau: n 2 n 21n +−( ) (n −1) n+1 ax) n bx)2  ( − )  3 2 2n !! n=2 nn− n=0 ( ) 2n n−1 1 x cx) − 1 1 − n d ( ) )  n n=1 n n=1 3.n 2 2nn−+ 3 1 2 n −1 n n fx) n ex)1 n+1 ( + )   n=2 n + 2 n=2 8+ 3lnn
2. (n −1) n+1 b)  (x − 2) n=0 (2n)!! an−1 (2n + 2) !! R ==limn lim . nn→ → an+1 (2 n) !! n n −1 =lim .( 2n + 2) = + n→ n
3. 2 n n e x )  n+1 ( +1) n=2 8+ 3lnn 1n 8n+1 + 3ln n R ==lim lim nn→ n → n 2 an n 1/n ln n 8 8+ 3 n 8 8.80 = lim ==8 n→ n n2 1
4. 2. Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau: n n n (−1) x n + 3 n a) bx)1 −  n  ( ) n=0 (2n + 5) .3 n=1 21n + nn 2 n 23 cx) 2n + 5 dxn+1  ( ) )  n + 2 n=0 n=1 3 n n (x −8) e)  2n n=1 (n!)
5. n (−1) x n  n n=1 (2n + 5) .3 nn (−−1) 3n ( 1) x = 3 = n nn==11(2nn++ 5) .3( 2 5) 1 Chuỗi đan dấu với an =0 (25n + ) Chuỗi ht theo tc Leibnitz. MHT: D =−( 3,3
6. nn nn++3 nn 2 6  (−21) =  ( −) = an n=1 2nn++ 1 n = 1 2 1 n = 1 nn 2n + 6 5 =+ 1 2nn++ 1 2 1 5 .n 21n+ 21n+ 5 5 n→ 5/2 =+ 1 ⎯⎯⎯→ e 21n + →an 0 Chuỗi pk theo đk cần
7. 2 n cx)  2n ( + 5) R = 0 n=0 Chuỗi chỉ hội tụ tại: x =−5
8. 1 2nn .n2 + 9 1 n x =  n 2 3 n=1 3 .n 3 n 21 =+ 2 n=1 9 n HT HT HT 11 MHT: D =− , 33
9. 3. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số sau: 2x a) f( x) = sin2 x b) f( x) = (1− x)2 c) f( x) =( 2 − x) ln( 1 − 2 x) 2x d) f( x) = 3+ x
10. 2x b) f (x) = (1− x)2 (−2)( − 3) 23( − 2)( − 3)( − 4) =2x 1 − 2( − x) +( − x) +( − x) + 2! 3! =2x( 1 + 2 x + 3 x23 + 4 x + +( n + 1) x n + ) ĐKKT: −x ( −1,1)
11. 4. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau: 1 a) f( x) = , x = 3 x −1 0 b) f( x) = sin x , x = 2 c) f( x) = arctan x − , x = 44
12. Hướng dẫn xn 1)  , x −( 1,1) n=1 n( n++1)( n 2) 1 1 1 1 1 n S( x) = − + x n=1 2n n++ 1 2 n 2 11 xn x n x n = −  +  2n=1n n = 1 n++ 1 2 n = 1 n 2 1 1 xxnn++12 1 1 xx = −ln( 1 −) − + .2 , ( − 1,1) \ 0 2xnn==11 n++ 1 2 x n 2
13. 1 1 1 3 1 S( x) = − − +2 ln( 1 − x) + − , x ( − 1,1) \ 0 2x 2 x 4 2 x x = 0 0n S (00) == n=1 n( n++12)( n )
14. nn+1 11 (xx++33) ( ) =−2 x++3nn==11 n !(x + 3) ( n 1) ! n 11x+3 (x + 3) =(e −1) − 2  xn+ 3!(x + 3) n=2 11xx++33 =(e −1) −2 ( e − 1 − x − 3) x −3 x + 3 (x + 3) n.0n−1 1 S (−3) = = n=1 (n +1) ! 2
15. 1 1)  n n=1 (−+3) (1n )! nn+1 (−−1/ 3) ( 1/ 3) = = −3 n==11(nn++ 1)!n ( 1)! n (−1/ 3) −1/3 1 = −33 = −. e −1 + n=2 n!3
16. Tính S(x) x x S( t) dt= xn+1 = x. , x ( − 1,1) 0  n=1 1− x x22 2 x− x S( x) = =2 , x ( − 1,1) 1− x (1− x) 2 43− n 2.(− 1/ 7) −( − 1/ 7) 7 11  n = −3 2 − = − n=1 (−7) (1+ 1/ 7) 8 64
17. 1 4)  n n=1 (−3) (2n )!! 1 =  n n n=1 (−3) .2 .n ! n (−1/ 6) = =e−1/6 −1 n=1 n!
18. 1 1 1 1 11 Sn = 1 + + + + 2 2 3 n 2 k 1 1 1 1 1 − + + + + − 2 3nn+ 1 k +1 1 1 1 1 1 11 + + + + + 2 3n n++ 1 n 2 22k + 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + − + + + 2 2 2n+ 1 2 n + 1 n + 2 n→ 1 1 1 1 ⎯⎯⎯→ 1+ − = 2 2 2 4