Bài tập lớn môn Giải tích 1 - Học kỳ 2011 - Trường ĐH Bách Khoa TP HCM

Nội dung text: Bài tập lớn môn Giải tích 1 - Học kỳ 2011 - Trường ĐH Bách Khoa TP HCM

1. Bài báo cáo 1 Làm việc theo nhóm, mỗi nhóm 5 − 10 sinh viên. Số lượng cụ thể theo yêu cầu của giảng viên. Cử nhóm trưởng cho mỗi nhóm. 2 Chương trình chạy được theo yêu cầu đề ra. 3 Lúc báo cáo: GV gọi ngẫu nhiên 3 sinh viên lên cho chạy chương trình và hỏi thêm. Mỗi sinh viên không trả lời được nội dung trong chương trình thì sẽ bị trừ 1 điểm và gọi nhóm trưởng lên trả lời. Nếu nhóm trưởng không trả lời được thì cả nhóm bị 0 điểm. Ngược lại, nhóm trả lời tốt thì nhóm trưởng sẽ được cộng thêm 1 điểm. 4 Nộp bài báo cáo:(Không có bài báo cáo thì sẽ bị 0 điểm. Đây là điều bắt buộc để nộp lên phòng đào tạo nên mỗi sinh viên cần làm riêng thành 1 bản báo cáo, không bắt buộc làm quá cầu kỳ) Tên đề tài. GVHD và các thành viên của nhóm. Yêu cầu của đề tài. Cơ sở lý thuyết. Các ví dụ và kết quả chạy được. Kết luận: các trường hợp đã giải quyết và chưa giải quyết và hạn chế. Đoạn code làm được. Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 2 / 35
2. Đề tài 1 Sinh viên có thể dùng hàm thư viện, toolbox của MatLab để giải bài toán sau hoặc lập trình cho trường hợp tổng quát Câu 1. Hàm f1(x) và f2(x) không có giao điểm trong đoạn [a, b]. Hàm thử: 1 f (x) = , f (x), a = −2, b = 0. 1 1 + x2 2 f1(x) = log(x), f2(x) = 2, a = 1, b = 3. 2 f1(x) = x, f2(x) = x + sin x, a = 1, b = 2 Câu 2. f1(x) và f2(x) chỉ cắt nhau tại 1 điểm thuộc đoạn [a, b]. Tính diện tích 2 miền. Hàm thử 2 f1(x) = x log(x ), f2(x) = x, a = −1, b = 1. 1 π π f1(x) = sin x, f2(x) = 2 , a = − 2 , b = 2 . x f1(x) = 2 , f2(x) = 2 − x, a = −2, b = 2. Câu 3. Hàm f1, f2 có 1 hoặc 2 giao điểm trong đoạn [a, b]. Kiểm tra xem x = a và x = b có cắt đồ thị hay không? Tính diện tích nếu tạo ra miền phẳng. Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 4 / 35
3. Đề tài 2 Tính diện tích miền phẳng 2 Input Nhập hai hàm f1(x) và f2(x). Output Tính diện tích từng miền và vẽ đồ thị của 2 hàm đã cho. Giới hạn Hai hàm liên tục trên đoạn giữa 2 giao điểm và không xét hàm lượng giác. Hai hàm cắt nhau tại ít nhất 2 điểm. Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 6 / 35
4. Đề tài 3 Khai triển Taylor Câu 1. Viết khai triển taylor cho hàm f đên cấp n trong lân cận x0. Input Nhập hàm f (x) và n, x0. n (k) P f (x0) k Output Công thức khai triển Taylor (x − x0) . k=0 k! THUẬT TOÁN: 1. taylor=f (x0) 2. k = 1. Nếu k 6 n a. Tính f (k) f (k)(x ) b. taylor=taylor+ 0 (x − x )k k! 0 c. k = k + 1 YÊU CẦU: 1. Viết đoạn code có thể xử lý được tối thiểu cho các khai triển Maclaurin cơ bản. 2. Thực hiện các thao tác tìm khai triển taylor bằng cách tính đạo hàm từng cấp tại x0 cho các hàm sau: (có thể dùng hàm thư viện của MatLab) Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 8 / 35
5. Đề tài 3 √ √ 2 3 2 a. α(x) = 1 + 2x − 1 + 3x , x0 = 0 b. α(x) = (x + 1) ln(x + 1) − sin(x), x0 = 0 2 − cos x π c. α(x) = e 2 − sin x, x = 0 2 Câu 3: Dùng function tìm bậc VCB trong câu 2, viết chương trình tính giới hạn dạng vô định 0/0, không dùng lệnh limit của matlab. INPUT: hàm lấy giới hạn f (x), điểm lấy giới hạn x0. OUTPUT: bậc VCB của tử số, mẫu số, giá trị giới hạn. THUẬT TOÁN: 1. Dùng hàm numden tách tử số, mẫu số. Kiểm tra dạng vô định. 2. Dùng function của câu 2 xác định các VCB tương đương của tử số và mẫu số và suy ra giới hạn. YÊU CẦU: 1. Viết đoạn code thể hiện thuật toán trên. 2. Có thể dùng hàm thư viện của MatLab, thao tác tính các giới hạn sau: Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 10 / 35
6. Đề tài 4 Tính thể tích vật thể tạo ra khi cho miền phẳng D giới hạn bởi 2 đường cong quay quanh trục Ox. Câu 1 SV thực hiện trực tiếp trên máy tính với các hàm số được nhập từ bàn phím theo yêu cầu của GV. Cụ thể: Vẽ đồ thị 2 đường cong. Tìm tọa độ các giao điểm (nếu có) bằng cách giải phương trình hay bằng cách sử dụng đồ thị. Xác định miền D và tính thể tích trong trường hợp miền D nằm về 1 phía của trục Ox. SV có thể tham khảo một số hàm như sau: 1 1. f = , g = −x − 5 x 2. f = |x(x − 2)| + 1; g = 2x + 5 2x 3. f = sin(x); g = π 4. f = (x + 1)(x − 2)2, g = x Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 12 / 35
7. Đề tài 4 Tham khảo giải thuật khi viết chương trình: Khai báo biến thực x và nhập 2 hàm f(x), g(x) từ bàn phím. Tìm số giao điểm của 2 đường cong bằng cách giải phương trình , loại bỏ các nghiệm trùng nhau, các nghiệm phức, các nghiệm (thực) nhưng thay vào phương trình ra giá trị phức . (Không cần xử lý nếu Matlab giải nghiệm không chính xác, hay giải thiếu nghiệm khi gặp hàm lượng giác chẳng hạn). Trong trường hợp 2 đường cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ xA, xB , tìm cách nhận biết khi nào miền D không có giao điểm với trục Ox bằng cách tìm tập hợp các giao điểm của f(x), g(x) với trục Ox mà hoành độ trong đoạn [xA, xB ]. Tùy theo số giao điểm của hai đường, thực hiện theo yêu cầu của đề. Đồ thị của 2 đường cong phải vẽ trên cùng 1 trục tọa độ. Nên dùng lệnh plot khi vẽ miền D xác định. Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 14 / 35
8. Đề tài 5 Câu 2 SV viết một đoạn code để chạy chương trình. 1) Input: Nhập 2 hàm f(x) và g(x) từ bàn phím. Giả thiết các miền D luôn tồn tại khi f(x) và g(x) có từ 2 điểm chung trở lên. 2) Output: Tìm số giao điểm (phân biệt) của 2 đường cong. Nếu số giao điểm của 2 đường cong nhỏ hơn 2, chương trình báo không xác định được miền D. Vẽ 2 đồ thị trên cùng một trục tọa độ. Nếu số giao điểm của 2 đường cong bằng 2 và miền D nằm về 1 phía của trục Oy thì tính thể tích vật thể tròn xoay tạo ra khi cho miền phẳng D quay quanh trục Oy. Vẽ đồ thị miền D . Các trường hợp còn lại ( 2 đường có từ 3 điểm chung trở lên hay miền D nằm về 2 phía của trục Oy) thì chương trình không cần tính thể tích, chỉ vẽ hình miền D. Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 16 / 35
9. Đề tài 6 Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng. Câu 1 SV thực hiện trực tiếp trên máy tính với hàm số f(x) và các cận tích phân được nhập từ bàn phím theo yêu cầu của GV, không xét các hàm mà biểu thức f(x) của nó chứa các hàm logarit, hàm lượng giác và lượng giác ngược, hàm mũ). Vẽ đồ thị đường cong. Xác định các điểm kỳ dị và phân loại tích phân suy rộng. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng. Tính tích phân suy rộng ( nếu được). SV có thể tham khảo√ một số gợi ý cho trước như sau: 1. f (x) = (x − 1)/(x2 x + 1), a = 2; b = +∞ 2 1/3 2. f (x) = (x − 1)/(x√(x + 1) ), a = 0; b = +∞ 3. f (x) = (x − 1)/(x x + 1)√, a = −2; b = 10 4. f (x) = (x − 1)/((x2 + 1) x + 1), a = −1; b = +∞ √ 1/3 5. f (x) = x/(x + 1)(√x − 1) , a = 1; b = +∞ 6. f (x) = (x − 1)/(x x + 1), a = −∞; b = 10 Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 18 / 35
10. Đề tài 6 Nếu có ít nhất một trong các giới hạn (1 phía) cần khảo sát là khác 0 thì về nguyên tắc ta kết luận tích phân suy rộng phân kỳ. Trường hợp ngược lại là tích phân hội tụ. Tính tích phân suy rộng ( không cần xử lý nếu Matlab tình không được). Vẽ đồ thị. Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 20 / 35
11. Đề tài 7 Thuật toán: 1 Tiệm cận ngang và tiệm cận xiên: Bước 1: Tính giới hạn: a = limit(f , ±inf ): Nếu a là số hữu hạn thì kết luận tiệm cận ngang là y = a. Nếu a vô hạn thì qua bước 2. Chú ý: kiểm tra a hữu hạn, ta dùng : if a > a − 1 end Bước 2: Tính giới hạn: b = limit(f − ax, ±inf ): Nếu b hữu hạn thì tiệm cận xiên là y = ax + b. Nếu không thì hàm số không có tiệm cận xiên trong trường hợp này. 2 Tiệm cận đứng: Bước 1: Tách tử mẫu bằng lệnh [tu mau] = numden(f ), giải phương trình mẫu = 0 để tìm các điểm ngờ bằng lệnh diemngo = solve(mau). Kiểm tra điều kiện tiệm cận đứng: limit(f , diemngo(i)) bằng ±inf thì kết luận x = diemngo(i) là tiệm cận đứng. 3 Vẽ đồ thị f và các tiệm cận trên cùng một hệ trục tọa độ. Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 22 / 35
12. Đề tài 7 Câu 2 Sinh viên có thể sử dụng hàm thư viện để tìm tiệm cận cho những hàm số sau 1 1 y = e x Đáp án: x = 0; y = 1 p3 2 y = (x − 1)2(x − 4) Đáp án: y = x − 2 r x3 3 y = + 3x x − 1 1 1 Đáp án: x = 1; y = 4x − 2 , y = 2x − 2 Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 24 / 35
13. Đề tài 8 Thuật toán 1 Bước 1: Tìm tập các điểm ngờ dưới dạng mảng a Gán a = [−inf ; inf ] Giải b = solve(1/xt) và c = solve(1/yt). Gán mảng b, c vào mảng a: a = [a; b]; a = [a; c] 2 Bước 2: Kiểm tra điều kiện tiệm cận (tham khảo đề tài tiệm cận hàm f (x)): Nên lập một chương trình con để kiểm tra. 3 Bước 3: Vẽ đồ thị f và các tiệm cận trên cùng hệ trục tọa độ. Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 26 / 35
14. Đề tài 8 Câu 2 Sinh viên có thể sử dụng hàm thư viện để tìm tiệm cận cho những hàm số sau ( x(t) = t3 + 2t2 + t, 1 y(t) = −t3 + 3t − 2 ( t2 x(t) = 2 , 2 t −1 t2+1 y(t) = t+2 . ( x(t) = et − t, 3 y(t) = e2t − 2t. Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 28 / 35
15. Đề tài 9 Thuật toán 1 Bước 1: Tách tử mẫu bằng lệnh [tu mau] = numden(f ) 2 Bước 2: Chuyển đa thức về dạng véc tơ bằng lệnh tu = sym2poly(tu), mau = sym2poly(mau) (Trong matlab, mỗi đa thức có thể biểu diễn ở dạng véc tơ, ví dụ: f = x2 − 3 → (1, 0, −3)). 3 Bước 3: Dùng lệnh [a b c] = residue(tu, mau) để tách thành các phân thức đơn giản ở dạng véc tơ. Trong đó c là đa thức thương, a là véc tơ chứa hệ số của tử, b là véc tơ chứa nghiệm của mẫu. 2 Ví dụ: f = dùng các numden trên ta được x3 + x tu = 2, mau = x3 + x Dùng lệnh residue ta được a = (−1, −1, 2),b = (i, −i, 0), c = []. −1 −1 2 Nghĩa là: f = 0 + + + x − i x + i x Chú ý: Trong khi dùng lệnh residue, các nghiệm phức liên hợp luôn kế nhau (trong mảng b) và các hệ số tương ứng luôn liên hợp nhau (trong mảng a). Ta cần phải gom các phân thức dạng phức về thực và dạng véc tơ về dạng đa thức bình thường. 4 Tính nguyên hàm hoặc tích phân của f . Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 30 / 35
16. Đề tài 9 Câu 2 Sinh viên có thể sử dụng hàm thư viện để tìm tiệm cận cho những hàm số sau 1 1 f (x) = x(x2 + 1) x 2 f (x) = x2(x2 + 2x + 1) 1 3 f (x) = x(x2 + 1)2 x + 1 4 f (x) = x3(x2 + 1)2 Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 32 / 35
17. Đề tài 10 B6: Xét cực trị: xét như xét dấu trên bảng BBT. Nếu qua điểm ngờ x(i) đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương và m là số thực hữu hạn thì hàm số đạt cực đại tiểu tại x(i) và giá trị cực tiểu là m. Ngược lại, nếu qua x(i) đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm và m là số thực hữu hạn thì hàm số đạt cực đại tại x(i) và giá trị cực đại là m. B7: Vẽ đồ thị. - Vẽ f (x) trên khoảng (a, b) - Đánh dấu các điểm cực trị - Mở rộng: Tìm cực trị của hàm có chứa trị tuyệt đối. Ta cần tìm thêm các điểm mà đạo hàm không tồn tại ( ví dụ như x0 = 1 trong hàm y = 2|x2 − 1| + 1 ). Bộ môn Toán ứng dụng (BK TPHCM) BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2011. 34 / 35