Đề ôn tập cuối kỳ Giải tích 2 (có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn tập cuối kỳ Giải tích 2 (có đáp án)

1. n 2 4. Tính tổng chuỗi số S .  3n n 0 5. Tính tích phân đường loại haiI 2, xydx x2 dy trong đó C là biên định hướng dương C 12 x của miền phẳng D: bằng hai cách: 2 22 x y x x a. Tính trực tiếp bằng tham số hóa đường cong. b. Dùng công thức Green. 6. Tính tích phân I 54 zds trong đó S là phần mặt paraboloid z 1 x22 y bị chắn S bởi mặt phẳng z 0. ĐỀ 3 1. Cho hàm số f( x , y , z ) x2 3 xy exyz , M (1,1,0) . Tính giá trị f()()() M  f M  f M A 23 . x  y  z 2. Tìm cực trị tự do của hàm số f( x , y ) x32 3 xy 15 x 12 y . 2.5.8 (3n 4) 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ( 1)n .  231nn .3 .n ! n 1 n n e cos 2 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa xn .  n! n 1 y 5. Tính I dx ( x3 ln x ) dy , trong đó C là đường tròn (xy 2)22 ( 1) 1, C x laáy theo chieàu KÑH töø (2,2) (3,1) . 6. Tính tích phân sau bằng cách dùng tọa dộ cầu: I z x22 y dxdydz , trong đó  là  miền giới hạn bởi nón z 3( x22 y ) , mặt phẳng z 0 và mặt cầu x2 y 2 z 2 4 . 7. Dùng công thức Stokes tính I ydx zdy xdz , trong đó C là giao tuyến của mặt trụ C xy22 z2 2 và mặt phẳng yx lấy ngược chiều KĐH nhìn từ phía dương của trục 2 Ox. ĐỀ 4
2. ĐỀ 6 22 1. Cho f( x , y ) sin( xy ) xy , tính giá trị biểu thức A x fxx y f yy . 2. Tìm cực trị hàm số f(,)() x y x y e xy 3. Tìm chuỗi Taylor của f( x ) ln( x2 x ) trong lân cận x 1. Hãy chỉ rõ miền hội tụ của chuỗi này. ( 1)nnn 3 4. Tính tổng chuỗi số sau: S  (n 1)! n 0 x y, x y 5. Cho f(,) x y . Tính f(,) x y dxdy , trong đó D là hình tròn đơn vị. 22 x y, x y D xdx ydy xy22 6. Tính I , C là ¼ ellipse 1nằm ở góc phần tư thứ nhất lấy theo 22 22 C xy ab chiều kim đồng hồ. 7. Tính z x22 y dxdy , trong đó S là phía trên phần mặt cầu x2 y 2 z 2 6, z với S 03 z .
3. 1 8 8 3 4 2 4 6 3 Câu 7: Áp dung công thức G-O I 2 zdxdydz , trong đó V là vật thể giới hạn bởi nón z 2 x22 y và trụ zy 4 2 . V 2 40 y 22 y Hình chiếu của V lên Oxy: D : 2 2 2 22 24x y y xy 2 2 2 2 4 r22 sin 22 I d dr2. z rdz d ()4 2 r2 rdr 4 0 0 rr2 2 cos 2 00 Đề 2: Câu 1: x, y , z 2,1, 2 , x , y , z 2,1,6 Câu 2: ffCT (2,1) 4 32nn 11 1 6n 6 Câu 3: an R lim lim 2 KHT : 6, 2 . n 1 nn n n 6 an 2 3n 3 2 3 n n 1 1n ( 1) 1 2 Tại x 62 hay x , chuỗi trở thành ( 2) .  23nn 11 2 3 3 nn 11 Khi đó các chuỗi trên là tổng của 1 chuỗi pkỳ và 1 chuỗi htụ nên pkỳ. Câu 4: Xét chuỗi lũy thừa S( x )  ( n 1) xn , MHT : D 1,1 . n 0 n 1 x 1 S() x x , xD 1,1  1 x x 1 2 n 0 n n 1 1 1 1 15 SS 3n 3 3 1 4 nn 00 1 3 Câu 5:
4. Do bn htụ nên theo tc so sánh  an ht tuyệt đối. n 0 n 0 Câu 5: áp dụng công thức Green sau khi thêm vào 2 đoạn thẳng L12: y 1,:3 x 2; L : x 2,:1 y 2, miền D là góc phần tư màu xanh. 22dx I 3 x2 dxdy (8 ln2 ) dy 31x D 1 2 3 51 3 32 d 2 r cos . rdr ln 8 ln 2 4 ln 8 00 2 16 4 Câu 6: 1 22 tan 03 z x y 3  62. cos 0 x2 y 2 z 2 42 22 56 2 42 I d d  sin  cos  d 00 15 6 Câu 7: chọn S là phần mp y = x giới hạn bên trong trụ, lấy phía trước nhìn từ phía dương Ox. Áp dụng công thức Stokes I dydz dzdx dxdy S 11 nS , ,0 22 2 I ds , S: y x , ds 2 dzdx , hc S D : x22 z 2 2 Ozx S I 2 dzdx 4 D Đề 4: xx 2 xyy x x x x x Câu 1: fxy 1 e sin , f e cos sin y yy2 y y y
5. Đề 5: Câu 1: x, y 1,0 z 1,0 ln2 1 z 1 x yz 1 zz (1,0) ln 2 xxy 2 1 1 x yz 1 ln 2 dz(1,0) ln 2 dx dy z 22 1 x yz 1 zz (1,0) ln 2 yxy 2 1 1 x yz 21 Câu 2: điểm dừng 1, 1 , A C, B AC B2 0, A 0 33 33 là điểm cực đại, f 1, 1 3 . 2n 2 n 1 2 n 1 n 1 1 n n 1 1 Câu 3: S 1 1 1 sin sin1 sin1 (21)!n  (21)! n  21! n n 0 n 0 n 1 nxnn Câu 4:  ln(nn 2)(2 )!! n 1 a ln n 3 nn ln n 3 2 n 2 12 Rn limn lim . 2 2 . lim . . nn 1 n an 1 n ln n 2 n 1 n ln n 2 n 1 1 e 1 n Câu 5: giống đề 3. Câu 6: Đặt x 2 r cos , y r sin 2 7 2 3 14 x y dxdy d r r rdr ( 2 ) 3 2 cos 2 sin 1 6 4 3 D 4 Câu 7: Cách 1: S/ / Oz I3 0 S đối xứng qua mp x = 0 , P chẵn theo x I1 0 .
6. 5 11 Câu 5: 4422 I d cos sin r dr 3 d r dr 0 00 3 44 Câu 6: PQyx . Tp không phụ thuộc đường đi (khu vực áp dụng là miền đơn liên chứa C và không chứa xy O, chẳng hạn khu vực phía trên đt 0) ab Chọn U x, y x22 y thì dU Pdx Qdy . Vậy I U 0, b U a ,0 ab Câu 7: Gọi S1 là phía dưới phần mp z 3 bị giới hạn bên trong mặt cầu,  nửa dưới của khối cầu x2 y 2 z 2 6 z Áp dụng ct G-O, z x2 y 2 dxdy x 2 y 2 dxdydz SS1  Xét tp khối: Đặt: x sin  cos , y sin  sin , z 3 cos  , 0 3,  , 0 2 2 23 81 2 2 2 x y dxdydz d d  sin  . sin  d 00 8  2 81 I z x2 y 2 dxdy z x 2 y 2 dxdy 4 SS1 22 Sz1 :3 , hc S1 D:9 x y Oxy 81 81 27 I 3 x22 y dxdy 27 4 4 4 D