Giáo trình Giải tích 2 - Chương 1 : Đạo hàm và vi phân

Nội dung text: Giáo trình Giải tích 2 - Chương 1 : Đạo hàm và vi phân

1. §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Một cách đơn giản hơn, ta định nghĩa giới hạn hàm cho riêng hàm 2 biến x, y theo đường cong như sau Khi điểm M dần đến M0 theo mọi đường cong L, mà hàm f(M) luôn dần về 1 giá trị a thì ta cũng có limf ( M ) a hay lim f ( x , y ) a MM0 xx0 yy0 Như vậy: Nếu M dần đến M0 theo 2 đường cong L1,L2 khác nhau và f(M) dần đến 2 giá trị a1≠a2 thì ta nói không tồn tại giới hạn của hàm f(M) khi M→M0
2. §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục sin(xy ) Ví dụ : Tính lim (xy , ) (0,0)113 xy Giải: Đặt t = xy →0 thì sin(xy ) sin t t lim lim lim 3 (x , y ) (0,0)13 1xy t 0 13 1 t t 0 1 t 3 xy Ví dụ : Tính lim (xy , ) (0,0) xy22 Giải: Ta cho (x,y) →(0,0) theo 2 đường y = x và y = 2x 22 Ta được xx1 2 2 lim22 v? lim (,)(0,0)/x y y x25xx25 (,)(0,0)/ x y y 2 x Vậy giới hạn đã cho là không tồn tại
3. §1 : Các khái niệm cơ bản – Giới hạn và liên tục Hàm liên tục : Hàm f(x,y) được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu f (x0,y0) xác định và limf ( x , y ) f ( x00 , y ) (,)(,)x y x00 y Hàm liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D Tổng, tích, thương của 2 hàm liên tục là hàm liên tục Hợp của 2 hàm liên tục là một hàm liên tục Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc MXĐ
4. §2 : Đạo hàm riêng Ví dụ: Tính đạo hàm riêng của các hàm sau: a. f(x,y)= x22 y x cos b. f(x,y)=e y c. f(x,y,z)=ln(x+ey ) xyz Giải : xy a. ffxy, x2 y 2 x 2 y 2 xx cosx1 cos x x b. f eyy( s in ) , f e ( s in )( ) xyy y y y 2 1 ey c. f yz ,f xz , f xy xx eyy y x e z
5. §2 : Đạo hàm riêng y z Ví dụ : Tính các đhr của hàm f(x,y,z) = ( /x) Giải: Ta tính 3 đhr của hàm 3 biến Để tính đhr của f theo x hoặc y, ta viết lại f(x,y,z) = yz.x-z rồi tính đạo hàm bình thường z z -z-1 Lấy đhr theo x: y , z là hằng số nên: f’x = y .(-z)x z-1 -z Tương tự: f’y = zy x Cuối cùng, tính đhr theo z thì ta sẽ để nguyên hàm y y z y ban đầu vì /x là hằng số nên : f’z = ( /x) ln( /z)
6. §2 : Đạo hàm riêng Đạo hàm cấp 2 của hàm f(x,y) là đạo hàm của đạo hàm cấp 1: 2f Đạo hàm cấp f(,) x y (,) x y f ()(,) f x y 2 theo x: xx0 0x2 0 0 x x 0 0 Đạo hàm cấp 2f f(,) x y (,) x y f ()(,) f x y 2 theo y: yy0 0y 2 0 0 y y 0 0 Đạo hàm cấp 2f f(,) x y (,) x y f ()(,) f x y 2 hỗn hợp: xy0 0yx 0 0 x y 0 0
7. §2 : Đạo hàm riêng Ví dụ: Tính đạo hàm riêng đến cấp 2 của hàm f( x , y ) sin( exy e ) Giải : Hàm 2 biến nên ta tính 2 đạo hàm riêng cấp 1 x x y y x y fxy ecos( e e ), f e cos( e e ) và 4 đạo hàm riêng cấp 2 x x y x x y fxx ecos( e e ) e sin( e e ) , y x y y x y fyy ecos( e e ) e sin( e e ) , x y x y fxy f yx e esin( e e )
8. §2 : Đạo hàm riêng Ghi nhớ: Đạo hàm riêng cấp cao hỗn hợp bằng nhau nếu số lần lấy đạo hàm theo các biến bằng nhau (không kể đến thứ tự lấy đạo hàm theo từng biến) Ví dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xcosy – 2ysinz. Tính đạo hàm riêng cấp 2. 3 đạo hàm cấp 1: fxcos y , f y x sin y 2sin z , f z 2 y cos z 9 đạo hàm cấp 2 fxx0, f xy sin y f yx , f xz 0 f zx , fyy xcos y , f yz 2cos z f zy , f zz 2 y sin z
9. §3 : Khả vi và Vi phân Định lý 3: (Điều kiện đủ khả vi) Cho f(x,y) xác định trong miền mở chứa (x0,y0) và các đạo hàm riêng liên tục tại (x0,y0) thì hàm khả vi tại (x0,y0) Từ 2 định lý 2, 3 ta có biểu thức của vi phân dfxy(,)(,)(,)0 0 fxydxxy 0 0 fxydy 0 0 Tương tự như hàm 1 biến, ta có các công thức d() f g df dg d(.) f g g df f dg f g df f dg d() gg2
10. §3 : Khả vi và Vi phân Vi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1 2 df ddf()() dfdxxy fdy d()() fxy dx d f dy (()dfdxx fddx x ())(() dfdy y fddy y ()) 22 fxx dx2 f xy dxdy f yy dy Hay ta viết dưới dạng 2f 2 f 2 f d2 f dx 22 dxdy dy 2 x22 x y y Vậy ta viết dưới dạng quy ước sau 2 2 df dx dy f d f dx dy f xy xy
11. §3 : Khả vi và Vi phân Vi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1 2 df ddf()() dfdxxy fdy d()() fxy dx d f dy (()dfdxx fddx x ())(() dfdy y fddy y ()) 22 fxx dx2 f xy dxdy f yy dy Hay ta viết dưới dạng 2f 2 f 2 f d2 f dx 22 dxdy dy 2 x22 x y y Vậy ta viết dưới dạng quy ước sau 2 2 df dx dy f d f dx dy f xy xy
12. §3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ : Cho hàm f(x,y) = xsiny – 2ycosx. Tính df, d2f tại (0,π/2) Giải : Ta đi tính các đạo hàm riêng đến cấp 2, thay vào công thức tính vi phân fxysin y 2 y sin x , f x cos y 2cos x fxx2 y cos x , f xy cos y 2sin x , f yy x sin y Vậy ta được: df(0,) f (0,) dx f (0,) dy dx 2 dy 2xy 2 2 d2 f(0, ) f (0, ) dx 2 2(0, f ) dxdy f (0, ) dx 2 2xx 2 xy 2 yy 2 Vậy : df0, dx 2 dy , v ? d22 f 0, ) dx 2 2
13. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợp Định lý : Cho hàm z = z(x,y) khả vi trong miền D; x, y là các hàm theo biến t: x=x(t), y=y(t) khả vi trong khoảng (t1,t2), khi ấy hàm hợp z = z(x(t),y(t)) cũng khả vi trong khoảng (t1,t2) và dz z dx z dy dt x dt y dt dz Ví dụ : Cho hàm z = x2-3xy, x = 2t+1, y= t2-3. Tính dt dz z dx z dy Giải: =(2x – 3y)2 + (-3x)2t dt x dt y dt
14. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ : Cho hàm z = xey, trong đó x=cosu+sinv, 2+ 2 zz y=u v . Tính , uv Giải: Ta sử dụng công thức trên để tính z z x z y . .eyy ( sin u ) xe .2 u u x u y u z z x z y . .eyy (cos v ) xe .2 v v x v y v Chú ý: Có thể tính đạo hàm trên bằng cách thay x, y theo u, v vào biểu thức của hàm z rồi tính đạo hàm thông thường. Tuy nhiên, việc sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp (nói chung) sẽ cho ta kết quả nhanh hơn
15. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp z”xx = [f’u]’x + 2[f’v]’x = z”xx = [(f’u)’u.u’x+(f’u)’v.v’x]+2[(f’v)’u.u’x+(f’v)’v.v’x] Giữ nguyên Giữ nguyên Lấy đhr theo u thì nhân Lấy đhr theo v thì nhân với đhr của u theo x với đhr của v theo x Lấy đhr cấp 2 theo thì tương ứng nhân với đhr của u, v theo x Tương tự: z”xy = f”uu-f”uv-6f”vv, z”yy = f”uu-6f”uv+9f”vv
16. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng cấp 2 của hàm hợp Cho hàm z = z(x,y), trong đó x = x(u,v), y = y(u,v). Ta đi tính đạo hàm riêng cấp 2 của hàm z theo biến độc lập u, v zuu()( ) z u u z x x u z y y u u (().zxu x u z x .)((). x u u z y u y u z y .) y u u ( )( )zxxx u z x y y u x u zx x uu z yx xu z y y y u y u z y yuu Vậy: 22 zuu zx xx u2 zxy xy u u zy yy u zx x uu zy y uu Tương tự, ta có 2 đạo hàm cấp 2 còn lại
17. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ta chỉ tính vi phân cấp 2 của hàm z theo biến độc lập u, v; tức là ta sử dụng công thức vi phân cấp 2 của hàm z(u,v). Vậy vi phân cấp 2 của hàm hợp là 2 2 2 d z zuu du2 z uv dudv z vv dv Ví dụ: Cho z = xcosy, x = uv, y = u+v. Tính dz, d2z theo vi phân của biến độc lập du, dv Giải: Ta sẽ tính các đạo hàm riêng đến cấp 2, rồi thay vào công thức vi phân, ta được: dz( v cos yx sin ydu ) ( u cos yx sin ydv ) d2 z( 2 v sin y x cos y ) du 2 ( 2 u sin y x cos y ) dv 2 2(v sin y cos y u sin y x cos y ) dudv
18. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ : Tính y’, y” biết x – y + arctany = 0 Giải: Ta đặt F(x,y) = x – y + arctany, rồi áp dụng công thức F 1 1 y 2 y x F 1 2 y 1 y 1 y 2 Để tính đạo hàm cấp 2, ta lấy đạo hàm của đạo hàm cấp 1 với ghi nhớ rằng y’ đã có trước đó để thay vào cuối cùng. 12yy 2(y 2 1) y (1 ) yy24y 5
19. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ : Cho hàm z = z(x,y) xác định bởi phương 2 2 2 trình x +y +z -3x+6y-5z+2 = 0. Tính zzxy, Giải: Cách 1: Lấy đạo hàm 2 vế phương trình đã cho theo x, coi y là hằng số 32x 2x 2 zz 3 5 z 0 z xx x 25z Và lấy đạo hàm theo y, coi x là hằng số 62y 2y 2 zz 6 5 z 0 z y y y 52z
20. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ: Tính dz, d2z nếu zex + 3y + z - 1 = 0 tại (0,1) Giải: Trước tiên, ta thay (x,y) = (0,1) vào phương trình để được z = -1 Tiếp đó, ta tính các đạo hàm riêng đến cấp 2 bằng cách đặt F(x,y,z) là vế trái của phương trình trên x ze 3 3 zzxyxx, zz(0,1)1 , (0,1) ee11xy22 1 dz(0,1) ( dx 3 dy ) 2
21. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Ví dụ : Cho hàm z = f(x+y,x.y), tính vi phân dz, d2z Giải: Ta đi tính đạo hàm riêng đến cấp 2 của hàm z Trước hết, ta đặt t = x+y, s = x.y thì z là hàm theo 2 biến t và s, còn t, s là hàm theo 2 biến x và y. Ta được z’x = f’t.t’x+f’s.s’x = f’t.1+f’s.y; z’y = f’t.t’y+f’s.s’y = f’t.1+f’s.x Suy ra dz = (f’t+f’s.y)dx + (f’t+f’s.x)dy z”xx = (f’t+f’s.y)’x = [(f”tt.t’x+f”ts.s’x)+(f”st.t’x+f”ss.s’x).y] 2 z”xx = f”tt+2yf”st+ y .f”ss Tương tự, ta được 2 đạo hàm cấp cao còn lại và 2 2 2 2 2 d z = (f”tt+2yf”st+ y .f”ss)dx + (f”tt+2xf”st+ x .f”ss)dy + (f”tt+(x+y)f”ts+xyf”ss+f”s)2dxdy
22. §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm ẩn Thay vào công thức trên, ta được kết quả FFts zzxy FFts2
23. §5 : Công thức Taylor - Maclaurint Ví dụ : Khai triển Tay lor tại lân cận điểm (1,-1) hàm f(x,y) = x2+2y2-3xy+4x-5y+7 Giải : Do f(x,y) là đa thức bậc 2 theo x hoặc theo y nên từ cấp 3 trở đi, các đạo hàm riêng bằng 0 tức là vi phân cũng bằng 0. Ta chỉ cần tính vi phân của f đến bậc 2 f(1,-1) = 22 f’x = 2x – 3y +4 , f’y = 4y – 3x – 5 f’x(1,-1) = 9 , f’y(1,-1) = -12 df(1,-1) = 9dx - 12dy = 9(x-1) – 12(y+1)
24. §5 : Công thức Taylor - Maclaurint Chú ý : Tương tự như hàm 1 biến, để khai triển Tay lor hàm f(x,y) trong lân cận điểm (x0,y0) ta cũng làm như sau : 1. Đặt X = x - x , Y = y - y 0 0 x = X + x0, y = Y + y0 2. Sử dụng khai triển Maclaurint hàm 1 biến để khai triển hàm f(X,Y) ` 3. Sắp xếp theo thứ tự bậc của X, Y, X.Y tăng dần 4. Thay X = x - x0, Y = y - y0 vào để được khai triển cần tìm
25. §5 : Công thức Taylor - Maclaurint Ví dụ: Khai triển Maclaurint hàm f(x,y) = excosy đến bậc 2 Giải: Ta áp dụng trực tiếp khai triển Maclaurint cho 2 hàm 1 biến ex và cosy để có kết quả: 1 2 2 1 2 2 f(x,y) = (1+x+ /2x +O(x ))(1- /2y +O(y )) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 f(x,y) = 1+x+ /2x - /2y + /2xy - /4x y +R2 Ta bỏ các số hạng bậc lớn hơn 2 và sắp xếp theo thứ tự tăng dần của bậc, ta được : 2 2 f(x,y) = 1 + x + ½ (x -y ) +R2
26. §6 : Cực trị hàm nhiều biến Định nghĩa tương tự cho khái niệm cực tiểu chặt và cực tiểu không chặt. Chú ý: Khái niệm cực trị chỉ mang tính địa phương, nó khác với khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trong một miền (Xem hình vẽ)
27. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị tự do Điều kiện cần của cực trị : Nếu hàm f(x,y) có cực trị tại điểm M0(x0,y0) thì tại M0 hàm có các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 hoặc không tồn tại Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 hoặc không tồn tại thì gọi là điểm tới hạn của hàm tức là điểm nghi ngờ có cực trị. Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 thì gọi là điểm dừng của hàm. Điểm M mà tại đó các đạo hàm riêng đồng thời bằng 0 và trong 1 lân cận bất kỳ của nó tồn tại các điểm M1, M2 sao cho f(M1)<f(M)<f(M2) được gọi là điểm yên ngựa
28. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị tự do Điều kiện đủ của cực trị : Cho hàm f(x,y) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong 1 lân cận của điểm dừng M0(x0,y0). Ta có : 2 1.Nếu dạng toàn phương d f(M0) xác định dương thì hàm đạt cực tiểu chặt tại M0 , fct = f(M0) 2 2.Nếu dạng toàn phương d f(M0) xác định âm thì hàm đạt cực đại chặt tại M0 , fcđ = f(M0) 2 3. Nếu dạng toàn phương d f(M0) không xác định thì hàm không đạt cực trị tại M0
29. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị tự do Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x,y,z) = x2+y2+2z+2z2-4x+6y4x+6y-8z8z Giải: Bước 1: Giải hpt tìm điểm dừng fx2 4 0 x x 2 Vậy hàm có điểm fyy 2 6 0 y 3 dừng duy nhất z 2 M(2,-3,2) fzz 4 8 0 Bước 2: Tính d2f(M) = 2dx2+2dy2+4dz2 ≥ 0 với mọi M. Bước 3: Kết luận Hàm đạt cực tiểu tại điểm dừng duy nhất fct = f(2,-3,2) = -21
30. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị tự do Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x,y) = x3 – y3 – 3xy f3 x2 3 y 0 Giải: x Tìm điểm dừng 2 fy 3 y 3 x 0 Ta tìm được 2 điểm M1(1,1) và M2(0,0) Tìm các đạo hàm riêng cấp 2: f”xx= 6x, f”xy= -3, f”yy= 6y Tại M1 : C = A = 6 >0, B = f”xy(1,1) = -3, 2 C = f”yy(1,1)= 6, Δ = AC – B = 6.6 –(-3)(-3) > 0. Hàm đạt cực tiểu : fct = f(1,1) = -1 Tại M2 : A = f”xx(0,0) = 0 = C, B = f”xy(0,0) = -3, Δ = -9<0 Hàm không đạt cực trị tại M2
31. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị tự do Ta có : Δf(M)= f(x,y) – f(M) 2 2 2 2 Δf(M)=(x +y –2xy+2x–2y) – (x0 +y0 –2x0y0 +2x0 -2y0) 2 2 2 Δf(M)=(x +y –2xy+2x–2y)–((x0-y0) +2(x0–y0)) Thay x0 – y0 = -1 vào, ta được Δf(M) = (x-y+1)2 ≥ 0 f(x,y) ≥ f(M) Vậy theo định nghĩa, hàm đạt cực tiểu không chặt tại mọi điểm dừng M0 và fct = f(M0) = f(x0,x0+1) = -1
32. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị tự do f (x ,0)f (0 ,0) 3 x2 0 fx (0 ,0) lim x 0 lim x x 0 x =∞ Do vai trò x, y như nhau trong hàm f, nên tương tự ta cũng có f’y(0,0) = ∞ Vậy tại (0,0) các đạo hàm riêng không tồn tại hữu hạn nên(0,0) chỉ là điểm tới hạn của hàm, tức là điểm nghi ngờ có cực trị. Mặt khác: f f(,) x y f (0,0)3 x22 y 0,(,) x y Tức là (0,0) là điểm cực tiểu của hàm. Hơn nữa, f(0,0) = 0 nên ta có fct = fmin = f(0,0)
33. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị tự do Tại M3(0,0): A = B = C = -2, Δ = 0. Ta phải xét dấu Δf = f(x,y)–f(0,0) = x4+y4–x2–y2–2xy, với mọi (x,y) gần với (0,0) bằng cách chọn 2 điểm 1 1 1 1 N1( /n, /n), N2( /n,- /n) và tính Δf(N1), Δf(N2) 1 1 2 4 21 f()(,) N f ( 2) 0,n 1 1 n n n42 n nn22 1 1 2 f( N ) f ( , ) 0, n 1 2 n n n2 Như vậy, Δf đổi dấu trong lân cận điểm dừng M3 tức là hàm không đạt cực trị tại M3
34. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị tự do 2. Tính d2f(x,y,z) = 6xdx2+2dxdy+2dy2-4dxdz+4dz2 và thay từng điểm dừng vào để xét dấu dạng toàn phương : 2 2 2 2 d f(M1) = 6dx +2dxdy+2dy -4dxdz+4dz có ma trận 6 1 2 A 1 2 0 ,1 6 0, 2 11 0, 3 36 0 2 0 4 2 Tức là d f(M1) là xác định dương, hàm đạt cực 9 tiểu tại M1, fct = f(M1) = - /2 2 2 2 2 d f(M2) = -3dx +2dxdy+2dy -4dxdz+4dz Bằng cách như trên (theo tiêu chuẩn Sylvester), ta có kết luận hàm không đạt cực trị tại M2
35. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện Định nghĩa cực trị có điều kiện : Hàm f(x,y) được gọi là đạt cực đại chặt tại M0(x0,y0) với điều kiện φ(x,y) = 0 nếu Δf = f(x,y) – f(x0,y0)<0, với mọi M nằm trong hình cầu B(M0,r) và thỏa điều kiện trên Thay dấu “<“ bởi dấu “≤” ta được cực trị không chặt có điều kiện, và lấy dấu ngược lại ta có khái niệm cực tiểu có điều kiện
36. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện Tuy nhiên, hầu hết các trường hợp cực trị có điều kiện, ta không dễ dàng rút ra y theo x hoặc x theo y như trên. Vì vậy, ta sẽ xây dựng cách tìm cực trị có điều kiện 1 cách tổng quát hơn dựa trên cách tìm cực trị tự do như sau Ta sẽ giả thiết rằng điều kiện φ(x,y) = 0 xác định một hàm ẩn y = y(x) tại lân cận điểm M0(x0,y0), tức là φ’y(x0,y0) ≠ 0. Khi đó, ta thay y = y(x) vào hàm f, ta được hàm 1 biến f(x,y(x)). Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị tại M0 với điều kiện φ(x,y) = 0 thì theo định lý Fermat ta có
37. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện f’x(x0,y0) + λ0φx(x0,y0) = 0 (4) Kết hợp điều kiện φ(x,y) = 0 với các đẳng thức (3), (4) ta được hệ pt : f x y x y xx( , ) ( , ) 0 Và x0, y0, λ0 là 1 nghiệm của hệ fyy( x , y ) ( x , y ) 0 (xy , ) 0 Ta đặt hàm L(x,y) = f(x,y)+λφ(x,y) thì hpt trở thành Lx ( x , y ) 0 Ly ( x , y ) 0 (xy , ) 0
38. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện Định lý : (Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện) Giả sử các hàm f(x,y), φ(x,y) có các đhr đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng M0(x0,y0) ứng với λ = λ0. Khi đó, ta có các kết luận: 2 1.Nếu d f(x0,y0) là xác định dương thì M0 là điểm cực tiểu 2 2.Nếu d f(x0,y0) là xác định âm thì M0 là điểm cực đại 2 3.Nếu d f(x0,y0) là không xác định hàm không đạt cực trị tại M0
39. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x,y) = 6 - 4x + 2y với điều kiện x2+y2 = 1 Giải : 1. Lập hàm L(x,y) = 6 - 4x +2y+λ(x2+y2-1) 2. Giải hpt tìm điểm dừng 4 2x 0 x 2 Thay x, y từ 2 pt trên xuống pt 2 2y 0 y 3 2 cuối cùng. Ta xy221 xy221 được 2 điểm dừng : 4 3 5 4 3 5 M1( /5, /5), λ = λ1= /2; M2(- /5,- /5) λ = λ2=- /2
40. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x,y,z) = x - 2y + 2z với điều kiện x2+y2+z2=1 Giải : Ta cũng làm theo các bước như với hàm 2 biến 1.Lập hàm L(x,y,z) = x-2y+2z+λ(x2+y2+z2-1) 22 Tìm điểm dừng bằng cách giải hpt Lx12 x Ta được 2 điểm dừng Lyy 22 1 2 2 3 M1( /3,- /3, /3) , λ1 = - /2 Lzz 22 1 2 2 3 M2(- /3, /3,- /3) , λ2 = /2 x2 y 2 z 2 1 3. Tính d2f = 2λ(dx2+dy2+dz2),
41. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện Ví dụ: Tìm cực trị hàm f(x,y) = x2+2y2+12xy với điều kiện 4x2+y2 = 25 Giải: L(x,y) = x2+2y2+12xy+λ(4x2+y2 - 25) Tìm điểm dừng : Từ (1) và (2) ta tính λ Lx 2 x 12 y 8 x (1) theo x và y, cho bằng L4 y 12 x 2 y (2) nhau để tìm ra mối y liên hệ giữa x và y 4xy22 25 (3) x6 y 6 x 2 y 24x22 7 xy 6 y 0 (4) 4xy Pt (4) là pt đẳng cấp đối với x, y; ta giải bằng cách đặt y = tx để được phương trình
42. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện 2 2 2 2 Tại M1 và M2 : d L=18dx +24dxdy+8dy = 2(3dx+2dy) Đến đây, ta chưa thể kết luận về dấu của d2f nên ta sẽ sử dụng điều kiện φ(x,y) = 0 bằng cách lấy vi phân 2 vế: φ’xdx+φ’ydy=0 và thay giá trị x, y tại điểm dừng đang xét để tìm thêm mối liên hệ giữa dx và dy Từ : 4x2+y2 = 25 8xdx+2ydy = 0 Thay x=2 và y=-3 (điểm M1) hoặc x=-2 và y=3 (điểm M2) vào trên ta được : 8dx = 3dy 2 2 225 2 Suy ra: d L(M1) = d L(M2) = /4dx - xác định dương 2 Tương tự khi xét dấu d L tại M3 và M4. Vậy : fcd = f(2,-3) = f(-2,3) = -26, 3 3 151 fct = f( /2,4) = f(- /2,4) = - /4
43. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – Cực trị có điều kiện Cách 2: Dùng hàm Lagrange với 2 điều kiện L(x,y,z) = f(x,y,z) + λφ(x,y,z) + μψ(x,y,z) L(x,y,z) = x2+y2+z2+λ(x+y-6)+μ(y+z-12) Tìm điểm dừng bằng cách giải hpt Lx 0 Lxx 20 Ta được 1 điểm Ly 0 Lyy 20 dừng L 0 Lz20 z z M(0,6,6) (x , y , z ) 0 xy6 với λ = 0, (x , y , z ) 0 yz12 μ = -12 Tính d2L=2(dx2+dy2+dz2) xác định dương tại mọi điểm nên ta được fct = f(0,6,6) = 72 . Vậy khoảng cách nhỏ nhất cần tìm là 6√2
44. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – GTLN GTNN Như vậy, để tìm GTLN, GTNN của hàm f(x,y) trên miền đóng D ta làm như sau : 1. Tìm điểm các điểm dừng M1, M2, và là các điểm trong của D. Tính giá trị của hàm tại các điểm dừng đó 2 . Tìm các điểm dừng trên biên của D tức là điểm dừng của hàm f thỏa điều kiện là phương trình biên D. Tính giá trị hàm f tại các điểm dừng đó. 3. So sánh giá trị của hàm f tại các điểm dừng trong và trên biên của D để tìm ra GTLN, GTNN của hàm f trên miền D.
45. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – GTLN GTNN Tìm điểm dừng trên biên D tức là tìm điểm (-3,4) dừng có điều kiện bằng cách lập hàm Lagrange 2 2 L(x,y) = f(x,y) + λ(x +y -25) (3,-4) và giải hpt Lx 2( x 6) 2 x 0 Ta được 2 điểm dừng trên Ly 2( y 8) 2 y 0 biên M1(-3,4), M2(3,-4) 22 xy 25 Ta tính giá trị của f tại 2 điểm dừng trên và so sánh ta được fmax = f(-3,4) = 225, fmin=f(3,-4) = 25
46. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – GTLN GTNN Trên cạnh AB với phương B(0,1) trình x+y = 1 ↔ y = 1-x 1 1 M2( /2, /2) Thay vào hàm f ta được A(1,0) f = x2+(1-x)2-x(1-x) = x2-x+1 C(-1,0) 1 f’=2x-1=0↔x= /2 ta được điểm dừng M (1/ ,1/ ) 2 2 2 D(0-1) Tương tự trên 3 cạnh còn lại ta được 3 điểm dừng lần 1 1 1 1 1 1 lượt là M3(- /2, /2), M4(- /2,- /2), M5( /2,- /2) Cuối cùng, ta tính giá trị của hàm tại 5 điểm dừng vừa 1 3 tìm: f(M1)=0, f(M2) = f(M4) = /4, f(M3) = f(M5) = /4 Và tại 4 điểm đặc biệt: f(A) = f(B) = f(C) = f(D) = 1 Vậy: fmax = f(A) = f(B) = f(C) = f(D) = 1, fmin = f(M1) = 0
47. §6 : Cực trị hàm nhiều biến – GTLN GTNN 2. Tìm điểm dừng trên biên của D gồm 2 đường : đoạn thẳng AB và nửa trên đường tròn ACB. Trên đoạn thẳng, ta có điều kiện: 2x+y = 4 ↔ y = -2x+4 B(0,4) , 0≤x≤2 thay vào hàm f ta được f = x2+(2x-4)2 = 5x2-16x+16 I(1,2) Cho ta 1 điểm dừng M1 8 4 M1( /5, /5) A(2,0) Trên nửa đường tròn, ta lập hàm Lagrange L(x,y) = x2+y2+λ((x-1)2+(y-2)2-5)