Giáo trình Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi

Nội dung text: Giáo trình Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi

1. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Định nghĩa: Cho dãy số {un}. Ta gọi tổng tất cả các số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN) un là chuỗi số n 1 Ta gọi: 1. un là số hạng tổng quát của chuỗi 2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên : Sn=u1+u2+ +un 3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có) S lim Sn n Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳ Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng unnlim S S n 1 n
2. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân qn n 0 Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi nq,1 2 n n Sn 1 q q q 1 q ,1q 1 q Rõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ n 1 Khi |q| 1: Dãy {Sn} không có giới hạn → chuỗi phân kỳ Vậy chuỗi cấp số nhân hội tụ khi và chỉ khi |q|<1
3. §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số 1 Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của 2 n 1 41n Tổng riêng: Snn u12 u u 1 1 1 1 Ta có: u () n 41n2 2 2nn 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2S n 1 3 3 5 5 7 2nn 1 2 1 1 21S n 21n Tổng của chuỗi: 11 SS2 lim n n 1 41n n 2
4. §1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ Điều kiện cần của sự hội tụ : Chuỗi un hội tụ thì un→0 n 1 Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗi số phân kỳ bằng cách chứng minh 1. limun 0 n 2. lim un n Ví dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht nn , v? limun lim 1 0 n 1nn11nn ( 1)nnnn ( 1) , v? lim 1 0 n 1 nnn nn nn, v? limun lim 1 0 n 1( 1)nnnn ( 1)
5. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Chuỗi số uunn, 0 với tất cả các số hạng n 1 không âm thì gọi là chuỗi không âm Khi đó, dãy tổng riêng {Sn} là dãy số không giảm nên chuỗi HT khi và chỉ khi dãy {Sn} bị chặn trên Để khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương, chúng ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiêu chuẩn : 1.Tiêu chuẩn tích phân Maulaurint – Cauchy 2.Tiêu chuẩn so sánh 3.Tiêu chuẩn Cauchy 4.Tiêu chuẩn d’Alembert
6. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 1 Vì tích phân dx hội tụ khi và chỉ khi α>1 nên 1 x 1 Chuỗi Hội tụ khi α>1 và phân kỳ khi α≤1 n 1n 1 Ví dụ: Khảo sát sự HT của chuỗi n 2 nn(ln ) 1 Xét hàm fx() trên [2,+∞), ta có xx(ln ) f(x) không âm, hàm liên tục và khi x tăng thì lnx tăng nên f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiêu chuẩn tích phân
7. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho 2 chuỗi số không âm uvnn v? thỏa nn11 p: unn v n p Khi ấy: 1.uvnn HT HT nn11 2.vunn PK PK nn11 Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kéo theo chuỗi “nhỏ” HT và ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kéo theo chuỗi “lớn” PK
8. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho 2 chuỗi số không âm uvnn v? thỏa u nn11 lim n K n vn Khi ấy: 1. Nếu K=∞ thì uvnn HT HT nn11 2. Nếu 0<K<∞ thì 2 chuỗi cùng HT hoặc cùng PK 3. Nếu K=0 thì vunn HT HT nn11
9. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm nn2 Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi 22 3 n 1 nn1 Ta dùng T/c so sánh 2 bằng cách tính khi n→∞ nn2 2 2 1 Khi n→∞ thì uv nnnn3 1 n u Tức là limn 1 (hai chuỗi cùng HT hoặc cùng PK) n vn Mà 1 vn là chuỗi phân kỳ nn11n Vậy chuỗi đã cho phân kỳ
10. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 1 2n 1 Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ln n 1nn11 Ta có : 1 2n 1 1 3 u ln ln 2(1 n n1 n 1 n 1 2( n 1) 1 3 ln2 1 3 u ln2 ln(1 ) ln(1 ) n n1 2( n 1) n 1 n 1 2( n 1) Do 1 3 1 3 3 n : ln(1+ ) . n1 2( n 1) n 1 2( n 1) 2(n 1)2 Nên theo t/c so sánh 2: chuỗi đã cho PK vì nó là tổng ln2 1 3 của 2 chuỗi PK v? ln(1 ) HT nn22n1 n 2 2( n 1)
11. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm 2 n e n n 1 Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi  3 ln n 2 n 1 n Khi n →∞ : n2 1 e 2 0 Suy ra en 22 n enn n11 n e u ln( ) ln(1 ) n 33nn11nn 2 n en 1 n 1 1 u ln(1 ) n 3n1 nn 3 n 3 n 1 Mà chuỗi 3 phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ n 1 n
12. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Tiêu chuẩn Cauchy : Xét chuỗi số dương: un n 1 Đặt : •  q 1 : phân kỳ • C = 1 : không có kết luận
13. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: (2n 1)! 1/ 24 n 1 4 n nn( 1) n 1 2/ n 1 n (2n 1)!! 3/ n 1(2nn )!!(2 1) 4 /aalnn , 0 n 1
14. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm n 1 nn( 1) 2/ n 1 n nn11n( n 1) ( n 1) uun nnnn n 1(n 1) 1 1 limn u lim lim 1 n 1 n nne n (1 )(n 1) n 1 Vậy chuỗi HT theo tiêu chuẩn Cauchy
15. §1. Chuỗi số - Chuỗi không âm (2n 1)2 Rnn n 11 D n (2nn 2)(2 3) 65n n (2nn 2)(2 3) 3 limRn 1 n 2 chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb
16. §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Chuỗi số nn ( 1)un u1 u 2 u 3 ( 1) u n , u n n , n n 1 gọi là chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Leibnitz : uunn1 ( 1)nu Nếu u 0 thì chuỗi n hội tụ lim n n 1 n Khi ấy, ta gọi chuỗi đó là chuỗi Leibnitz và tổng S của chuỗi thỏa 0≤S≤u1
17. §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu n Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ( 1) n n 1 n ( 1) ( 1)n Số hạng tổng quát của chuỗi un n ( 1)n n không thể viết được dưới dạng ( 1)vvnn , 0 Tức là chuỗi trên không là chuỗi đan dấu Ta có (1)n (1)( nnn (1))(1) n n 1 un nn( 1)nn ( 1)2 nn11
18. §1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu n Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ( 1) n 1nnln 1 Chuỗi đan dấu với u n nnln Để khảo sát sự đơn điệu của dãy un ta đặt 1 x 1 fx() f( x ) 0, x 1 xxln x( x ln x )2 Tức là hàm f(x) cũng là dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0. Vậy chuỗi đã cho HT theo Leibnitz
19. §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ Chú ý 1: Điều ngược lại không đúng, tức là chuỗi un không suy ra chuỗi ||un hội tụ n 1 n 1 Khi chuỗi HT và chuỗi PK thì ta gọi chuỗi là chuỗi bán hội tụ Chú ý 2: Nếu dùng tiêu chuẩn Cauchy hoặc d’Alembert mà biết được chuỗi PK thì chuỗi cũng PK
20. §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ n 1 Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi ( 1)n 2 n 1 21n n 1 1. Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu với un 21n2 Rõ ràng dãy {un} đơn điệu giảm và dần về 0 nên chuỗi HT theo t/c Leibnitz 2. Mặt khác, coi đó là chuỗi có dấu bất kỳ thì n 1 1 ||un , khi n 21n2 2n n 1 ||u Tức là chuỗi n 2 PK nn1121n Vậy chuỗi đã cho chuỗi bán HT
21. §1. Chuỗi số - Chuỗi có dấu bất kỳ arcsin( 1)n Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi n 2 n( n 1)( n 1) Vì ,2nk 2 arcsin( 1)n ,nk 2 1 2 Nên 1 un khi n 2n ( n 1)( n 1) 2 3 n 2 Vậy chuỗi đã cho HTTĐ
22. §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng nn ann( x x0 ) hay a x a0, a1, a2, là hằng số nn00 n Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0) (1) hoặc n un(x)=anx (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo x hoặc (x-x0). Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng (2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng tổng quát dạng (2)
23. §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ 1 Ví dụ: Tìm MHT của chuỗi 2n n 11 x 1 uxn() xác định với mọi x 1 x2n Khi |x| 1: Cho un 1x2nn ( x 2 ) | x | 2 Chuỗi HT vì |x|>1 Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞)
24. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Định lý Abel : n Nếu chuỗi lũy thừa axn HT tại x 0 thì nó HTTĐ tại n 1 0 mọi điểm x( | x00 |,| x |) n Hệ quả: Nếu chuỗi axn PK tại x thì nó PK với mọi x n 1 1 thỏa |x|>|x1| Bán kính hội tụ (BKHT): n Số R>0 sao cho chuỗi axn HT với mọi x: |x| R được gọi là BKHT của chuỗi
25. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗin sau n x 1. (nx ) 2. n 2 nn112.n n 1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=n : n lim||ann lim R 0 nn BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0} 1 11 n n 2. a n n 2 lim||an lim n 2 R 2 2.n nn2.n 2 Khi x=2: 1 2 là chuỗi số dương HT n 1n ( 1)n Khi x=-2: 2 là chuỗi HTTĐ n 1 n Vậy MHT [-2,2]
26. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT n 1 n 2. Chuỗi lũy thừa với a, X ( x 1)2 0 n 21n n n n n 11 lim |an | lim → R=2 nn2n 1 2 n 1 n Ta chỉ xét X=2: 2n Chuỗi PK theo đkccsht vì n 1 21n 3 21n n n 21n 2n 2 3 3 3 u1 n e 2 0 n 2nn 1 2 1 Suy ra, chuỗi đã cho HT khi 0X 20(1)212 x2 x 12 Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2)
27. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT n!1 4. Chuỗi lũy thừa với aX, n nn x n n ||an 1 (n 1)! n n 1 lim limn ! . lim n|an | n(n 1) n ! n n 1 e → R=e Khi X=e: n! n n e n 1n nn1 un 1 (n 1)! e n e Dnn n1 . n n 1 un (n 1) n ! e 1 1 n 11nn1 Tuy nhiên, vì 1en 1 , nn Nên Dn<1. Vậy chuỗi PK theo t/c d’Alembert
28. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi n Tính chất của chuỗi lũy thừa: axn (1) n 1 Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D có tổng là S(x) Ta có các kết luận sau: 1. Hàm S(x) liên tục trong MHT D 2.Trong MHT D, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R n n n 1 S()(),(,) x an x a n x a n nx x R R n1 n 1 n 1 3.Trong MHT D, ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R x x x n 1 nnx S(),(,) t dt an t dt a n t dt a n x R R 0 0n1 n 1 0 n 1 n 1
29. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 2. Dễ dàng thấy R=1, x ( 1,1) ta đặt S() x nxnn x nx 1 nn11 n 1 (1xx ) ( 1) S() x x x xx x n 1 1 x (1x )2 x S( x ) , x ( 1,1) (1x )2
30. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 4. Dễ dàng thấy R=1, x ( 1,1) ta đặt n n n xn 11 x x S() x2 x n1nn n 1n n11 n 1 n n 1 n xxnn1 1 Sx() nn11n x n 1 xnn1 x x Sx() Sử dụng kết quả câu 1. nn11n x n 1 1 S( x ) ln(1 x ) ln(1 x ) x x 1 Vậy : S( x ) ln(1 x ) 1 1, x ( 1,1) x
31. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Định lý: (Điều kiện để hàm f(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor) Giả sử trong lân cận (x0-R,x0+R), hàm f(x) thỏa 1. f(x) khả vi vô hạn lần 2. Tồn tại hằng số C>0: |f(n)(x)|≤Cn, với mọi n ()n thì fx()0 n f()(),(,) x x x0 x x 0 R x 0 R n 0 n! Chú ý: Trong khi làm bài, ta sẽ không kiểm tra 2 điều kiện trên để có chuỗi Taylor của hàm f(x) mà ta sẽ sử dụng các kết quả sau đây để chỉ ra MHT của chuỗi Taylor - Maclaurint
32. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint xn 4 / ln(1 x )  ( 1)n 1 , D 1,1 n 1 n x21n 5 / sinx  ( 1)n n 0 (2n 1)! x2n DR cosx  ( 1)n n 0 (2n )! x21n 6 / arctanx  ( 1)n , D 1,1 n 0 21n
33. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 2. f(x)=ln(2-3x+x2) = ln((1-x)(2-x)) = ln(1-x) + ln(2-x) x f( x ) ln(1 ( x )) ln2 ln(1 ( )) 2 ( 1)nn11 ( 1) x n f( x ) ln2 ( x )n nn11nn2 11n f( x ) ln2 1 n x MHT: (-1,1) n 1n 2 11x Chuỗi HT nếu x 11x 11 2
34. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 1.3.5 (2n 1) f xnn x2 ( ) 1  ( 1) n n 1 2!n Hàm khai triển được nếu 0 xx2 1 1 1 x Suy ra: f( x ) f ( t ) dt f (0) 0 1.3.5 (2n 1) lnx 1 x2 x ( 1)nn x 2 1  n n 1 2nn !(2 1) MHT : 11 x
35. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ngoài việc áp dụng khai triển các hàm cơ bản thành chuỗi Maclaurint vào việc tìm chuỗi Taylor , chuỗi Maclaurint các hàm bình thường. Ta còn có thể áp dụng để tính tổng các chuỗi lũy thừa, chuỗi số Ví dụ: Tính tổng của chuỗi lũy thừa ()x n , x ( 1,1) n 0 nn( 1) ( 1)n Chuỗi trên là chuỗi lũy thừa với a n nn( 1) Nên dễ thấy BKHT R=1, tức là với -1<x<1 ta đặt ()x n Sx() n 0 nn( 1)
36. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint n 1 Ví dụ: Tính tổng của chuỗi xn 1 n 1(2n )!! nn11nn xnn1 x. x n. x x x n nn11(2nn )!! 2.4.6 (2 ) n 1 2 .n ! n xnn1 x x nn11nn! 2 ! 2 x11 xnn1 x x 2nn11 (nn 1)! 2 ! 2 x2 11 xnn x x 1 2nn00nn ! 2 ! 2
37. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dưới dấu tích phân bằng chuỗi, tính tích phân 1 1 Iln dx 0 1 x 1 (x )n Ta có: ln ln(1x ) ( 1)n 1 1 xnn 1 Thay vào tích phân trên 1 ()x n ( 1)n 1 11 I( 1)n dx ()xn dx 0 n 1 n n 1 n 0 n 1nn 1 Ta tính tổng của chuỗi số bằng định nghĩa Tổng riêng : Sn = u1+u2+ +un và tổng S
38. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính tổng các chuỗi số sau n.5nn ( 2) 1. 3. n 1 nn01n! nn( 2)7 22nn 1 ( 1) 1 .2.5.8 (3n 4) 2. 4. 31n nn11(2n )!! 2 .n ! n.5nn 5 1 n 1. 5 5 05 5 e nn01nn! ( 1)! n 0 n! 2nn 1 2 2n n 2. 2 2.2 2.2 2 n 2 nn11(2nn )!! 2.4.6 (2 ) n 1 2!n n 1 n! 2n 212(e2 1) n 0 n!
39. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint n 1 4. ( 1) .2.5.8 (3n 4) 31n n 1 2 .n ! 1 1 1 1 .( 1)( 2) ( (n 1)).3n 3 3 3 3 13n n 1 2 .2 .n ! 1 1 1 1 .( 1)( 2) ( (n 1)) n 3 2 3 3 3 3 n 1 n!8 1 33 11 2 1 1 23 23 11 2 88