Lý thuyết và bài tập Giải tích 2 - Chương: Lý thuyết chuỗi

Nội dung text: Lý thuyết và bài tập Giải tích 2 - Chương: Lý thuyết chuỗi

1. Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com - Nếu chuỗi un hội tụ suy ra vn hội tụ. n 1 n 1 - Nếu chuỗi phân kỳ suy ra phân kỳ. Định lý 2(Quy tắc tương đương): Cho hai chuỗi số dương và và thỏa mãn u limn k 0. Khi đó hai chuỗi và cùng hội tụ và phân kỳ. n vn 1 Chú ý: Chuỗi Riman hội tụ khi α > 1và phân kỳ khi .  1 n 1 n u Định lý 3(Quy tắc Đalambe): Cho chuỗi số dương có lim n 1 r . n un - Nếu r 1 thì chuỗi hội tụ. - Nếu r 1 thì chuỗi phân kỳ. - Nếu r 1 thì chưa có kết luận về sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi . n Quy tắc côsi: Cho chuỗi số dương và thỏa mãn điều kiện lim urn . n - Nếu thì chuỗi hội tụ. - Nếu thì chuỗi phân kỳ. - Nếu thì chưa có kết luận về sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi . 3. Chuỗi số bất kỳ. 3.1. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ. *)Định lý 1: Nếu chuỗi  un hội tụ thì chuỗi tổng hội tụ. n 1 *) Điều kiện cần và đủ để một chuỗi số hội tụ. hội tụ khi và chỉ khi: *  0, n0 : m , n 0 ; SSnm  . *) Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ: Chuỗi số được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi hội tụ. Page 2 BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
2. Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com a n n 1 n Cho chuỗi lũy thừa axn. và lim l (hoặc lim aln ) thì bán kính hội tụ của nó  n n n 0 an 1 l khi0 l được xác định: 0 khi l . khi l 0 Tính chất của chuỗi lũy thừa. n . Định lý 1: Chuỗi lũy thừa axn. hội tụ đều trên a;; b  R R . n 1 . Định lý 2: Tổng S(x) của chuỗi lũy thừa là hàm số liên tục trên RR; . ' n n' n 1 . Định lý 3: an ; x  a n x  n a n x  x R R . n 0 n 0 n 0 bb . Định lý 4: a. xnn dx a . x d x  x R ; R . nn aa nn 00 Phương pháp tính tổng của một chuỗi: 1 . xnn 1 x x2 x  x 1;1 (*) . n 0 1 x x . xnn x x23 x x  x 1;1 ( ) . n 1 1 x ' ' n 1 n' n x 1 . n. x  x  x 2  x 1;1 . n 1 n 1 n 1 1 x 1 x n 1 x x x x nn 1 .   x dx  x d x d x  x 1;1 . n 0nx 11 n 0 0 0 n 0 0 Page 4 BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
3. Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com sin n Theo quy tắc so sánh hội tụ. Suy ra hội tụ.  un  2 n 1 n 1 n 1 5. Áp dụng quy tắc Lepnit (Chuỗi đan dấu) n 1 1 Bài 5: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:  . n 1 n n 1 1 1 1 1 - Ta có:  1 Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu. n 1 n 2 3 4 11 - a ; a a a suy ra dãy a  là dãy giảm. nnn n 11 1 n n n 1 Mà liman lim 0 nn n Suy ra chuỗi đã cho hội tụ theoc tiêu chuẩn Lepnit. 6. Áp dụng phương pháp của chuỗi hàm. n n x Bài 6: Xét sự hộ tụ của chuỗi :  1. (1) n 1 21n Trường hợp 1: Nếu x 0 . 2 n x xn x Ta có: Sxn 1 . . Suy ra SSnn 0 0 lim 0 0 3 5 2n 1 n Với thì chuỗi (1) hội tụ. Trường hợp 2: Nếu x 0 , ta có: n 1 n 1 uxn 1 1 .x 2 n 1 2 n 1 2 n 1 lim lim . lim 1 x . lim . x x n n n n n n uxn 2n 3 1 x 2 n 3 2 n 3 - xx 1 1 1 1;1 là khoảng hội tụ của chuỗi (1). nn 11 1 - Với x 1 suy ra chuỗi (1)  là chuỗi số phân kỳ vì nó tương nn 112nn 1 2 1 1 đương với  . n 1 n nn 1 1n 1 - Với x 1 suy ra chuỗi (1)  là chuỗi số đan dấu vì nn 112nn 1 2 1 n 11 1 1 aann 1 và liman lim 0 suy ra chuỗi hội tụ theo quy nn  2nn 1 2 3 21n n 1 21n tắc Lepnit. Vậy miền hội tụ chuỗi (1) là: 1;1. x43n Bài 7: Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi:  (2) n 1 43n Page 6 BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
4. Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xét sự hội tụ của các chuỗi số: 1 1 11 a.  b. (1 cos ) c.  sin n 1 nn( 1) n 1 n n 1 n n 23nn 3n (n !)2 1 e. f. 2n sin d.  n   n 1 42 n n 1 (2n )! n 1 n! nn( 1) n 2 112 7 (n !) g. (1 )n n 1 i.  n h.  2n n 1 5 n  n n 1 n 1 n 1 112 k. l. j. n  n (1 ) n 1 2 n Bài 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số có dấu bất kỳ sau: 2 n n n n 1 n n 34n c. ( 1) a. ( 1) n b. ( 1)  2 2  n 1 25n n 1 n 1 21n cosn cosn2 cosn d. e. f.  2  n  2 n 1 n n 1 2 n 1 nn 1 Bài 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau: (x 2)n xn (x 4)n a.  2 b.  nn c.  n 1 n n 1 23 n 1 n n 1 n 2n ( 1) (x 5) n n 1 2n d. n  x f. 2 n  n.2 e.   (x 2)  n .4 n 1 n 1 21n n 1 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ÁP DỤNG PHẦN CHUỖI SỐ Bài 1: 1 a. uv~ nên chuỗi phân kỳ. nnn 1 b. uvnn~ 2 nên chuỗi hội tụ. 2n 1 1 1 c. uvnn~  3 nên chuỗi hội tụ. n n n 2 n 33n d. uvnn~ n nên chuỗi hội tụ. 44 u 3 e. Dùng tiêu chuẩn D’Alembert n 1 nên chuỗi hội tụ. un 4 Page 8 BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com
5. Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com Bán kính hội tụ là R = 2 Miền hội tụ của chuỗi là: -7≤ x ≤ -3 Hết Page 10 BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com