Tài liệu ôn tập Giải tích 2: Chương: Tích phân loại 3

Nội dung text: Tài liệu ôn tập Giải tích 2: Chương: Tích phân loại 3

1. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN 1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II PHƯƠNG PHÁP ◊ Tích phân kép có dạng : ∬ ( , ) được tính trên miền phẳng D. ◊ Các bước thực hiện 1. Chúng ta sẽ sẽ xác định cận của tích phân ứng với miền D của đề bài. 2. Chọn hệ tọa đồ phù hợp để bài toán được giải quyết gọn nhẹ. 3. Áp dụng định lý Fubini: tính lần lượt cận tích phân theo thứ tự tới hoặc ngược lại. BÀI TẬP Bài 1: Chúng ta sẽ ôn lại cách xác định cận tích phân. Tính tích phân = ∬ trên miền D giới hạn bởi : = 1 + √ , = 1 − , = 3 Lời giải : Đầu tiên chúng ta sẽ xác định cận tích phân : - Với đường cong = 1 + √ : thông thường ta sẽ để phương trình đường có dạng = ( ) ℎ표ặ = ( ) đồng thời biến đổi để phương trình đường mất căn để tính toán và tìm cận dễ dàng hơn . Bình phương 2 vế ta có : ≥ 1 = 1 + { √ = ( − 1)2 - Chúng ta sẽ nháp các đường parabola và đường thẳng giới hạn của miền D : Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 2
2. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ - Đầu tiên chúng ta cũng sẽ xác định cận tích phân, nhưng đối với miền được giới hạn bởi đường tròn hoặc elip nếu tìm cận như bài 1 sẽ không tìm được phương trình nào thỏa = ( ) ℎ표ặ = ( ) và đồng thời mất căn nên tính toán sẽ không dễ dàng. Đối với những miền giới hạn này ta sẽ chuyển qua hệ tọa độ cực để thuận tiện tính toán. - Đặt : = 표푠휑 { = 푠𝑖푛휑 - Với là khoảng từ tâm tới 1 điểm bất kỳ nằm trên hình tròn. 휑 được xác định như hình. - Sau khi chuyển tọa độ cực ta suy ra D là miền :{0 ≤ ≤ √2 0 ≤ 휑 ≤ = 표푠휑 - Thay { = 푠𝑖푛휑 và nhân thêm định thức Jacobian ta có : √2 √2 = ∫ ∫ 2(cos2 휑 − sin2 휑) 풓 휑 = ∫ 3 ∫ 표푠2휑 휑 0 0 0 0 Bài 3: Tọa độ cực dạng khi hình tròn có tâm không là góc tọa độ. 1 Tính tích phân kép: = ∬ trên miền D giới hạn bởi : √ 2+ 2 2 ≤ 2 + 2 ≤ 6 { ≥ Lời giải : - Ta vẫn sẽ đặt : Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 4
3. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Bài 5: Tọa độ cực của elip : 2 2 Tính tích phân = ∬ trên elip + = 1. 2 2 Lời giải : - Đối với phương trình elip: Chúng ta sẽ đặt khác một chút so với đường tròn. = 표푠휑 { = 푠𝑖푛휑 Định thức JACOBIAN: J = . 0 ≤ ≤ 1 Cận : { 0 ≤ 휑 ≤ 2 Vậy 1 2 = ∫ ∫ 푠𝑖푛휑 풓 휑 0 0 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 6
4. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ - Cách xác định chiều của biên : Đi theo chiều lấy tích phân nếu miền D nằm bên TRÁI thì C là biên DƯƠNG. Ví dụ C là biên của miền D là hình tròn 2 + 2 = 2 lấy ngược chiều kim đồng hồ. Chúng ta thấy khi đi ngược chiều kim đồng hồ phần phía trong đường biên nằm bên TRÁI nên đây là biên dương. Tính tích phân = ∫( − 2) + (2 + 2) với C là biên của miền 2 + 2 ≤ 4 D: { 0 ≤ lấy theo cùng chiều kim đồng hồ. + − 2 ≤ 0 Xác định chiều của biên : Ta có miền D : Miền D nằm bên phải khi đi theo chiều kim đồng hồ. Nên C theo chiều âm. 푄 = 2 + 2 , 푃 = − 2 Suy ra : = − ∬(2 + 2 ) − ( − 2 ) = ∬ − − 4 − 2 = 표푠휑 0 ≤ ≤ 2 Đặt { Ta có D : {3 = 푠𝑖푛휑 ≤ 휑 ≤ 4 Do đó 2 = ∫ ∫ (−2 − 표푠휑 − 4 푠𝑖푛휑) 휑 ≈ −4,38. 3 0 4 Chú ý: Nếu C không là 1 đường cong kín ta vẫn có thể sử dụng định lý Green bằng cách “mượn” thêm đường 1 hợp với C để tạo thành đường cong kín và sau đó trừ 1 ra. Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 8
5. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Tính tích phân : = ∫( 3 + 2 2) + 8 + ( 3 + 2 ) 푣ớ𝑖 là đường cong giao 2 + 2 = tuyến của { lấy NGƯỢC chiều kim đồng hồ. = 2 Theo quy tắc bàn tay phải ta có 푛 hướng lên. 1 Chọn mặt S: = 2 nằm trong paraboloid eliptic 2 + 2 = có 푛 = (0, −2,1). √5 (8 − 4 ) −2 = ∬ [ + (3 2 − 2) + (3 2 − 3 2). 0] 푆 푆 √5 √5 = ∬ [(8 . 2 − 4 ) − 2(2.4 2)] = ∬ −4 = 0 2+ 2≤2 2+ 2≤2 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 10