Tài liệu ôn tập Giải tích 2: Chương: Tích phân mặt

Nội dung text: Tài liệu ôn tập Giải tích 2: Chương: Tích phân mặt

1. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN 1 DIỆN TÍCH MẶT Cho mặt f (x,y,z) = 0. Biến đổi = ( , ). Diện tích : 2 ′ 2 ′ 푆 = ∬ √1 + ( ) + ( ) Với là hình chiếu của z xuống Oxy. Đây là tích phân kép nên việc tính toán không qúa khó khăn Ví dụ : Tính diện tích x2 + y2 + z2 =4 nằm trong mặt trụ x2 + y2 = 2y Lời giải : Vì mặt cầu nằm trong mặt trụ có thể chia thành 2 phần có diện tích bằng nhau z = f(x,y) = ±√4 − 2 − 2 2 2 2 2 Ta chỉ cần xét z = √4 − − với Dxy: x +y ≤ 2y 푆 = 2 ∬ √1 + ( ′ )2 + ( ′ )2 − 2 − 2 = ∬ √1 + ( ) + ( ) √4 − 2 − 2 √4 − 2 − 2 2 sin 휑 2 = ∫ [ ∫ ] 휑 = 8 − 16 √4 − 2 0 0 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 2
2. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN 3 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2  Lưu ý: Xác định hướng của mặt cho chính xác  Các cách tính: + Chuyển về mặt loại 1 + Tách thành 3 tích phân mạch loại 2: I1, I2, I3 rồi cộng lại. + Áp dụng Gauss Ostragreitxki → Tác giả khuyên dùng cách 1 và cách 3 (nên bỏ qua cách 2)  Cách 1: Chuyển về mặt loại 1 Vector gradient ∇퐹= (F’x , F’y , F’z) ∇퐹 Vector pháp tuyến của mặt S: 푛⃗ s = + = (cos훼, cos훽, cos훾) |∇퐹| với |∇퐹| là độ dài vector = √(퐹′ )2 + (퐹′ )2 + (퐹′ )2 và dấu của vector pháp tuyến phụ thuộc vào hướng của S . Hướng của mặt S thường đề thi cho theo 2 cách: o Hướng theo chiều dương Ox, hướng theo chiều âm Ox. + Nếu hướng theo chiều dương Ox ta phải có dấu của 푛⃗ s sao cho thành phần đầu tiên của 푛⃗ s dương. + Nếu hướng theo chiều âm Ox ta phải có dấu của 푛⃗ s sao cho thành phần đầu tiên của 푛⃗ s phải âm. o Cho S là mặt trong hay mặt ngoài của một vật S kín (hoặc nửa mặt kín) + Nếu xét mặt cầu, S hướng vào thì đối với nửa mặt trên thì 푛⃗ s hướng xuống→thành phần thứ 3 âm. + Đối với nửa mặt trên thì 푛⃗ s hướng lên theo trục Oz →thành phần thứ 3 của 푛⃗ s dương . Cách tính: I = 푃 + 푄 + 푅 = (푃 표푠훼 + 푄 표푠훽 + 푅 표푠훾) 푆 ∬푆 ∬푆 trong đó cos훼, cos훽, 표푠훾 là 3 thành phần của 푛⃗ s vừa tìm ở trên. Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 4
3. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ: Tính I= + + với S là mặt ngoài của nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 ∬푆 = 9 z > 0 Lời giải : Đầu tiên ta nhận thấy S chưa kín Chọn S1 là mặt z = 0 hướng xuống dưới (Để cùng hướng ra ngoài khi hợp với S) 2 + 2 + 2 ≤ 9 S S1 là mặt bên ngoài của  { ≥ 0 훺 1 4 3 I = ∭ 3 = 3VΩ = 3. (nửa quả cầu bán kính 3) =3. . π.3 = 54π 2 2 3 Từ đó ta tính tích phân mặt loại 1 như đã nói ở phần trước Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 6