Tổng hợp các bài toán Tích phân và phương pháp giải hay

Nội dung text: Tổng hợp các bài toán Tích phân và phương pháp giải hay

1. Khi đó có Q = . Biến đổi: Bài toán qui về tính tích phân dạng I.1 và I.2 (iii). Q vô nghiệm. Khi đó Q = (k là hằng số). Biến đổi: trong đó Q’ là đạo hàm của Q. Bài toán qui về tính tích phân dạng I.3 và I.4 Trường hợp 2. Q là đa thức có bậc lớn hơn 2 Việc tính tích phân của phân thức R/Q với Q là đa thức có bậc lớn hơn 2 trong trường hợp tổng quát vượt quá kiến thức PT. Thường ta chỉ xét các trường hợp đặc biệt, chẵng hạn Q có thể phân tích thành nhân tử là các nhị thức bậc nhất hay tam thức bậc hai vô nghiệm. Từ đó ta có thể biến đổi phân thức R/Q thành các phân thức đơn giản hơn, có mẫu là nhị thức, tam thức nói trên; và bài toán như thế cũng qui về tính tích phân có dạng I.1-4 . Một số trường hợp khác đổi biến thích hợp giúp ta đưa tích phân về dạng quen thuộc dđơn giản hơn. Cuối cùng cũng lưu { là bằng cách đổi biến, nhiều tích phân của hàm lượng giác, tích phân của hàm vô tỉ cũng đưa được về các dang tích phân trên. (ví dụ bài 1c của Kummer cho trên). Nhưng ta sẽ trở lại vấn đề này sau. Các bạn hãy thử làm các bài tập sau để nắm rõ hơn phần lí thuyết nghe còn trừu tượng trên. Bài tập: Tính các tích phân: A = B = với a > 0 C = D =
2. J = K = 2.Tích phân hàm lượng giác Các dạng thường gặp J.1 = . J.2 = . J.3 = J.4 = Trên là 4 nguyên hàm lượng giác cơ bản đã học (có trong Bảng các nguyên hàm SGK). Từ các nguyên hàm cơ bản này ta dễ dàng tính được , Các nguyên hàm sau cũng khá thường gặp, hơn nữa cách tính chúng rất điển hình cho cách tính tích phân các hàm lượng giác, nên cần nắm vững: J.5 = J.6 = J.7 = J.8 = J.9 =
3. là 1. Biến đổi đưa về tích phân cơ bản Ví dụ ở I.6, I.7, I.9. Ta xét thêm vài thí dụ: J.12 J.13 J.14 J.15 Giải phương trinh f(t) = = 0 2. Đổi biến đưa về tích phân cơ bản Ví dụ ở J.5, J.8, J.10. Sau đây là một số ví dụ khác: J.16 = J.17 = J.18 = J.19 = 3. Phương pháp tích phân từng phần ví dụ với J.11. Một số ví dụ khác:
4. Tổng quát: nguyên hàm dạng có thể hửu tỉ hóa bằng cách đặt t = tg(x/2). Tuy nhiên khi tính tích phân của f(x) trên đoạn [a;b] phải chú { t = tg(x/2) có được xác định trên đoạn ấy? nếu không, phải tìm cách đổi biến khác. J.17: Gọi M = mẫu thức, M’ = đạo hàm của M. Biến đổi: f(x) = Tổng quát: : tính tương tự J.18: f(x) = Tổng quát: với ta làm tương tự để biến đổi, đưa về tính hai tích phân cơ bản: f(x) = = Tương tự với f(x) = 1/cos(x+a)cos(x+b), 1/sin(x+a)cos(x+b) Với : biến đổi mẫu có dạng tổng thành tích, đưa về dạng trên. J.19: mẫu = sin(x+pi/6), được dạng tích phân cơ bản. Tổng quát: . Cách khác: đặt t = tg(x/2) đưa về tích phân hữu tỉ.
5. D9 = D10 = 3.Tích phân hàm vô tỉ đổi biến Trong nhiều trường hợp để tính tích phân ta chỉ cần đơn giản đặt t = . Nhớ đổi biến thì cũng phải đổi cận lấy tích phân. Ví dụ 1: I = (Khối A-2003) Đặt t = , ta đưa về tính tích phân hửu tỉ đơn giản Ví dụ 2: I = (Khối A-2004) Đặt t = đưa về tính tíchphân hửu tỉ Ví dụ 3: I = (Khối B-2004) Đặt t = , được
6. Trở lại ví dụ 7 trên đây: Ta còn có thể giải: đặt u = , dv = dx; bài toán qui về tính tích phân dạng K4 Ngoài ra, thường thì ta cũng phải biến đổi chút ít mới đưa về các dạng quen thuộc Ví dụ 9: Ví dụ 10: Hướng dẫn giải các ví dụ vd4: Dạng K1, đặt x = sint (ví dụ1 SGK trg131) vd5: Dạng K2, đặt x = 2sint (bài tập 3.26-e SBT) vd6: Dạng K4, đặt t = x + . (bài tập 3.26-d SBT) vd7: Dạng K3, đặt x = tgt, đưa về Đây là tích phân lượng giác quen thuộc (xem phần tích phân luọng giác) Cách khác: đặt t = x + . Vd8: Với tích phân dạng có cách giải rất đặc trưng là đặt x = |a|/sint. Tuy nhiên có thể làm cách khác, như với ví dụ này: đặt t = 1/x đưa về tích phân dạng K2, hoặc đơn giản hơn, đặt t = đưa về tích phân hửu tỉ quen thuộc. Vd9: Nhân lượng liên hiệp để khử căn ở mẫu,ta có ngay hai tích phân cơ bản Vd10: Tương tự, nhân lương liên hiệp để khử căn ở mẫu, được . Với tích phân thứ hai đặt t = . Sau đây là một số bài tập tính tích phân hàm vô tỉ trích từ một số đề thi TS ĐH&CĐ mấy năm gần đây
7. 2. Dạng 1: Tính tích phân bất định: Phương pháp chung: Sử dụng đồng nhất thức: Ta được: = = Khi do: Đến đây ta xét 4 khả năng của c. Khả năng 1: c=1 Khả năng 2: c=2 Khả năng 3: c=3 Khả năng 4: ta cã: I = Một số bài tập áp dụng: Tính các tích phân bất định sau: 1. 2. Dạng 2: Tính tích phân bất định Phương pháp chung: Ta xét 3 trường hợp của n: Trường hợp 1: n=1 ta xét ba khả năng của = Khả năng 1: nếu >0 Khi đó:
8. • Chẳng hạn tôi lâý 1 Vd : thì chúng ta gìải quyết thế nào ? • • lần sau noí thêm vấn đề naz và noí phần gơí hạn tương tự như vâỵ (Ngaymaituoisang) với m>n nếu Q(x) có dạng: với thì có thể phân tích R(x) thành tổng các phân thức tối giản: Các hệ số được tìm bằng phương pháp hệ số bất định.