10 Đề Ôn tập cuối kỳ Giải tích 2 (có lời giải)

Nội dung text: 10 Đề Ôn tập cuối kỳ Giải tích 2 (có lời giải)

1. - 2 - 3 ( 1)n x= 2 =>  hội tụ tuyệt đối 5 n (2n 1) n 2 3 3 vậy miền hội tụ: 2 x 2 5 5 2 Câu 5: Tính tích phân kép I y x dxdy , trong đó D là miền phẳng giới D hạn bởi 1 x 1,0 y 2 . y f(x)=0 f(x)=2 x(t)=-1 , y(t)=t 2 x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x^2 f(x)=1 1.5 1 0.5 x -1 -0.5 0.5 1 Bài giải: Chia D thành 2 phần: 2 D1 là phần y x (phía trên Pparrabol) 2 D2 là phần y x (phía dưới Parabol) 2 1 2 1 x 5 I y x2 dxdy x2 ydxdy dx y x2 dy dx x2 ydy 2 3 2 D1 D2 1 x 1 0 Ta có thể làm giảm nhẹ bài toán bằng cách nhận xét D đối xứng qua oy và hàm f(x,y) chẵn theo biến x nên I bằng 2 lần tích phân trên nửa bên phải của miền D rồi làm tương tự. Câu 6: Tính tích phân bội ba I y z dxdydz , trong đó V là vật thể được giới V hạn bởi z x2 y2 , x2 y2 4, z 2 x2 y2 . Bài giải:: D : x2 y2 4
2. - 4 - Cách 2 và 3 nhanh và hay hơn cách 1 Các em tự làm 2 cách sau nhé (dể thôi đừng lo) ĐỀ 12 ' 2 2 Câu 1: Tính fx (1,1) của hàm f (x, y) 2 4 x y và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này như là hệ số góc của tiếp tuyến Bài giải: fx (1,1) 2 2 1 f ' (1,1) x 2 Mặt phẳng y=1 cắt f (x, y) tạo thành đồ thị C1 1 Tiếp tuyến của C1 tại điểm M(1,1, 2 2 ) có hệ số góc là: f ' (1,1) x 2 Câu 2: Tìm gtln, gtnn của f (x, y) x3 y3 3xy trên miền 0 x 2, 1 y 2 Bài giải: 2 f 'x (x, y) 3x 3y =0 2 f 'y (x, y) 3y 3x =0  x=y=1 khi x=0 => f (y) y3 , y [ 1,2] max 8,min 1; khi x=2 => f (y) y3 6y 8, y [ 1,2] max 13,min 4 khi y=-1 => f (x) x3 1 3x ; f '(x) 3x2 3 vô nghiệm khi y=2 => f (x) x3 8 6x, x (0,2) ; f '(x) 3x2 6 => x 2 f 2,2 8 4 2 Max f=13 đạt tại (2,-1), min f =-1 đạt tại (0,-1) ( 1)n Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số:  n n 1 n 1
3. - 6 - Câu 6: Tính tích phân bội ba I xdxdydz , trong đó V là vật thể được giới hạn V bởi x y2 z2 0, x2 y2 z2 2 . Bài giải: y r cos 0 2 Đổi sang toạ độ trụ z r sin V 0 r 1 x x 2 2 2 r z r 2 2 1 r 7 I d dr rxdx 12 0 0 2 r2 3 3 3 Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I x dydz y dxdz z dxdy với S là mặt phía S ngoài của vật thể giới hạn bởi x2 z2 y2 ,0 y 1. Bài giải: Áp dụng công thức O-G: I x3dydz y3dxdz z3dxdy 3 (x2 y2 z2 )dxdydz S V z r cos 0 2 Đổi sang toạ độ trụ: x r sin V 0 r 1 y y r y 1 2 1 1 2 1 4 1 9 3 d rdr (r 2 y2 )d y 3 d (r 2 r3 )rdr 0 0 r 0 0 3 3 10 Các em có thể đổi sang toạ độ cầu để tính tích phân. ĐỀ 13 ' 2 2 Câu 1: . Tính f y (0,1) của hàm f (x, y) 3 2x y và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này như là hệ số góc của tiếp tuyến. Tương tự câu 1 đề 12. Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất z (x y)exy trên miền 2 x y 1. Bài giải
4. - 8 - n 1 n n 1 n 1 n n 1 Có: un 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 Vì  1 hội tụ theo tiêu chuẩn leinitz và  phân kỳ do đó chuỗi phân kỳ. n 2 n 1 n 2 n 1 2x 3 Câu 4: Tìm chuỗi Taylor của f (x) , tại x 1 và tìm miền hội tụ của chuỗi x2 5x 6 0 này. 2x 3 9 7 Bài giải f (x) x2 5x 6 x 3 x 2 Đăt u=x-1 9 7 9 7 9 7 f (x) u u u 2 u 1 2( 1) u 1 2( 1) u 1 2 2 n n 9 u n 9 x 1 n  7u  7 x 1 2 n 0 2 n 0 2 n 0 2 n 0 9 n 7 x 1  n 1 n 0 2 Câu 5: Tính tích phân kép I xy dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D 1 x2 y2 4. Bài giải Vì hàm trong dấu tích phân là hàm chẵn theo x,y và miền D đối xứng qua 2 trục ox,oy nên ta chỉ cần tính tích phân trên góc phần 4 thứ I rồi gấp 4 lần lên. 2 2 15 I xy dxdy 4 d r3cos sin dr D 0 1 2 2 Câu 6: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x2 y2 2xy, z x y, z 0 (x 0) .
5. - 10 - Câu 7: Tính tích phân mặt loại một I 2xds với S là phần mặt phẳng x y z 2 S nằm trong hình cầu x2 y2 z2 4 . Bài giải Vì có tính đối xứng nên 2 2 4 I 2xds 2yds 2zds = (x y z)ds 2ds = S S S S 3 S 3 S 3 Hình cầu có tâm I(0,0,0) 0 0 0 2 2 d (I , ) 3 3 2 8 S (22 ( )2 ) 3 3 32 Vậy I 9 ĐỀ 14 Câu 1: Vẽ khối  giới hạn bởi y 4 x2 , y 1 x2 , z 0, z 2x . Các em tự vẽ. Câu 2: Một cái hộp (hình hộp chữ nhật, không có nắp phía trên) được làm từ 12m2 bìa carton. Tìm thể tích lớn nhất của cái hộp này Bài giải Gọi x là chiều rộng, y là chiều dài, z là chiều cao (m). Ta có: 2xz+2yz+xy=12 V=xyz x, y, z 0 Ta cần tìm MaxV: Cách 1: Xét hàm L x, y, z xyz  2xz 2yz xy ' Lx yz  2z y 0 ' x 2z  1/ 2 Ly xz  2z x 0 y 2z x y 2 L' xy  2x 2y 0 x 2xz 2yz xy 12 z 1 2xz 2yz xy 12 Hàm có 1 Điểm dừng P(2,2,1). Tính các đạo hàm riêng cấp 2 tại P ta có: d 2 L P dxdy 2dxdz 2dydz Lấy vi phân 2 vế của 2xz+2yz+xy=12 tại P suy ra: dx+dy+2dz=0
6. - 12 - x x dt (2n 1)!! t 4n 5 (2n 1)!! x4n 5 f (x) [t ] x 4  n 1  n 1 0 1 t n 0 2 (n 1)! 4n 5 0 n 0 2 (n 1)! 4n 5 (2n 1)!! x4n f x x x5  n 1 n 0 2 (n 1)! 4n 5 a 2n 3 4n 5 lim n 1 lim 1 n n an 2 n 2 4n 9 1 R 1 Tại x=±1 (2n 1)!! 1 (2n 1)!! 1 f 1 1 1  n 1  n 0 2 (n 1)! 4n 5 n 0 (2n 2)!! 4n 5 (2n 1)!! 1 Dùng quy nạp ta Chứng minh được: (dể thôi đừng lo) (2n 2)!! n Lúc này: (2n 1)!! 1 1 1 ,n N * (2n 2)!! 4n 5 n 4n 5 1 1 1 : n 4n 5 3 4n 2 Do đó chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn so sánh Vậy: miền hội tụ là: [-1,1] 2 2 x y 2 2 Câu 5: Tính tích phân y dxdy với D là miền E 1, C x y 1. D 16 9 Bài giải Ta có: I | y | dxdy | y | dxdy | y | dxdy D E C Vì E và C đối xứng qua Ox,Oy và hàm dưới dấu tích chẵn theo 2 biến x,y nên:
7. - 14 - u 3x y2 Đặt xy v e f f (3x y2 ,exy ) f (u,v) . f 3 f ' yexy f ' x u v 2  f xy '' xy ' xy '' xy '' 6yf ''uu 3xe . fuv xy 1 e fv ye . 2yfuv xe fvv xy xy ' 2 xy '' 2xy '' xy 1 e fv 6yf ''uu 3x 2y e . fuv xye fvv Câu 2: Tìm điểm M trên hình nón z2 x2 y2 , sao cho MA là nhỏ nhất, với A(4,2,0). Bài giải Cách 1: Gọi M(a,b,c) MA= (a 4)2 (b 2)2 c2 (a 4)2 (b 2)2 a2 b2 MA2 (a 4)2 (b 2)2 a2 b2 2(a2 b2 ) 8a 4b 20 f (a,b) f ' 4a 8 0 a a=2,b=1 f 'b 4b 4 0 f '' 4, f '' 0 a ab => f đạt cực tiểu tại (2,1) do đó đạt min tại (2,1) f ''b 4 Vậy M 2,1, 5 Cách 2: Gọi M(x,y,z) Pháp véc tơ mặt ngoài S: n=(x,y,-z) (vì A nằm phía ngoài mặt nón) MA ngắn nhất khi MA,n cùng hướng: 4 x 2 y z x 2 z 5 x y z y 1 Làm như thế đúng hay sai? Suy nghĩ tí nhé. 2n 3 Câu 3 Tính tổng  n n 1 5 Bài giải x5 Ta có x2n 3 , x 1,1  2  n 1 1 x Lấy đạo hàm 2 vế:
8. - 16 - x y x y Xét sin x sin y 2cos sin 2 2 x y sin 0 y x 2 D1 : sin x sin y x y x y cos 0 2 Em xét tương tự trên các miền còn lại: D2 , D4 :sinx sin y D1, D3 :sin x sin y I sin ydxdy sin ydxdy sin xdxdy sin ydxdy 8 D D1 D3 D2 D4 2 2 2 Câu 6: Tính tích phân đường I Ñ 2y z dx 2z x dy 2x y dz , với C là C giao của mặt phẳng x y z 1 và mặt cầu x2 y2 z2 4 ngược chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz. Bài giải Chọn S là mặt trên của phần mp x y z 1 nằm trong mặt cầu x2 y2 z2 4 Áp dụng công thức Stoke: 2 2 2 I Ñ 2y z dx 2z x dy 2x y dz C (2y 2)dydz (2z 2)dxdz (2x 2)dxdy S 1 1 1 Pháp véc tơ đơn vị của S: n( , , ) 3 3 3 2 2 4 I (x y z 3)dS (1 3)dS dS 3 S 3 S 3 S 1 11 S r2 (R2 d 2 ) (4 ) (I , ) 3 3 44 I 3 3 2 2 2 Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I zdxdy với S là nửa mặt cầu x y z 9 , S phần y 0 , phía ngoài (phía trên theo hướng trục Oy). Bài giải Cách 1: y 0 D : 2 2 x y 9 2 2 2 2 I zdxdy 9 x y dxdy 9 x y dxdy (chú ý pháp vecto mặt S D D ngoài nhé)
9. - 18 - 8 V ''bb P V ''bb 4c 3 8 2 V ''cc 6b V ''cc P 6 6 2 0 3 V '' 6 4b 6c bc V ''bc P 2 Suy ra d2f(P) xác định âm nên P là điểm cực đại duy nhất do đó V lớn nhất đạt tại P: MaxV=V(P)=4/3 Bài này dùng bất đẳng thức cosi nhanh hơn nhưng không liên quan đến bài học. ( 2)n Câu 3: . Tính tổng  n 1 n 1 n(n 2)7 Bài giải ( 2)n 1 1 1 ( 2)n 14 S S  n 1  n 1 2 n 1 n(n 2)7 14 n 1 n n 2 7 Xét: xn 1 f x  f ' x  xn 1 n 1 n n 1 1 x f x ln 1 x c ln 1 x (vì f(0)=0) Ta lại có: n 2 2 7 f S ln  n 1 7 n 1 n7 9 n n n 2 2 2 2 2 2 12 2 f  n  n  n 2 7 n 1 n7 7 49 n 3 n7 49 m 1 n 2 7 n 12 4 2 12 4 S  n 2 49 49 m 1 n 2 7 49 49 1 7 S2 49ln 12 4 9 45 7 Vậy S 14 S1 S2 14 ln 3 4 9 Câu 4: Tìm chuỗi lũy thừa của hàm f (x) ln x 1 x2 và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này Bài giải
10. - 20 - Trên E (z=0): dz=0 0 E Áp dụng O-G: I 3 x2 y2 dxdydz S SE V Dùng toạ độ cầu mở rộng: 0  x 4 sin cos 2 y 1 sin sin V 0 2 z 3 cos 0 1 2 2 1 I 3 d d 16 2 sin2  cos2 2 sin2  sin2 12 2 sind 0 0 0 3 16 2 sin2  cos2 2 sin2  sin2 12 2 sindxdydz V 408 5 ĐỀ 17 f f Câu 1: Cho f (x, y) y ln 3 3 x2 y . Tìm (0,0), (0,0) . x y Bài giải f x,0 f 0,0 ln 3 ln 3 f lim lim 0 (0,0) 0 x 0 x x 0 x x f 0, y f 0,0 y ln 3 ln 3 f lim lim 1 (0,0) 1 y 0 y y 0 y y
11. - 22 - Bài giải Câu này đạo hàm được nhưng rất khó và sau khi lấy tích phân vẫn không tính tổng lai được. Có phương pháp sau không phải là khai triển maclaurint, ý tương hay nhưng vẫn không giải quyết bài này được, các em tham khảo nhé: x x xe x n nx n n 1 x x x xe  1 e  1 xe e 1 1 e n 0 n 0 n xdx n n 1 x 1 x  1 xe dx  2 0 e 1 n 0 0 n 0 n 1 Tới đây ta lại gặp vấn đề về tính tổng. Bài này Thầy nghĩ không tính được. Câu 5: 2 2 Tính tích phân sign x y 2 dxdy với D 0 x 3,0 y 3 . 0 Bài giải y f(x)=0 f(x)=3 3.5 x(t)=0 , y(t)=t A x(t)=3 , y(t)=t 3 f(x)=sqrt(x^2+2) Series 1 2.5 D2 2 1.5 1 D1 0.5 x -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -0.5 2 2 2 2 D1 : x y 2 0 sign(x y 2) 1 Trên 2 2 2 2 D1 : x y 2 0 sign(x y 2) 1 1dxdy 1 dxdy dt(D ) dt D dt(D) 2dt(D ) 1 2 2 D D1 D2
12. - 24 - ĐỀ 18 x2 y2 xy , (x, y) (0,0) Câu 1: Cho f (x, y) x2 y2 . Tìm 0, (x, y) (0,0) 2 f 2 f 2 f 2 f (0,0), (0,0), (0,0), (0,0) . x2 y2 yx xy Bài giải 2 2 2 3 y(x y ) 4x y ' f (x,0) f (0,0) f 'x , fx 0,0 lim 0 x2 y2 (x2 y2 )2 x 0 x 2  f f 'x (x,0) f 'x (x,0) (0,0) lim 0 x2 x 0 x 2 f f ' (0, y) f ' (0,0) (0,0) lim x x 1 yx y 0 y 2 2 2 3 x(x y ) 4y x ' f (0, y) f (0,0) f 'y , f y 0,0 lim 0 x2 y2 (x2 y2 )2 y 0 y ' 2 f f ' (0, y) f 0,0 (0,0) lim y y 0 y2 y 0 y 2  f f 'y (x,0) f 'y (0,0) (0,0) lim 1 xy x 0 x Câu 2: . Tìm cực trị của hàm f (x, y) 4x 6y với điều kiện x2 y2 13 . Bài giải Xét: h(x, y) 4x 6y (x2 y2 13) h'x 4 2 x 0 1 1 h'y 6 2 y 0 P1 x 2  P2 x 2 h''x 2 ,h''y 2 ,h''xy 0 2 2 y 3 y 3 x y 13 2 2 2 d h P1 2dx 2dy 0 2 2 2 d h P2 2dx 2dy 0 Vậy f đạt cực đại P2 và cực tiểu tại P1. ( 2)n Câu 3: . Tính tổng S  n n 1 3 135(2n 1)
13. - 26 - 1 r S dxdy d dr D 0 3 3 3 3 3 xy 2 xy Câu 6: Tính tích phân I x ye dx y xe dy , trong đó C là phần elip C x2 y2 1 từ 16 9 Bài giải P Q Ta có: 1 xy exy do đó tích phân không phụ thuộc vào đường đi: y x 0 3 3 2 I x dx y dy 64 9 73 C AO OB 4 0 3 Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I (x 1) dydz 3ydzdx 5zdxdy , với S là mặt S ngoài của nửa dưới mặt cầu x2 y2 z2 2x, z 0 . Bài giải Gọi S’ là mặt trên của hình tròn x2 y2 2x trong mp Oxy I S SS ' S ' Trên S’(z=0): dz=0 0 S ' Áp Dụng O-G trên khối V gh bởi S và S’: I 3 x 1 2 8 dxdydz S SS ' V 2 2 2 2 I [3(x 1) 3 5)]dxdydz với V là nữa dưới mặt cầu x y z 2x, z 0 V 2 1 2 2 2 2 d d sin 3 sin cos 8 d 0 0 2 2 8 3 3 2 86 d sin sin cos d 0 3 5 15 2
14. - 28 - x ln(1 3t) Câu 4:Tìm chuỗi Maclaurint của f (x) dt và tìm bán kính hội tụ của chuỗi 0 t này. Bài giải Ta có: n 1 n (3t)  ( 1) n 1 ln(1 3t) n 0 n 1 n 3 n  ( 1) x t t n 0 n 1 n 1 n 3 n 1 f (x)  ( 1) 2 x n 0 (n 1) R=1/3 theo tiêu chuẩn Cauchy 1 n 1 f ( )  ( 1) 2 hội tụ tuyệt đối 3 n 0 (n 1) 1 1 Vậy bán kính hội tụ là x 3 3 Câu 5: Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2x x2 y2 6x, y x 3, y x 0 . Bài giải y x(t)=1+cos(t) , y(t)=sin(t) x(t)=3+3cos(t) , y(t)=3sin(t) 3 f(x)=-x f(x)=x*sqrt(3) 2 1 x 1 2 3 D 4 5 6 -1 -2 -3 x r cos Đổi sang toạ độ cực: D 4 3 y r sin 2cos r 6cos 3 6cos 28 S D d rdr 2 3 4 3 2cos 4 2 Câu 6: Tính tích phân đường I y dl , C là cung Cycloid C x a(t sin t), y a(1 cost),0 t 2 . Bài giải
15. - 30 - ĐỀ 20 Câu 1: Tìm vi phân cấp hai của hàm z z(x, y) là hàm ẩn xác định từ phương trình x y z ez . Bài giải Cách 1: x y z ez x y z ez 0 1 1 z' x 1 ez ez 1 1 z' y ez 1 z ' z ' e .zx e zxx z 2 z 3 e 1 e 1 z z '' e 2 e 2 zyy 3 d z 3 dx dy ez 1 ez 1 z ' e zy 3 ez 1 Cách 2: dx dy dx dy dz ezdz dz ez 1 d(dx dy dz) d(ezdz) z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 2 e dz e dx dy e 2 d z e dz e d z d z z z z 3 dx dy 1 e 1 e e 1 ez 1 Các em cần hiểu rõ vi phân, Chú ý giữa hàm và biến mới làm được cách 2. Câu 2: . Tìm cực trị của hàm f (x, y, z) x 2y 3z với hai điều kiện x y z 1 và x2 y2 1. Bài giải Xét: L x, y, z x 2y 3z  x y z  x2 y2
16. - 32 - Câu 5: Tính tích phân kép I (x y)dxdy , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi D đường astroid x a cos3 t, y asin3 t,0 t / 2 , và các trục tọa độ Bài giải Đổi biến: x ar cos3 a cos3 3a cos2 sin J 3 3 2 y ar sin asin 3asin cos 3 3a2 sin2 cos2 a2 sin2 2 4 2 1 3 2 2 3 3 I d ra sin 2 ar cos ar sin dr 0 0 4 2 1 3 2 3 3 a sin 2 cos sin d 0 2 0 Câu 6: Tính tích phân đường loại một I (x y)dl , C là cung bên phải của đường C Lemniscate có phương trình trong tọa độ cực r2 a2 cos 2 , a 0 . Bài giải y r(t)=2sqrt(cos(2t)) 0.8 0.6 0.4 0.2 x -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 4 I r cos sin r 2 r '2 d 4 Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I yzdydz zxdxdz xydxdy , với S là biên của vật S thể giới hạn bởi x y z 1, x 0, y 0, z 0 , định hướng phía trong. Bài giải Mặt S kín nên ta dùng O-G suy ra tích phân bằng không.