20 Đề ôn tập cuối kỳ Giải tích 2 (có đáp án)

Nội dung text: 20 Đề ôn tập cuối kỳ Giải tích 2 (có đáp án)

1. Câu 8 . Tính tích phân m ặt lo ại hai I=∫∫ xdydz3 + ydxdz 3 + zdxdy 3 , v ới S là biên v ật th ể gi ới h ạn b ởi S xyz222++≤4, z ≥ xy 22 + , phía trong. Đề luy ện t ập s ố 3. x Câu 1. Cho hàm fxy(,)= (2 x + y )ln . Tính d2 f (1,1) y 3 9 Câu 2. Tìm c ực tr ị c ủa hàm s ố z = xy + + v ới x > 0, y > 0 x y ∞ 147⋅ ⋅⋯ (3n − 2) Câu 3. Kh ảo sát s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ n=1 (2n − 1)!! ∞ n!( x − 4) n Câu 4. Tìm bán kính h ội t ụ c ủa chu ỗi lu ỹ th ừa ∑ n n=1 n Câu 5. Tính tích phân kép I=∫∫ ( x + 2) dxdy , trong đó D là mi ền ph ẳng gi ới h ạn D x2 y 2 bởi + ≤1, y ≥ 0 9 4 Câu 6. Tính tích phân I=∫ (2 xydx +) ++( 3 x 2 ydy) , trong đó C là biên c ủa mi ền ph ẳng gi ới C hạn b ởi y=−2 xy2 , =− x , chi ều kim đồ ng h ồ. Câu 7. Tìm di ện tích ph ần m ặt z= x2 + y 2 nằm trong hình cầu x2+ y 2 + z 2 = 2 z . Câu 8 . Tính I= ∫∫ 2 xdS , v ới S là ph ần m ặt tr ụ x2+ y 2 = 4 nằm gi ữa hai m ặt ph ẳng z=1, z = 4 . S Đề luy ện t ập s ố 4. Câu 1. Cho hàm fxy(,)= 4 y2 + sin( 2 xy − ) . Tính d2 f (0,0) Câu 2. Tìm c ực tr ị c ủa hàm zxy=3 +12 x 2 − 8 y . ∞ 2⋅ 5 ⋅ 8⋯ (3n − 1) Câu 3. Kh ảo sát s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ n=1159⋅ ⋅⋯ (4n − 3) ∞ (− 1)n (x + 1) n Câu 4. Tìm bán kính h ội t ụ c ủa chu ỗi lu ỹ th ừa ∑ 3n n=1 2 (n+ 1)ln( n + 1) Câu 5. Tính tích phân ∫∫ x 2 + y 2 .ln( x 2 + y )2 dxdy v ới D là mi ền 1 ≤ x 2+y 2 ≤ e2 D Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-ye y. Tìm hàm h(y) th ảo mãn điều ki ện: h(1)=1 và bi ểu th ức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn ph ần c ủa hàm u(x,y) nào đó. V ới h(y) v ừa tìm, tính tích phân ∫[h(y)P(x, y)dx + h(y)Q(x, y)dy ] trong đó L là đường cong có ph ươ ng trình: 4x 2+9y 2=36, chi ều L ng ược k ịm đồ ng h ồ t ừ điểm A(3,0) đế n B(0,2). Câu 7. Tìm di ện tích ph ần m ặt z+ x2 + y 2 = 2 nằm trong hình paraboloid z= x2 + y 2 . Câu 8 . Tính I=∫∫ xdydz2 + ydxdz 2 + zdxdy 2 , v ới S là n ửa d ưới m ặt c ầu x2+ yz 2 + 2 = 2 z , phía trên. S Đề luy ện t ập s ố 5. 2
2. Câu 2. Tìm c ực tr ị có điều ki ện: fxy(,)14=−− xyx 8; 2 − 8 y 2 = 8 . ∞ 2n n ! Câu 3. Kh ảo sát s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố ∑ n n=1 n ∞ (n + 2)(x +1)n Câu 4. Tìm mi ền h ội t ụ c ủa chu ỗi l ũy th ừa ∑ n+2 6 n=0 5 . n +1 dxdy Câu 5. Tính tích phân v ới D là mi ền ph ẳng h ữu h ạn gi ới h ạn b ởi các đường x 2+y 2= ∫∫ 2 2 0 3 + x + y 1(x, y ≥ 0), x 2+y 2=33 (x, y ≥ 0 ), y=x, y = x 3 . Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2ye xy + e αx cosy, Q(x,y)= 2xe xy - e αx siny trong đó α là h ằng s ố. Tìm α để bi ểu th ức Pdx + Qdy là vi phân toàn ph ần c ủa hàm u(x,y) nào đó. V ới α v ừa tìm được, tính tích phân đường ∫[( x, y) − y 3 ]dx + [Q(x, y) + x 3 ]dy trong đó ( γ ) là đường tròn x 2+y 2 = 2x l ấy theo chi ều d ươ ng γ (ng ược chi ều kim đồ ng h ồ). Câu 7. Tính tích phân m ặt lo ại m ột I= ∫∫ xdS2 , v ới S là n ửa trên m ặt x2+ y 2 + z 2 = 4 S Câu 8 . Dùng công th ức Stokes, tính I=∫ (3 xydx −2 ) +− (3 yzdy 2 ) +− (3 zxdz 2 ) , v ới C là giao c ủa C z= x2 + y 2 và z=2 − 2 y , chi ều kim đồ ng h ồ theo h ướng d ươ ng tr ục 0z. Đề luy ện t ập s ố 8. ' ' 3+ 2 + = Câu 1. Tìm zx, z y c ủa hàm ẩn z = z(x,y) xác đị nh t ừ phươ ng trình x y yzln z Câu 2. Tìm gtln, gtnn của fxy(,)= x2 + y 2 + xy 2 + 4 trên mi ền D={( xy , )| | x | ≤ 1,| y | ≤ 1} ∞ n(n− )1 ∞ 2  2n  9.4.1 n + Câu 3. Kh ảo sát s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố a/ b/ 5. n 2 ∑  +  ∑ − n=2 2n 1 n=1 5.3.1 ( 2n )1 n! ∞ (− 1)n (x − 2) n Câu 4. Tìm mi ền h ội t ụ chu ỗi l ũy th ừa ∑ n+13 4 2 n=1 3 n+ n + 1 Câu 5. Tính tích phân kép ∫∫ 9− x 2 − y 2 dxdy v ới D là mi ền ph ẳng h ữu h ạn gi ới h ạn b ởi n ữa đường D tròn x 2 + y 2 = 9, y≥ 0 và các đường th ẳng y = x, y = -x − Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e -y, Qxy( , )= (1 − xye − ) y . Tìm hàm h(x) để biểu th ức h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn ph ần c ủa hàm u(x,y) nào đó. V ới h(x) v ừa tìm, tính tích phân ∫[h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy ] trong đó L là n ữa đường tròn x 2 + y 2 = 9 n ằm bên ph ải tr ục L tung, chi ều đi t ừ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3). Câu 7. Tính I= ∫∫∫ 2 zdxdydz , v ới V gi ới h ạn b ởi x2+ yz 2 + 2 ≤ 2 z và z+ x2 + y 2 = 1. V Câu 8 . Tính tích phân m ặt I=+∫∫ (2) x ydydz ++( y 2 zdxdz) ++( z 2 xdxdy) , v ới S là ph ần m ặt S paraboloid z= x2 + y 2 , bị c ắt b ởi z=2 − 2 x , phía d ưới. Đề luy ện t ập s ố 9. 4
3. www.tanbachkhoa.edu.vn Biên so ạn: Ti ến s ỹ Đặ ng V ăn Vinh Th ời gian làm bài: 90 phút. Hình th ức thi: T ự lu ận. Thang điểm: câu 1: 1 điểm, các câu còn l ại: 1.5 điểm. Đề luy ện t ập số 11. Câu 1. Vẽ kh ối Ω gi ới h ạn b ởi x2+ y 2 + z 2 ≤ 2 y , y≥ x2 + z 2 . Câu 2. Trên m ặt ph ẳng x+ y −2 z = 0 tìm điểm sao cho t ổng kho ảng cách t ừ đó điểm hai m ặt ph ẳng x+3 z − 6 = 0 và y+3 z − 2 = 0 là nh ỏ nh ất. ∞ (3n − 1)! ∑ Câu 3. Kh ảo sát s ự h ội t ụ c ủa chu ỗi s ố 33 32 n=11⋅ 2 ⋅⋅⋅n ⋅ 5 ∞ (− 5)n (x + 2) 2 n Câu 4. Tìm mi ền h ội t ụ c ủa chu ỗi l ũy th ừa ∑ n n=1 3 (2n+ 1) n + 2 Câu 5. Tính tích phân kép I=∫∫ y − x2 dxdy , trong đó D là mi ền ph ẳng gi ới D hạn b ởi −≤≤1x 1,0 ≤ y ≤ 2 . Câu 6. Tính tích phân b ội ba I=∫∫∫ ( y + z) dxdydz , trong đó V là v ật th ể được giới h ạn b ởi V zxyxy=+2222, += 4, z =++ 2 xy 22 . Câu 7. Tính tích phân m ặt lo ại hai I=∫∫ (2 x + y ) dydz , v ới S là ph ần m ặt z= x2 + y 2 b ị c ắt b ởi m ặt S z = 4 , phía trên theo h ướng tr ục Oz. Đề luy ện t ập s ố 12. ' =+ −2 − 2 Câu 1. Tính fx (1,1) c ủa hàm fxy(,) 2 4 xy và bi ểu di ễn hình h ọc c ủa đạ o hàm riêng này nh ư là h ệ s ố góc c ủa ti ếp tuy ến. Câu 2. Tìm gtln, gtnn c ủa fxy(,)= x3 + y 3 − 3 xy trên mi ền 0≤x ≤ 2, −≤ 1 y ≤ 2 ∞ (− 1) n Câu 3. Kh ảo sát s ự h ội t ụ c ủa các chu ỗi s ố: ∑ n n=1 n +1 ∞ (2n+ 1)( x − 3) n Câu 4. Tìm bán kính h ội t ụ c ủa chu ỗi lu ỹ th ừa ∑ n=1 3n3+ n ⋅ ln 3 n Câu 5. Tính tích phân kép I= ∫∫ max{ x , y} dxdy , trong đó D là mi ền ph ẳng gi ới h ạn D bởi 0≤≤x 4,0 ≤≤ y 4 . Câu 6. Tính tích phân b ội ba I= ∫∫∫ xdxdydz , trong đó V là v ật th ể được giới h ạn b ởi V xyz++≤220, xyz 222 ++≤ 4 . Câu 7. Tính tích phân m ặt lo ại hai I=∫∫ xdydz3 + ydxdz 3 + zdxdy 3 v ới S là m ặt phía ngoài c ủa v ật th ể S gi ới h ạn b ởi xz2+ 2 ≤ y 2 ,0 ≤≤ y 1 . Đề luy ện t ập s ố 13. 1
4. Câu 7. Tính tích phân m ặt lo ại hai I= ∫∫ zdxdy v ới S là n ửa m ặt c ầu x2 + y2 + z 2 = 9 , ph ần y ≥ 0 , S phía ngoài (phía trên theo h ướng tr ục Oy). Đề luy ện t ập s ố 16. u ∂2 f Câu 1. Cho ffuv=(,)arctan, = uuxy = (,)2 =+= xyvvxy3 2 , (,) =+ x 2 y . Tính . v ∂x ∂ y Câu 2. Cho m ột hình h ộp ch ữ nh ật ở góc ph ần tám th ứ nh ất trong h ệ tr ục Oxyz, có 3 m ặt n ằm trên 3 mặt ph ẳng t ọa độ và m ột đỉ nh n ằm trên m ặt ph ẳng x+2 y + 3 z = 6 . Tìm th ể tích l ớn nh ất. ∞ (− 2) n ∑ Câu 3. Tính t ổng n+1 n=1 n( n + 2)7 ⋅ Câu 4. Tìm chu ỗi l ũy th ừa c ủa hàm fx( )= ln( x + 1 + x 2 ) và tìm bán kính h ội t ụ c ủa chu ỗi này. 2 2  =x + y Câu 5. Tính tích phân kép I∫∫   dxdy , trong đó D là mi ền ph ẳng gi ới h ạn b ởi D 16 9  x===0, y 0, x 4sin ty , = 3cos tt , ∈ [ 0,π / 2 ] . Câu 6. Tính tích phân đường I=∫ 3 zdx + 2 xdy + ydz , v ới C là giao c ủa m ặt ph ẳng x+ z = 2 và m ặt C cầu x2 + y 2 = 4 theo chi ều kim đồ ng h ồ theo h ướng tr ục Oz. Câu 7. Tính tích phân m ặt lo ại hai I=∫∫ xdydz3 + ydzdx 3 , v ới S là m ặt ngoài c ủa n ửa trên ellipsoid S x2 z 2 ++=y2 1, () z ≥ 0 . 16 9 Đề luy ện t ập s ố 17. ∂f ∂ f Câu 1. Cho fxy( , )= y + ln( 3 + 3 xy2 ) . Tìm (0,0), (0,0) . ∂x ∂ y Câu 2. Tìm c ực tr ị có điều ki ện: fxy(,)= exy ; x3 + y 3 = 16 . ∞ (n − 1) Câu 3. Tính t ổng ∑ n=1 246⋅ ⋅ ⋯ (2)n +∞ xdx Câu 4. Sử d ụng khai tri ển Maclaurint c ủa hàm d ưới d ấu tích phân thành chu ỗi, tính ∫ x 0 e +1 Câu 5. Tính tích phân ∫∫ sign ( x2− y 2 + 2) dxdy v ới D 0≤≤x 3,0 ≤≤ y 3 . 0 Câu 6. Tính tích phân đường I=∫ ( y2 + zdx) ++( z 2 xdy) ++( x 2 ydz) , v ới C là giao c ủa m ặt nón C y2 + z2 = x và m ặt c ầu x2 + y2 + z 2 = 4 ng ược chi ều kim đồ ng h ồ theo h ướng tr ục Ox. .Câu 7. Tính tích phân m ặt lo ại hai I=∫∫ xdydz3 + ydzdx 3 + zdxdy 3 , v ới S là m ặt trong c ủa v ật th ể S gi ới h ạn b ởi 1≤++≤xyz222 4, y ≥ xz 22 + . Đề luy ện t ập s ố 18.  x2− y 2 xy, ( x , y )≠ (0,0) ∂2f ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f = 2+ 2 Câu 1. Cho f( x , y )  x y . Tìm 2(0,0), 2 (0,0), (0,0), (0,0) .  ∂x ∂ y ∂∂yx ∂∂ xy  0, (x , y )= (0,0) Câu 2. Tìm c ực tr ị c ủa hàm fxy(,)= 4 x + 6 y với điều ki ện x2+ y 2 = 13 . 3