Bài giảng Cơ sở Kỹ thuật điện 2 - Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến - Nguyễn Việt Sơn

Nội dung text: Bài giảng Cơ sở Kỹ thuật điện 2 - Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến - Nguyễn Việt Sơn

1. Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến I. Khái niệm chung  Mạch phi tuyến được mô tả bởi những hệ phương trình vi tích phân phi tuyến trong miền thời gian. Mạch phi tuyến Luật Hệ phương trình vi tích (quy luật, tính chất) phân phi tuyến t = t0: K Thay đổi kết cấu thông số của mạch K Mạch phi tuyến mới Luật Hệ phương trình vi tích (Quy luật, tính chất mới) phân phi tuyến mới Quá trình cũ Quá trình mới t - + 0 Quá trình quá độ Quá trình mới Thời gian quá độ xác lập  Động tác đóng mở kết thúc một quá trình cũ và khởi đầu một quá trình quá độ hiện hành.  Quá trình quá độ của hệ thống nghiệm đúng hệ phương trình mới, khởi đầu từ thời điểm t = 0+. Cơ sở kỹ thuật điện 2 2
2. Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).  Nội dung: Được sử dụng để giải các bài toán quá độ của mạch phi tuyến (tính phi tuyến ít) có phương trình mô tả dạng: f(x, x’, x’’, , t) = μ.φ(x, x’, ) (*) trong đó: f(x, x’, x’’, ) là những số hạng tuyến tính. μ.φ(x, x’, ) là số hạng phi tuyến (ít đủ nhỏ so với số hạng tuyến tính).  Phương pháp:  Tìm nghiệm của phương trình tuyến tính cốt yếu: f(x, x’, x’’, , t) = 0 x0(t).  Đặt nghiệm của phương trình (*) dưới dạng các hàm hiệu chỉnh (số hàm hiệu chỉnh được đặt tùy theo độ chính xác yêu cầu): 2 x(t) = x0(t) + μ.x1(t) + μ .x2(t) +  Thay vào phương trình (*) và cân bằng theo bậc của μ để tìm các hàm hiệu chỉnh. Cơ sở kỹ thuật điện 2 4
3. Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn). Ψ(i) '  Xét phương trình tuyến tính suy biến: 2.ii00 50. 24 0 E = 24V R=50Ω  Sơ kiện: i(0) = 0; Nghiệm xác lập: i = 24/50 = 0,48(A)  Phương trình đặc trưng: 2.p + 50 = 0 p = -25 i2 I 2.(1 2. e .tt e 2. . )  Nghiệm là : i (t) = 0,48.(1 – e-25.t) (A) = I .(1 – e-α.t) (A) 00 0 0 '. t ' 2 ' i0 Io e  Xét phương trình μ bậc 1: 2. i1 50. i 1 i 0 . i 0 0 ' 3 .t 2. . t 3. . t  Thay vào ta có:2. i1 50. i 1 . I 0 .( e 2. e e ) 1 2 1  Chuyển sang miền ảnh Laplace: 2(p ). I ( p ) . I 3 .( ) 10p p 2. p 3. 3 .I0 1 2 1 Ip1(). 2 2 (p ) ( p 2. ).( p ) ( p 3. ).( p )  Tra bảng Ảnh - Gốc (dùng công thức Hevixaide): i( t ) 0,0555. (25. t 1,5). e 25.t 2. e 50. t 0,5. e 75. t 1  Vậy nghiệm của bài toán là: i( t ) 0,48.(1 e 25.t ) 0,625. (25. t 1,5). e 25. t 2. e 50. t 0,5. e 75. t Cơ sở kỹ thuật điện 2 6
4. Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn). Ví dụ 4.2: Dùng phương pháp nhiễu với 1 hàm hiệu chỉnh tính quá trình C R điện tích khi 1 tụ phi tuyến phóng điện qua 1 điện trở R. Biết sơ kiện 3 q(0) = Q và đặc tính phi tuyến của tụ uC(q) =q.1/C0 + αq (α>0) Giải: 1  Xét phương trình tuyến tính suy biến: 20qq' 00C 110  Phương trình đặc trưng: t Rp 0 p  q0 td Ae C00 RC t Sơ kiện t  Nghiệm quá độ: q0 qd q 0 xl q 0 td Ae q00 qd Q. e q(0) = Q0 Q3 Q3 1  Xét phương trình μ bậc 1: q'3  q0 e t Laplace ()()p  Q p 0 11R 1 Rp 3 3 Q3 Q0 Hevixaide 0 tt3 Qp() q1() t e e 1 R( p 3 )( p ) 2 R 33 '' t CQCQ0 0  t 0 0  t q'. q0  q 1 Q 0 e e e Cơ sở kỹ thuật điện 2 22 8
5. Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến III. Phương pháp sai phân liên tiếp  Là phương pháp gần đúng tính bằng số dùng sai phân hóa để giải bài toán vi tích phân thời gian của các hệ thống phi tuyến và tuyến tính.  Sai phân hóa là thay thế gần đúng những vi phân của biến thời gian t của ẩn x bằng những vi phân của chúng.  Phương pháp sai phân liên tiếp chuyển hệ phương trình vi phân thành hệ sai phân gần đúng và dùng phương pháp số để tìm dần từng bước nghiệm gần đúng: Δt t  Chia trục thời gian t thành những bước h = Δt. t0 = 0 ; t1 = Δt ; t2 = 2.Δt ; ; tk = k.Δt  Sai phân hóa: dx x xx dx2 x 2. x x kk 1 k 21 k k dt t h dt22 h  Sai phân hóa hệ phương trình mạch bằng những biểu thức sai phân thu được một hệ sai phân liên hệ trị xk ở các bước thời gian liên tiếp biết xk tính được giá trị xk+1 Cơ sở kỹ thuật điện 2 10
6. Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến IV. Phương pháp sai phân liên tiếp Ví dụ 4.4: Cho mạch điện, biết R1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100μF, E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3. Tính 10 giá trị đầu tiên của dòng quá độ trên tụ C (cho h = 10ms) Giải:  Biến đổi mạch: RR12 E R12 17,14  ERV12 2 22,86 RR12 RR12  Lập phương trình mạch: uRLC12 u u E 12  di112 di R12 i . idt R 12 i 1,75 8,4 i idt E 12 i dt C dt C i  Đạo hàm 2 vế của phương trình: R i' 16,8i(i')2 (1,75 8,4i2 )i'' 0 12 C 2 2 i 17,14i' 16,8i(i') (1,75 8,4i )i'' 4 0 Cơ sở kỹ thuật điện 2 10 12
7. Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến IV. Phương pháp sai phân liên tiếp Ví dụ 4.4: Cho mạch điện, biết R1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100μF, E = 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3. Tính 10 giá trị đầu tiên của dòng quá độ trên tụ C (cho h = 10ms) Giải:  Phương trình sai phân: 2 4 4 2 h ik 17,14.10 h(ik 1 ik ) 16,8.10 ik (ik 1 ik ) ik 2 2ik 1 ik 4 2 10 (1,75 8,4ik ) i0 0  Bảng kết quả: ih1 13.06 t(ms) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 i(A) 0 0,0131 0,0260 0,0387 0,0513 0,0635 0,0754 0,0869 0,0979 0,1084 Cơ sở kỹ thuật điện 2 14
8. Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến V. Phương pháp biên pha biến thiên chậm  Nội dung:  Phương pháp biên pha biến thiên chậm (phương pháp biến thiên hệ số tích phân) thường được dùng để xét bài toán mạch phi tuyến Kirhoff cấp 2 với chế độ tự dao động phi tuyến: . 2 x 0 . x . f ( x , x ) 0  Nghiệm của phương trình xét có tính dao động, nhưng do tính chất phi tuyến nên dao động rất gần với điều hòa được biểu diễn toán học bằng các hàm điều hòa có biên độ và góc pha biến thiên. xtAtc( ) ( ). os[0 t  ( t )] Bt ( ).cos  0 tCt ( )sin  0 t  Với những dao động gần với điều hòa, các cặp A(t), θ(t) hay B(t), C(t) sẽ biến thiên dA() t . dt() . chậm: At () và  () t đủ nhỏ gia tốc và lũy thừa của tốc độ rất nhỏ, có dt dt thể bỏ qua. Cơ sở kỹ thuật điện 2 16
9. Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến V. Phương pháp biên pha biến thiên chậm . 2 Ví dụ 4.5: Cho phương trình Vanderpol x x  .(1 x ). x 0 (*) . Sơ kiện x(0) = X0 và x(0) 0  Phân tích phương trình: tuyến tính phi tuyến  Xét phương trình tuyến tính: xx 0 đa thức đặc trưng p2 + 1 = 0 p = ± j Nghiệm: x0(t) = A0.cos(t + φ0) dx0/dt = -A0.sin(t + φ0) XA0 0.cos 0 Xét tại t = 0: x0(t) = X0.cos(t) 0 A00 .sin tt  Nghiệm của phương trình (*) là: xt( ) X Adt .cos t  dtAt ( ).cos ( t ) 0 00 Cơ sở kỹ thuật điện 2 18
10. CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2 Chương 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến. I. Khái niệm chung. II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn). III. Phương pháp sai phân liên tiếp. IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân). V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn. Cơ sở kỹ thuật điện 2 20
11. Chương 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến V. Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn Ví dụ 4.6: Cho mạch điện phi tuyến. Tại t = 0, khóa mở ra. Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn, tính dòng qua cuộn dây phi tuyến trong quá trình quá độ. Biết E1 = 12V (một chiều), R1 = 5Ω, R2 = 8Ω, cuộn dây phi tuyến có đặc tính cho theo bảng. Giải: Ψ(I) 0 2 3 I 0 1 3 E1  Sơ kiện: iA L ( 0) 2,4 R1  Tại thời điểm bắt đầu quá độ, điểm làm việc của cuộn dây thuộc đoạn i ϵ [1, 3] cuộn dây có giá trị tương đương cuộn dây tuyến tính: 32 LH 0,5 d I 31 R t  Khi đó dòng điện trên cuộn dây phi tuyến là: i( t ) i ( 0). eLd 2,4. e 16t LL33 Cơ sở kỹ thuật điện 2 I 22