Bài giảng Giải tích 1 - Bài 1: Giới hạn dãy số

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Bài 1: Giới hạn dãy số

1. DÃY SỐ THỰC Dãy số là tập hợp các số được đánh chỉ số từ nhỏ đến lớn trong tập hợp số tự nhiên N. 2 VD: 1/ xn = n , n = 0, 1, 2, 2/ xn = 1/n, n = 1, 2, 3/ {xn} là cấp số cộng: a, a+d, a+2d,
2. Dãy đơn điệu {xn} là dãy tăng xn xn+1, với mọi n đủ lớn {xn} là dãy giảm xn xn+1, với mọi n đủ lớn Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là tăng (giảm) ngặt. Dãy tăng và dãy giảm gọi chung là dãy đơn điệu.
3. Ví dụ 11 ax/:=1 + + + n 2 n 1 xx−= 0 tăng nn+1 n +1 11 bx/n = 1 − 1 − : 2 n x 1 n+1 =−1 giảm xnn +1
4. Dãy bị chặn {xn} là dãy bị chặn trên M : xn M,  n N0 {xn} là dãy bị chặn dưới m : xn m,  n N0 {xn} bị chặn {xn} bị chặn trên và bị chặn dưới 1 a / 2  VD: Xeùt tính bò chaën cuûa caùc daõy n b /3 n cn/1 (− )n 
5. GiỚI HẠN DÃY SỐ Định nghĩa đơn giản: {xn} có giới hạn là a khi n ra tức là xn a khi n đủ lớn Định nghĩa chặt chẽ: Dãy hội tụ =a höõu haïn : lim xn a n→  0, N00 N : xn − a ,  n N  0, N00 : a −  xn a +   n N a x x a −  x a +  x 3 2 N0 1 xn () n N0
6. Tính chất dãy hội tụ •Dãy hội tụ thì bị chận. •an 0 và an→ a thì a 0 •an → a và a < c thì an < c với n N0 a , n N a n 0 0 a -  a +  an, n N0 a c a -  a + 
7. SÖÏ HOÄI TUÏ VAØ DAÕY CON lim xn = a Mọi dãy con của xn đều → a  1 daõy con phaân kyø Dãy x  phân kỳ n  2 daõy con co ùlim nhau n VD: dãy {xn} = {(–1) } phân kỳ x2n =→11 Vì 2 daõy con x21n− = −11 → − xa2n → Hệ quả: → xn a xa21n− →
8. Dãy phân kỳ ra vô cùng Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ: Không có giới Phân kỳ ra vô hạn cùng Giới hạn = : không thể xét | xn – a | !
9. Ví dụ Chứng minh lim 2n = + n→ Với M > 0 (lớn) tùy ý, n 2 M n log2 M Chọn N0 > log2M + 1, ta có : n n N02 n log M 2 M
10. GIÔÙI HAÏN CÔ BAÛN 0 lim n = ln p n 1/. Luõy thöøa: n→ 5 / lim = 0,  0 n→ n 0 limn = 0 n→ n limn = 0, a 1 aa 1 lim n = n→ a 2/. Haøm muõ: n→ n −1 aa 1 lim = 0 an n→ lim= 0, a 0 n→ n! 3 / limn n = 1, n→ ln pnn n a 4 / limn aa= 1,  0 n→
11. 7 DẠNG VÔ ĐỊNH • Đối với 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia: 0 − ,0 , , 0 bn • Đối với dạng mũ (an ) 1 ,000 ,
12. Tổng cấp số nhân 11− qn+1 q 1 lim( 1+q + q2 + + qn ) = lim = nn→ → 11−−qq uq1− n+1 q 1 n 0 ( ) u0 lim(u0+ u 0 q + + u 0 q ) = lim = nn→ → 11−−qq
13. nn22+−1 5 / limnn2 +− 1 = lim ( ) 2 n→ n→ nn++1 1 1 1 1 =lim = lim = 0. = 0 nn→ n22+1 + n → n 1 + n− + 1 2 6 / limn n2 +− 1 n n→ ( ) 7 / limnn2 +− 1 2 n→ ( )
14. TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS Dãy tăng & bị chặn trên thì hội tụ, Dãy giảm & bị chặn dưới thì hội tụ
15. TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS 2/ Chứng minh tồn tại và tìm giới hạn dãy số: x xx=3, =n + 1 01n+ 2 • Dùng quy nạp chứng minh xn > 2 (bị chặn dưới) xn 2 Gs xk > 2, x = +1 + 1 = 2 k+1 22 x • Đơn điệu: xx− n 1− xn nn+1 = +1 − xn = 0 2 2 {xn} giảm và bị chận dưới nên hội tụ
16. SOÁ e Chứng minh tồn tại giới hạn sau : n 1 e =+lim 1 n→ n 1 n • Tính đơn điệu: xn =+ 1 n sử dụng bđt Cauchy cho 1 và n số (1+1/n) 11n nn+1 n+1 11 11+ + 11 + + nn+1 nn +1 Vậy {xn} tăng.
17. PHAÙ DAÏNG VOÂ ÑÒNH 1 n a a ae: lim 1 + = . n→ n n 11 VD :1/ lim 1−= n→ ne 23n− n + 2 2 / lim Daïng 1. n→ n + 4 23n− n+4 21n+4 2 lim 1− = e−2 = Bieán ñoåi 4 n→ n + 4 e