Bài giảng Giải tích 1 - Bài 14: Tích phân suy rộng (Phần 2)

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Bài 14: Tích phân suy rộng (Phần 2)

1. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 Điểm kỳ dị: Cho f(x) xác định trên [a, b] \ {x0}. Nếu limfx ( ) = xx→ 0 ta nói x0 là điểm kỳ dị của f trên [a, b] b Tích phân suy rộng loại 2 là f() x dx a với f có ít nhất 1 điểm kỳ dị trên [a, b]
2. Nếu f kỳ dị tại a và b b c b fxdx()()()=+ fxdx fxdx a a c Nếu f kỳ dị tại x0 (a, b) b x b f()()() x dx=+0 f x dx f x dx a a x0 (vế trái hội tụ các tp vế phải đều hội tụ)
3. Ví dụ 1 dx x 1 = = arcsin 0 0 1− x2 2 1ln x dx kỳ dị tại x = 0 0 x 1 1 ln2 x = lnx . d( ln x) = = − 0 2 0 Vậy tp trên phân kỳ.
4. Ví dụ −1/4 dx I = f kỳ dị tại x = −1/2. −1/2 xx21+ t2 =2 x + 1 2 tdt = 2 dx 1/ 2 tdt 1/ 2 dt I = = 2 0 t 2 −1 0 t 2 −1 t 2 1/ 2 1/ 2 11 t −−1 2 1 =−dt ==ln ln 0 tt−+11 t +1 0 21+
5. TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho f(x), g(x) như tiêu chuẩn so sánh 1 fx() Đặt k = lim (giới hạn tại điểm kỳ dị) xb→ − gx() bb Cùng hội tụ • 0 k f(),() x dx g x dx aa hoặc phân kỳ b b • k = 0 g() x dx hội tụ f() x dx hội tụ a a b b • k = g() x dx phân kỳ f() x dx phân kỳ a a
6. Sự hội tụ tuyệt đối (hàm có dấu tùy ý) b Cho f(x) khả tích trên [a, b - ],   0, nếu f a b b hội tụ thì f hội tụ. Khi đó ta nói f a a hội tụ tuyệt đối. • Sự hội tụ tuyệt đối là sự hội tụ của tích phân |f| • Hội tụ tuyệt đối hội tụ
7. 1 Chọn gx()= (x − 0)1/2 f() x x x + = ⎯⎯⎯→x→0 1 g( x ) sin x 11dx I cùng bản chất với g() x dx = 0 0 (x − 0)1/2 nên hội tụ.
8. Xét I1: f kỳ dị tại x = 0 11 f( x )= , khi x → 0+ sinx cos x x 1 Chọn gx()= x f() x x + = ⎯⎯⎯→x→0 1 gx() sinxx cos 3 nên hội tụ. I1 cùng bản chất với g() x dx 0
9. 1 Chọn gx()= 1 − x 2 − fx() − x x→ =2 ⎯⎯⎯→2 1 gx() sinxx cos 2 nên pkỳ I2 cùng bản chất với g() x dx /3 I1 hội tụ, I2 phân kỳ I hội tụ
10. Ví dụ 3/2 + (xx+1) Khảo sát sự hội tụ I= dx 0 ex −1 f kỳ dị tại x = 0, tách I thành 2 tích phân: 3/2 3/2 1(x++11) x+ ( x) x I=+ dx dx 01eexx−−11 I2 I1 (do x = 0 quyết định) (do x = + quyết định)