Bài giảng Giải tích 2 - Chương 2: Tích phân bội - Phần 3: Ứng dụng hình học của tích phân kép

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương 2: Tích phân bội - Phần 3: Ứng dụng hình học của tích phân kép

1. NỘI DUNG • Tính diện tích miền phẳng • Tính thể tích vật thể trong R3 • Tính diện tích mặt cong
2. Ví dụ 1/ Tính diện tích miền D giới hạn bởi: y== x2, y x yx= 2 S() D= dxdy D yx= 1 x 1 = dx dy = 3 0 x2
3. xy22+=1 r =1 r =1 222 3 x+= y x cos = = 3 2 6 − 66 D : 2 1 r cos 3 2 cos 6 3 3 S() D= d rdr =− − 1 6 18 6
4. BÀI TOÁN THỂ TÍCH Xét vật thể hình trụ  được giới hạn trên bởi mặt cong z = f2(x, y), mặt dưới là z = f1(x, y), bao xung quanh là mặt trụ có đường sinh // Oz và đường chuẩn là biên của miền D đóng và bị chận trong Oxy. V()(,)(,) =  fxy21 − fxydxdy D Khi đó, hình chiếu của  lên Oxy là D.
5. Cách xác định hàm tính tích phân và hình chiếu D B2: Xác định miền tính tp D Gs hàm tính tp là z = f(x,y), D là hình chiếu của  lên mp Oxy và được xác định từ các yếu tố sau: 1.Điều kiện xác định của hàm tính tp 2.Các pt không chứa z giới hạn miền . 3.Hình chiếu giao tuyến của z = f1(x,y) và z = f2(x,y) (có thể không sử dụng)
6. f1 > f2 D1 D2 f2 > f1 Sử dụng để xác định dấu của f2 – f1
7. V( ) = [(1 − x ) − 0] dxdy D 11 =− dy(1 x ) dx 0 y 2 11 4 =dy(1 − x ) dx = 15 0 y 2
8. V( ) = [ x − 0] dxdz D 11−x = dx xdz 00 1 4 =x1/2 − x 3/2 dx = ( ) 15 0
9. V( ) = [(1 − z ) − y2 ] dydz D 11−y 2 4 =dy(1 − z − y2 ) dz = 15 00
10. xz+=1 yx=
11. xz+=1 yx=
12. 2/ Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi: z=4 − x2 − y 2 , z = 0, x 2 + y 2 2 z xuất hiện 2 lần nên hàm lấy tp là: 22 z=4 − x − y , z = 0 D= hc Oxy •Các pt không chứa z: xy22+=2 2 2 •Hc hiếu giao tuyến: 04= −xy22 − Hình chiếu giao tuyến không sử dụng
13. z=4 − x22 − y xy22+=2 z = 0
14. 22 22 xy+ V( ) = (4 − x − y ) − 1 + dxdy 2 D 1 =6 − 3x22 − 3 y dxdy 2 ( ) D 22 3 =d (2 − r2 ) rdr = 3 2 00
15. 4/ Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi: z=2 x22 + y + 1, x + y = 1 và các mặt tọa độ. Các mặt tọa độ bao gồm: x = 0, y = 0, z = 0 Hàm tp: z=2 x22 + y + 1, z = 0 D= hc : x+ y =1, x = 0, y = 0 Oxy (Không có gt của 2 mặt cong tính tp) V( ) = ( 1 + 2 x22 + y) dxdy D
16. 5/ Tính thể tích của vật thể cho bởi: x2+ y 2 + z 2 4, x 2 + y 2 2 y , z 0 Hàm tp : z=4 − x22 − y , z = 0 D= hc : x2+ y 2 4, x 2 + y 2 2 y Oxy 2 V( ) = 4 − x22 − y dxdy D sử dụng tính đối xứng của D: 2 2sin V( ) = 2 d 4 − r2 rdr 00
17. TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CONG Mặt cong S có phương trình: z = f(x, y), D= hc S Oxy Diện tích của S tính bởi công thức 22 S= 1 + ( fxy ) + ( f ) dxdy D
18. VÍ DỤ 1/ Tính diện tích của z=4 − x22 − y bị chắn trong mặt trụ x22+= y2 y Pt mặt cong: 2 D= hc : D Oxy x2+ y 2 4, x 2 + y 2 2 y −−xy zz xy==, 44−x2 − y 2 − x 2 − y 2
19. z=4 − x22 − y x22+= y2 y
20. 22 S= 1 + ( fxy ) + ( f ) dxdy D =+ 1 x2 dxdy D 22 2 2 2x = dx1 + x2 dy = 13 x2 02x z = 2
21. 3/ Tính diện tích của phần mặt nón: z=+ x22 y bị chắn bởi mặt cầu: x2+ y 2 + z 2 = 2 D= hc : xy22+=1 Oxy 22 S= 1 + ( fxy ) + ( f ) dxdy = 2dxdy D D ==2SD ( ) 2 (S(D) là diện tích hình tròn có R = 1)
22. 4/ Tính diện tích của phần mặt cầu: x2+ y 2 + z 2 = 4 bị chắn bởi các mặt: x= z, z = 3 x , x 0 Phần mặt cầu gồm 2 nửa S1 và S2: 22 y1,2 = 4 − x − z Hình chiếu của S1 và S2 lên Oxz giống nhau và xác định bởi: 22 4−xz − 0, D : S = S1 + S2 z= x, z = 3 x , x 0
23. 22 S12= S = 1 + (yyx )+ (z ) dxdz D 2dxdz 22 = y=4 − x − z 22 D 4 − xz− 42 2rdr = d = 2 12 604 − r SSS= + = 126