Tài liệu Ôn tập Giải tích 1: Phương trình vi phân

Nội dung text: Tài liệu Ôn tập Giải tích 1: Phương trình vi phân

1. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Muốn làm được dạng này trước tiên ta phải nắm vững và thuần thục các thao tác khi tích phân bất định. Phương trình vi phân cấp 1 có thể chia thành các dạng chính như sau : DẠNG 1 : TÁCH BIẾN ( ) = ( ) Nghiệm là: ∫ ( ) = ∫ ( ) Dạng này ta thấy cách làm ngay từ cái tên của nó, tức là đưa về mỗi vế của phương trình chỉ có một biến. Gợi ý làm bài: dạng này đề thi thường không có, ví chúng khá đơn giản, đề thi sẽ xuất hiện phương trình vi phân cấp một dạng khó hơn một chút và ta sẽ đưa về dạng tách biến để giải, vì vậy chúng ta cần nắm rõ cách làm dạng này, khi chúng xuất hiện trong bài toán sẽ có hai hình thức: 1. Phương trình sẽ có dx, dy(dễ nhìn hơn) 2. Phương trình có y’ thì ta sẽ viết lại ′ = Thêm một lưu ý nhỏ để dễ nhận biết dạng này tức là ta chuyển về dạng ( ) ′ = ( ) Hoặc ( ) ′ = ( ) Về bản chất 2 dạng trên là giống nhau thông qua vài biến đổi đơn giản như sau Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 2
2. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Bình luận: Thật ra trong bài toán trên ta có thể đặt u=x-2y cũng có thể giải ra nhưng vì (x- 2y-1) nằm trong một cái bình phương nên ta ưu tiện đặt u như cách trên cho đơn giản hơn Kinh nghiệm giải: Ở dạng tách biến này khá đơn giản chỉ lưu ý bài Ví dụ 1.4 như trên, nghĩa là nếu hai vế thấy xuất hiện một hàm ( , ) (thường là bậc nhất theo x,y) bên còn lại là một hàm có thể biểu diễn theo ( , ) thì ta sẽ đặt = ( , ), thật vậy trong ví dụ trên ta chọn ( , ) = − 2 + 1 DẠNG 2 : ĐẲNG CẤP ′ = ( ) Cách giải, đặt = Khi đó phương trình trở thành về dạng tách biến: = ( ) − Dạng tách biến này thường xuất hiện dưới 2 hình thức chính 1. (Dễ nhận ra) Khi bạn dùng tay che ′ đi trong phương trình, thì trong phương trình còn lại là một hàm đa thức hai biến ( , ), trong đó tổng bậc của x,y là một hằng số, ví dụ ′ = 2 − + 2 Sau khi che tay ta thu được ( ℎ푒 푡 ) = 2 − + 2 Chúng ta thấy rằng đây là một đa thức 2 biến x,y trong đó tổng bậc của x,y trong mỗi số hạng là 2. Nghĩa là ta có thể nhận dạng được dạng đẳng cấp này Sau đó ta sẽ đưa về dạng ( , ) ′ = ( , ) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 4
3. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 1.7 : Giải ptvp 2 ′ = 3 + 3 Giải : Nghiệm phương trình là = 3√3(푙푛| | + ) Ví dụ 1.8 : (cách giải cho dạng đẳng cấp 2.2) Giải ptvp 2 − ′ = 3 − 4 + 5 Ở đây tác giả chỉ trình bày cách giải, vì đã sắp tới ngày thi rồi :)), không còn quan trọng bản chất nữa, chỉ cần biết cách làm là ok :v Giải : Phần làm nháp 2 − = 0 = 1 Đầu tiên ta giải hệ phương trình sau:{ → { 3 − 4 + 5 = 0 = 2 Trình bày đi thi Đặt X=x-1, Y=y-2 suy ra 푌′ = ′, nên phương trình được viết lại thành 2 2 − 푌 − 1 푌′ = = 푌 = ( ) 3 − 4푌 3 푌 푌 − 4 Đã trở lại dạng đẳng cấp 2.1, bạn đọc tự giải tiếp Tóm tắt cách giải như sau ( , ) ′ = ( , ) Ta giải hệ phương trình bậc nhất(do đã quy ước trong dạng này là bậc nhất) ( , ) = 0 { ( , ) = 0 = Hệ có nghiệm là { = Ta đặt X=x-a, Y=y-b suy ra 푌′ = rồi đưa về dạng đẳng cấp 2.1 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 6
4. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Đạo hàm P theo biến y ta có ′ 2 푃 = 6 Tương tự ′ 2 푄 = 6 Vậy ta có thể xét với ptvp toàn phần 푈( , ) = ∫ 7 + ∫ 2 3 = 7 + 3 2 0 0 Vậy nghiệm là 7 + 3 2 = Sau đây là vài ví dụ để bạn đọc tiếp tục nghiên cứu về bài toán này Ví dụ 1.11 : 2 + 푒 ). ′ = − 1 + 푒 2 − ). ′ = − 2 2 + Gợi ý câu b. Viết về dạng 1 (1 − ) + ( 2 + ) = 0 2 DẠNG 4 : TUYẾN TÍNH ′ + ( ) = 푞( ) Quy tắc chung ℎ( ) = 푒∫ ( ) Suy ra nghiệm 1 ( ) = (∫ ( )푞( ) + ) ℎ( ) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 8
5. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ 2 Ví dụ 1.13 : Giải phương trình vi phân : ′ + 2 = 푒 3 Giải : 2 ′ Đặt = −2 suy ra ′ = − 3 Thay vào phương trình ta được ′ 2 − + 2 = 푒 2 Tới đây ta đã trở về dạng tuyến tính Bình luận : Trong lúc đi thi thì chắc chắn không có ai nói rằng ta phải làm bài toán bằng cách này hay bằng cách khác, do vậy làm sao ta biết được bài này phải giải bằng dạng nào??? Tác giả xin được gợi ý cho bạn vài cách để có thể “xoay sở” trong phòng thi với các bài toán này 1) Dựa vào kinh nghiệm : thường kinh nghiệm có 2 dạng Dạng 1: Làm bài tập nhiều đến nổi chỉ cần nhìn vào là có thể nhận ngay ra dạng bài đó Dạng 2: Học hỏi kinh nghiệm từ các anh chị, các bạn có kinh nghiệm, ví dụ như tác giả đưa ra một vài lưu ý trong bài cũng là một chút gì đó gọi là kinh nghiệm bản thân 2) Liệt kê : Có thể bạn chưa có kinh nghiệm hoặc đã tích lũy được kinh nghiệm nhưng do không khí thi cử làm cho bạn căng thẳng và không nghĩ ra được gì, đừng lo hãy làm theo những chỉ dẫn dưới đây. o Hít thở thật sâu o Uống một ngụm nước(đừng để đổ nước vào làm nhé :v, tạch đấy :v) o Hãy liệt kê tất cả những gì bạn đã được học về phần đó Ví dụ như bạn đang giải phương trình vi phân cấp 1: bạn viết ra 5 dạng của nó: tách biến, đẳng cấp, toàn phần, tuyến tính và bernulli -Thứ nhất nó giúp cho bạn giữ bình tĩnh -Thứ hai nó giúp bạn nhìn được dạng bài mà mình đang làm -Nếu giả sử bạn vẫn không nhìn ra dạng, hãy thử từng dạng một với bài toán đang xét(với điều kiện là còn thời gian, tốt nhất nên cân nhắc thời gian để làm các bài trong khả năng trước) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 10
6. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ 1 − 1 → ln | | = ln| | + 3 + 2 1 Vậy : − 1 = 3 + 2 DẠNG 8 : ĐỔI BIẾN 1 Ta có thể sử dụng đẳng thức ′ = nhằm biến đổi phương trình của đề bài thành phương ′ trình vi phân tuyến tính cấp 1. Ví dụ 1.16 : Giải phương trình : 2 ′ = 2 표푠 + 4푠𝑖푛2 Giải : Ta nhận xét: Xem = ( ) ta có phương trình thành : 2 표푠 + 4푠𝑖푛2 ′ = 2 표푠 4푠𝑖푛2 → ′ − = (∗) 2 2 Phương trình (*) là phương trình vi phân Bernoulli. Kết quả: 2 = 푒푠푖푛 − 8(1 + 푠𝑖푛 ) DẠNG 8 : DẠNG KHUYẾT Ví dụ 1.17 : Giải phương trình = ln( ′ + 1) Giải : Đặt ′ = 푡 푡 → = ln(푡 + 1) → = 푡 + 1 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 12
7. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 Kiến thức cần nhớ:xem slide bài giảng, hoặc sách giải tích 1 để chi tiết hơn Phương pháp giải : o Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất : ′′ + ′ + 푞 = 0 Giải nghiệm phương trình đặc trưng: 2 + + 푞 = 0(*) (*) có 2 nghiệm phân biệt 1, 2, nghiệm thuần nhất là 1 2 0 = 1푒 + 2푒 (*) có 2 nghiệm kép 1 = 2 = , nghiệm thuần nhất là 0 = 1푒 + 2 푒 (*) có nghiệm phức = 훼 ± 훽𝑖 훼 0 = 푒 ( 1cos (훽 ) + 2sin (훽 ) Nghiệm của phương trình vi phần cấp 2 không thuần nhất = 0 + (trong đó là nghiệm riêng của phương trình vi phân đó o Phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất – Dạng 1 : ′′ + ′ + 푞 = 푃( )푒훼 (1) 푠 훼 = 푄( )푒 Trong đó s là số nghiệm trùng của 훼 với phương trình đặc trưng (*) Q(x) là một đa thức tổng quát có cùng bậc với P(x) Trong dạng này, chủ yếu ta giải các hệ số của Q(x) bằng cách thế lại vào phương trình (1) nghĩa là Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 14
8. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Lưu ý : Các vị dụ sau, tác giả sẽ không trình bày phần tìm nghiệm thuần nhất nữa, nhưng khi đi thi các bạn vẫn phải trình bày đầy đủ để được 10 điểm giải tích 1 nhé Ví dụ 2.3 : (không thuần nhất-dạng 1) ′′ + 4 ′ + 4 = (2 + 1)푒−2 Giải : Nghiệm thuần nhất của phương trình là: −2 −2 0 = 1푒 + 2 푒 Ta có 푃( ) = 2 + 1 nên Q(x) cũng là đa thức bậc 1 có dạng 푄( ) = + , 훼 = −2, cũng là nghiệm kép (nghĩa là trùng với 2 nghiệm) của phương trình đặc trưng nên → 푠 = 2 Vậy ta có nghiệm riêng của phương trình là: 푠 훼 2 −2 = 푄( )푒 = ( + )푒 3 2 2 −2 ′ = (−2 − 2 + 3 + 2 )푒 3 2 2 −2 ′′ = (4 + 4 − 12 − 8 + 6 + 2 )푒 Thay vào phương trình đã cho ta có ′′ ′ −2 + 4 + 4 = (2 + 1)푒 Từ đó ta có: (−8 + 6 + 2 ) + 4.2 + 0 = 2 + 1 Đồng nhất hệ số 2 vế ta được −8 + 6 + 8 = 2 → { 2 = 1 1 = → { 3 1 = 2 Vậy nghiệm 1 1 = 푒−2 + 푒−2 + 2( + )푒−2 1 2 3 2 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 16
9. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ta có 푃( ) = 2 2 + 3 nên Q(x) cũng là đa thức bậc 2 có dạng 푄( ) = 2 + + , 훼 = −2, không là nghiệm (nghĩa là trùng với 0 nghiệm) của phương trình đặc trưng nên → 푠 = 0 Vậy ta có nghiệm riêng của phương trình là: 푠 훼 0 2 −2 = 푄( )푒 = ( + + )푒 2 −2 ′ = (−2 + 2 − 2 + − 2 )푒 2 −2 ′′ = (4 − 8 + 4 + 2 − 4 + 4 )푒 Thay vào phương trình đã cho ta có ′′ 2 −2 + 4 = (2 + 3)푒 Đồng nhất hệ số 2 vế ta được 1 = 8 = 2 4 1 → { −8 + 8 = 0 → = 4 2 − 4 + 8 = 3 7 = { 16 Vậy nghiệm 1 1 7 = cos(2 ) + sin(2 ) + ( 2 + + )푒−2 1 2 4 4 16 Lưu ý: Nguyên lý chồng chất nghiệm: Nếu 1và 2lần lượt là nghiệm riêng của phương trình ′′ ′ + + = 1( ) ′′ ′ + + = 2( ) Khi đó nghiệm riêng của phương trình ′′ ′ + + = 1( ) + 2( ) Chính là = 1 + 2 Bạn đọc tự áp dụng vào ví dụ sau đây Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 18
10. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ 2 ′′ = 푒 (3 표푠 + 3 푠𝑖푛 − 4 푠𝑖푛 + 4 표푠 ) Thay vào phương trình ′′ ′ 2 + + 푞 = 푒 sin ( ) 1 = − Ta tìm được { 2 = 0 Vậy nghiệm là 1 = 푒 + 푒 + 푒2 (− ) 표푠 1 2 2 Ví dụ 2.8 : (không thuần nhất-dạng 2) ′′ + = 2푠𝑖푛 − 표푠 1 Đáp số: = 표푠 + 푠𝑖푛 + (− 표푠 − 푠𝑖푛 ) 1 2 2 Ví dụ 2.9 : (không thuần nhất-dạng 2-áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm) ′′ − 6 ′ + 9 = 푒3 ( 2 + 푠𝑖푛 ) Lưu ý: Ta nhận thấy trong bài này có các hàm đa thức và hàm lượng giác sinx(chúng độc lập tuyến tính, nên ta phải tách chúng ra và áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm) o Phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất – Dạng 3 : ′′ + ′ + 푞 = 푒훼 (푃( ) 표푠훽 + 푄( )푠𝑖푛훽 ) (3) 푠 훼 = 푒 ( ( ) 표푠훽 + 퐾( )푠𝑖푛훽 ) Trong đó s là số nghiệm trùng của 훼 + 훽𝑖 với phương trình đặc trưng (*) H(x),K(x) là các đa thức có bậc là bậc lớn nhất của P(x) và Q(x) Trong dạng này, ta giải hệ số của H(x),K(x) thỏa phương trình sau: ′′ ′ 훼 + + 푞 = 푒 (푃( ) 표푠훽 + 푄( )푠𝑖푛훽 ) Ta thấy thực chất dạng 3 này là kết hợp của dạng 1 và dạng 2, hay nói cách khác là một sự tổng quát hóa của hai dạng nói trên: Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 20
11. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 2.13 : ′′ + = sin( ) . cos (3 ) Bài này chính là bài toán cô Hoàng Hải Hà cho đề tài matlab giải tích của một ca nào đó tác giả không nhớ rõ :))). Có nhiều bạn thắc mắc bài toán này vì thậm chí chưa biết cách giải tay, làm sao làm nó trên matlab Nên tác giả xin hướng dẫn một gợi ý nhỏ như sau: Do sin( ) . cos(3 ) không thuộc loại nào trong 3 dạng không thuần nhất trên, ta thấy có e mũ nhân với đa thức và nhân với sin hoặc cos, ta chưa thấy bài nào có hai hàm lượng giác nhân nhau, vậy ta phải tách nó hoặc ghép nó thành 1 hay tổng(hiệu) các hàm lượng giác. Từ ý tưởng đó ta sẽ tách thành tổng hai hàm lượng giác như sau: 1 sin( ) . cos(3 ) = (sin(4 ) − sin(2 )) 2 1 1 Sau đó ta sẽ giải nghiệm riêng của từng phương trình với sin(4 ) và sin(2 ), vì dễ thấy 2 2 chúng độc lập tuyến tính với nhau. 22 1 1 Đáp số: 표푠( ) + sin( ) − sin(4 ) − sin (2 ) 15 30 6 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 22
12. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ ′′ ′ 2 = 4 1 + 3 2′ Thay vào (*) ta được ′′ ′ 2 − 4 2 − 5 2 = 0 Từ đó ta giải được −푡 5푡 2(푡) = 1푒 + 2푒 Thay vào (2), ta được 1 (푡) = − 푒−푡 + 푒5푡 1 1 2 2 Lưu ý: Ta không được ghi nghiệm −푡 5푡 1(푡) = 1푒 + 2푒 Vì một số bạn làm phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2 đã có “thói quen”, hằng số nào cũng là hằng số nên đến đặt luôn hằng số là 1, 2, ta thấy rằng điều này không đúng vì 1, 2 phụ thuộc tuyến tính nên phải thay vào giải như hệ phương trình bình thường ta vẫn làm Ta cùng làm rõ ví dụ trên: -Đầu tiên ta khử đi 1, bước này tương tự khử các biến khi giải hệ phương trình làm ở cấp 2 (xem 1, 2 là biến) ′ -Tiếp theo làm xuất hiện 1 từ đạo hàm phương trình (2) để thay vào phương trình đã khử 1, vậy ta đã có phương trình thuần nhất cấp 2 theo 2. ′ 푡 1 = 3 1 + 2 + 푒 (1) Ví dụ 3.2 : Giải hệ phương trình { ′ 2 = 2 1 + 2 2 + 푡 (2) Giải : (2)-2*(1) ′ ′ 푡 −2 1 + 2 = 4 1 + 푡 − 2푒 (∗) (1)’ ′′ ′ ′ 푡 1 = 3 1 + 2 + 푒 Thay vào (*) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 24
13. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Trong các ví dụ tác giả sẽ không giải lại nghiệm của phương trình vi phân cấp 3 mà chỉ đưa ra đáp số Bây giờ chúng ta bước vào ví dụ để hiểu cách giải hệ phương trình vi phân 3 ẩn. ′ 1 = 3 1 + 2 + 3 (1) ′ Ví dụ 3.3 : Giải hệ phương trình { 2 = 2 1 + 4 2 + 2 3 (2) ′ 3 = 1 + 2 + 3 3 (3) Giải : (2)-4*(1) ′ ′ −4 1 + 2 = −10 1 − 2 3 (∗) (3)-(1) ′ ′ − 1 + 3 = −2 1 + 2 3 (∗∗) (1)’ ′ ′′ ′ ′ 2 = 1 − 3 1 − 3 Thay vào phương trình (*) ′ ′′ ′ ′ −4 1 + 1 − 3 1 − 3 = −10 1 − 2 3 ′′ ′ ′ 1 − 7 1 − 3 = −10 1 − 2 3(∗∗∗) ( )+( ) ′′ ′ 1 − 8 1 + 12 1 = 0 6푡 2푡 1(푡) = 1푒 + 2푒 Thay vào ( ) ′ 6푡 3 − 2 3 = 4 1푒 Từ đó tìm được 6푡 2푡 3(푡) = 1푒 + 3푒 Và thay vào (1) tìm được 6푡 2푡 1(푡) = 2 1푒 − ( 2 + 3)푒 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 26
14. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ ′′ ′′′ ′ ′ 1 + 1 = − 1 − 3 2 ′ Rút 2 thay vào ( ) ta được ′′′ ′′ 1 + 3 1 − 4 1 = 0 Giải pt này ta được 푡 −2푡 −2푡 1(푡) = 1푒 + 2푒 + 3푡푒 Tới đây bạn đọc tự giải tiếp. Ta cùng làm rõ ví dụ trên : Đầu tiên ta khử 3 trong hệ ban đầu bằng cách tương tự như cấp 2, ta thu được 2 phương trình ′ ′ có 3, do đó ta cần “bỏ” 3 đi bằng cách đạo hàm 1 trong các pt ban đầu (1) hoặc (2) bởi vì ′′ nếu đạo hàm pt (3) sẽ xuất hiện 3 làm pt càng phức tạp, ở đây tác giả chọn đạo hàm pt (1), ′ ′ rồi thay 3 vào hai pt chứa 3 ban nãy, từ đó ta có hệ theo 1, 2. Tới đây ta khử 2 giống ′ ′ ′ như cấp 2(xem biến là 1, 2), tiếp theo ta khử 2(xem biến là 1, 2) pt ( ) có 2 và một ′ pt vi phân theo 1, ta đạo hàm pt này để tạo ra 2 thay vào ( ) ′ 1 = 3 1 + 2 + 3 (1) ′ Ví dụ 3.5 : Giải hệ phương trình { 2 = 2 1 + 4 2 + 2 3 (2) ′ 3 = 1 + 2 + 3 3 (3) Giải : Bạn đọc tự giải ví dụ này Gợi ý giải (2)-4*(1) (*) (3)-(1) ( ) (1)’ Thay vào (*) ( ) ( )+( ) tìm được 1 Từ đó giải ra 2, 3 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 28
15. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Từ các ví dụ trên ta có thể rút ra một nguyên tắc chung để giải hệ 3 pt vi phân như sau: (tác giả sẽ không đề cập tới hệ 2 pt vì nó khá đơn giản, bạn đọc có thể xem lại ví dụ) Bước 1: Khử 3, thu được hệ 2 pt ′ ′′ ′ Bước 2: Đạo hàm pt đề cho mà chỉ tạo ra 3, tránh tạo ra 3 , sau đó thế 3 vào hệ 2 pt thu được ở bước 1 thu được hệ 2 pt (*) Bước 3: Khử 2 giống như cấp 2(xem biến là 1, 2) trong hệ 2 pt (*) thu được pt( ) ′ ′ ′ Bước 4 : Ta khử 2(xem biến là 1, 2) trong hệ pt (*) thu được pt( ) Bước 5: Đạo hàm pt ( ) rồi thay vào pt ( ) ta sẽ thu được một phương trình vi phân cấp 2 hoặc 3 theo 1, giải 1, rồi tìm 2, 3 Các số 풙 , 풙 , 풙 có thể thay đổi vai trò cho nhau trong các bài toán khác nhau, nên đây chỉ là cách làm tham khảo. Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 30