Bài giảng Giải tích 2 - Chương 3: Tích phân đường - Phần 1: Tích phân đường loại 2

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương 3: Tích phân đường - Phần 1: Tích phân đường loại 2

1. NỘI DUNG 1.Định nghĩa tp đường loại 2 2.Tính chất tp đường loại 2 3.Cách tính tp đường loại 2 4.Định lý Green 5.Tích phân không phụ thuộc đường đi.
2. Trên cung AkAk+1, lấy điểm Mk, xét tổng tp
3. TÍNH CHẤT TP ĐƯỜNG LOẠI 2 1.Tp đường loại 2 phụ thuộc vào chiều đường đi Đổi chiều đường đi thì tp đổi dấu. 2.Nếu C = C1  C2
4. TH2: (C) viết dạng y = y(x), x = a : điểm đầu, x = b : điểm cuối TH3: (C) viết dạng x = x(y), y = c : điểm đầu, y = d : điểm cuối
5. Cách tính Tp đường loại 2 trong không gian Cách tính: (C) x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1 :điểm đầu, t2: điểm cuối
6. A(0, 0), B(1, 1) a/ Đoạn thẳng AB: y = x, x : 0 → 1 b/ Parabol: x = y2 , y : 0 → 1
7. 2/ Tính: với C là cung ellipse x2 + 3y2 = 3 đi từ (0, 1) đến giao điểm đầu tiên của ellipse với đường thẳng y = x, lấy theo chiều KĐH. 1 Tại giao điểm với đt y = x:
8. 3/ Tính: với C là gt của mặt cầu x2 + y2 + z2 = 6z và mp z = 3 - x lấy ngược chiều KĐH nhìn từ phía dương trục Oz 2x2 + y2 = 9 t : 0→ 2
9. CÔNG THỨC GREEN Định nghĩa: Nếu chu tuyến C(đường cong kín) là biên của miền D  R2, chiều dương của C là chiều mà đi trên đó, miền D nằm về bên trái. C1 C D C2 D Định nghĩa: Miền đơn liên là miền mà mọi chu tuyến trong miền này có thể co về 1 điểm trong miền( không chứa lỗ thủng).
10. VÍ DỤ 1/ Tính: trong đó C là đtròn x2 + y2 = 1, lấy ngược chiều KĐH. Gọi D là hình tròn x2 + y2 1, khi đó C là biên định hướng dương của D. Áp dụng công thức Green:
11. 2/ Tính: C = {(x, y)/ |x| + |y| = 1} , lấy theo chiều KĐH. Gọi D là hình vuông |x|+|y| 1. Khi đó C là biên định hướng âm của D. Áp dụng công thức Green :
12. 3/ Tính: C là nửa dưới đt x2 + y2 = 2x, ngược chiều KĐH • Nếu tham số hóa để tính I khó C 1 2 • C không kín nên không thể áp dụng ct Green. -1 Gọi C1 là đoạn thẳng y = 0, x: 2 → 0 D là nửa dưới hình tròn x2 + y2 2x
13. C1 : y = 0, x: 2 → 0
14. a)C là đtr x2 + y2 = R2, R > 0 tùy ý. Vì P, Q và các đạo hàm riêng không xác định tại (0, 0) nên không thể áp dụng công thức Green trên hình tròn x2 + y2 R2 .
15. Nhận xét: trên đường tròn C, do x2 + y2 = R2, thay vào tp ta có Lúc này : xác định tại (0, 0). Áp dụng ct Green được
16. c)C ={(x,y)/ max { |x|, |y|} = 1} Không thể áp dụng ct Green trên miền hình vuông (P, Q không xác định tại (0,0). Dùng 1 đường tròn C’ đủ nhỏ bao gốc O (hoặc 1 đtròn đủ lớn bao cả đường cong C). Áp dụng ct Green trên hình vành khăn (HVK) giới hạn bởi C và C’( hình vành khăn sẽ không chứa (0,0)).
17. d)C là đường cong bao quanh gốc O nối từ (1,0) đến ( ,0) Nối vào C bởi C’ với 1 C’: y = 0, x : → 1 Khi đó C  C’ là đường cong kín bao gốc O, áp dụng kết quả câu c).
18. Áp dụng 1. Thông thường ta sẽ kiểm tra điều kiện 1 hoặc 4 (nếu hàm U có thể đoán nhanh). 2. Nếu 1 hoặc 4 thỏa, có 2 cách tính tp từ A đến B C1: Đổi đường lấy tp thông thường đi theo các đoạn thẳng // với các trục tọa độ B Lưu ý miền D A
19. VÍ DỤ 1/ Tính : C: đoạn thẳng nối 2 điểm (1, -1), (2,1). P’y = Q’x trên R2 nên tp không phụ thuộc đường đi. 1 1 2 -1
20. 2/ Tính : Theo đường không cắt đường thẳng x + y = 0 P’y = Q’x, (x,y): x + y 0 2 2 -1 x + y =0
21. 3/ Tìm các hằng số a, b sao cho tp không phụ thuộc đường đi. Sau đó, với a, b vừa tìm được, tính tp với A(-1, 2), B(0,3).
22. theo nửa trên đường tròn Đổi đường lấy tp: chọn đường thẳng nối A, B.