Bài giảng Giải tích 2 - Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa - Phần 1: Chuỗi số

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa - Phần 1: Chuỗi số

1. ĐỊNH NGHĨA Cho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới S= a + a + + a, n N nn12 {Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu:  an n=1 ( Nếu {an} bắt đầu từ 0 thì số hạng đầu của Sn là a0 ) • Sn : tổng riêng thứ n • an : số hạng tổng quát
2. VÍ DỤ Khảo sát sự hội tụ và tính tổng nếu có: 1 1/  n=1nn(1+ ) 1 1 1 Tổng riêng: S = + + + n 1.2 2.3nn (+ 1) 1 1 1 1 1 =1 − + − + + − 2 2 3nn (+ 1) 1 =−1 ⎯⎯⎯→n→ 1 (n + 1) 1 Vậy chuỗi hội tụ và  = 1 n=1nn(+ 1)
3. TÍNH CHẤT 1/  an và  an có cùng bản chất (ht/pk) n=1 n=p 2/  an , 0, và  an có cùng bản chất n=1 n=1
4. Điều kiện cần của sự hội tụ Nếu chuỗi a hội tụ thì liman = 0  n n→ n=1 Áp dụng: Nếu liman 0 ( hoặc không tồn tại ) thì n→ không hội tụ.
5. Ví dụ 3/ Ks sự hội tụ và tính tổng nếu có:  xn n n=1 kn12 Sn = x = x + x + + x k=1 1− xn xx,1 = 1− x n,1 khi x = ❖ khi x = 1: lim Sn = chuỗi pk n→
6. CHUỖI KHÔNG ÂM. Cho an 0, khi đó dãy tổng riêng phần {Sn} là dãy tăng. Vậy {Sn} hội tụ {Sn} bị chận trên. Hay:  an hội tụ khi và chỉ khi {Sn} bị chận trên. n=1
7. Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: 1 1/ 1  2 f( x )=2 , x [2, + ) n=2 nnln xxln f(x) dương, ltục và giảm nên 1 2 = fn() cùng bản chất với nn==22nnln dx + dt h tụ I== f() x dx 2 = xxln ln 2 t 2 22
8. 1 3 /  n n=12 1 f( x )= , x [1, + ) dương, ltục và giảm nên 2 x 1 cùng bản chất với dx  n I== f() x dx n=1 2 x 112
9. Tiêu chuẩn so sánh Dạng 1: an, bn 0, an Kbn, n N0  bn hội tụ  an hội tụ n=1 n=1 phân kỳ phân kỳ
10. Chuỗi cơ bản Chuỗi cấp số nhân:  xn hội tụ |x| 1  n=1n
11. Ví dụ 1 2 /  n 1c− os =  an n=1 n n=1 1 1 1 1 an n = khi n → 22n2 n a 1 hay n ⎯⎯⎯→n→ = K 1/n 2 Chuỗi đã cho cùng bản chất với chuỗi điều hòa 1  nên phân kỳ. n=1n
12. 1 3/  n=2 ln(n !) 1 1 1 = ln(n !)ln(nn ) n ln( n ) 1 dx dt  cùng bản chất với = n=2 nnln( ) xln x t 2 ln 2 nên phân kỳ. Theo tiêu chuẩn ss 1 chuỗi đã cho phân kỳ.
13. 22 n.ln n .sin n 2 5/  n n=2 2 2 n−+ e−n n 1 6 / 3 ln n=2 n −1 n 1 7/  n n=13 + n
14. Tiêu chuẩn Cauchy Xét chuỗi số không âm:  an n=2 Đặt : •  q 1 : phân kỳ nn→ → • C = 1 : không có kết luận 11 Xét 2 chuỗi:  & 2 nn==11n n
15. Ví dụ-Khảo sát sự hội tụ + 2n a 1/ D = n+1  n! n a n=0 n 2n+1 (n + 1)! 2 = = 2n n +1 n! 2 D =lim = 0 1 n→ n +1 Vậy chuỗi ht theo tc D’A.
16. 2 nnn.2 3 /  2 n=0 (1n + )n nn2 n n .2 Ca= n nn= 2 (n + 1)n nn.2 2 = n = n (n + 1) 1 1+ n 2 limCn = 1 chuỗi ht n→ e
17. (2n + 1)2 Rnn= n(11 − D) = n − (2nn++ 2)(2 3) 65n + = n (2nn++ 2)(2 3) 3 limRn = 1 n→ 2 chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Rapb
18. 6 /  a−ln n , a 0 n=1 −ln n n −lnn n 0 Cn = a = a → a = 1 1 a−+ln(n 1) ln 1− D= = alnnn−+ ln( 1) = a n+1 → a 0 =1 n a−ln n (không dùng được tiêu chuẩn C, D’A) −lnn − ln n ln a − ln a Biến đổi a== e n 1 Chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa  ln a n=1n
19. Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ (− 1)n 1/  n=1 n 1 a = đơn điệu giảm về 0 n n (− 1)n  là chuỗi Leibnitz (hội tụ) n=1 n
20. n (− 1) Mẫu số của thay đổi dấu 3/  n n=2 (1−+)1n không phải chuỗi đan dấu n nn (− 1) (− 1) ( − 1)n − 1 n = nn==22(−+ 1)n 1 (−− 1)22n n 1 n −−( 1)n =  n=2 n −1 n (− 1)n =− n=2 nn−−11
21. CHUỖI CÓ DẤU TÙY Ý Sự hội tụ tuyệt đối Neáu aann hoäi tuï thì hoäi tuï nn==11 aann nn==11 Chiều ngược lại không đúng: aann phaân kyø  phaân kyø nn==11
22. Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ n n 21n + 1/  (− 1) n=1 32n + n n 21n + thay đổi dấu an =−( 1) 32n + n 21n + an = 32n + 21n + 2 Ca= n = → 1 chuỗi ht tuyệt đối nn32n + 3
23. n2 b = n n nn==113 (n + 1)2 1 1 D = → 1 n n2 33 bn hội tụ n =1 an hội tụ tuyệt đối n=1