Bài giảng Giải tích 2 - Chương : Đạo hàm và vi phân (Phần 3)

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương : Đạo hàm và vi phân (Phần 3)

1. Đạo hàm theo hướng Định nghĩa: Cho hàm f xác định trong lân cận M0 và một hướng cho bởi vector a . Đạo hàm của f theo hướng a tại M0: f( M) f (M +t. a) − f( M ) 0= lim 0 0 a t→0 t fM ( 0 ) chỉ tốc độ thay đổi của f theo hướng a a
2. Sơ đồ Matlab để vẽ tiếp tuyến Sz:,,,,,== fxyMxy( ) 0( 0 0) a( aa 1 2 ) 1. Vẽ mặt cong S khu vực xung quanh M0 và M0. 2. Vẽ đường cong L: z( t) =+ f( M0 ta) x= x0 + tay 1,,, = y 0 + taz 2 = fx( 0 + tay 1 0 + ta 2 ) 3. Vẽ tiếp tuyến với L tại M0. Lưu ý: tiếp tuyến đi qua M0 và nhận u = ( a 12 , a , z ( 0 ) ) làm vector chỉ phương.
3. Công thức tổng quát a là vector tùy ý: f( M)  f( M) aa  f( M ) 00=+0 1 2 aa xy  a (hàm 2 biến) f( M)  f( M) aa  f (M)  f( M ) a 0= 012 + 0 + 0 3 a xy a  a z a (hàm 3 biến)
4. 2. Tìm đạo hàm theo hướng a =− ( 1,1, 1 ) tại 2 2 3 M = (2,1,2) của f( x, y , z) = x + 2 xz − 3 y z a 1 =(1,1, − 1) = (e1 , e 2 , e 3 ) a 3 fM( ) =f ( M) e + f ( M) e + f ( M) e a x1 y 2 z 3 1 1 1 15 =0. + 6. +( − 9) . − = 3 3 3 3
5. Liên hệ f( M0)  f( M 0)  f( M 0 ) =e12 + e =( fM( 0 ), e ) e xy  fM( ) 0 = f( M) e cos = fM( ) .cos e 00 là góc giữa gradf( M0 ) & e fM( 0 ) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi: e cos = 1 = 0
6. Ví dụ −f (2, 3,0) 1/ Tìm grad f (2,− 3,0), a Với: f( x, y , z) = x . eyz , a = (2, − 3,0) yz yz yz fxyz( ,,,,,,) =( ffx y f z ) = ( e xze xye ) f (2, − 3,0) =( 1,0, − 6) −f (2, 3,0) a (2,− 3,0) = f (2, − 3,0). =−(1,0, 6) . a a 13
7. n Có thể thay Rn bởi o( ) (Peano) (là VCB bậc cao hơn n khi → 0), = x22 + y,() o n Khai triển trong lân cận (0, 0) gọi là kt Maclaurin 1. Thông thường chỉ sử dụng pd Peano. 2. Sử dụng khai triển Maclaurin cơ bản của hàm 1 biến trong kt Taylor hàm nhiều biến. 3. Viết kt trong lân cận của (x0, y0) là viết kt theo lũy thừa của x = (x – x0), y = (y – y0)
8. df(1,1)= x + 0. y d2 f(1,1)= 0. x 2 + 2. x y + 0. y 2 df(1,1) d 2 f (1,1) zf=(,)()x y =f (1,1) + + + o 2 1! 2! x2 x y zo=1 + + + ( 2 ) 1! 2! =1 + (x − 1) + ( x − 1)( y − 1) + o ( 2 )
9. Ví dụ 3/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (0,1) cho 2 z== f(,) x y ex+ xy Đặt X = x, Y = y – 1, 2 ze= X++ X XY =1 +X + X2 + XY ()()X+ X2 + XY 2 X + X 2 + XY 3 + + + o() 3 26
10. Ví dụ 4/ Viết kt Taylor đến cấp 3 với (x0, y0) = (1,2) cho z= f( x , y ) = x sin( y − 2). Suy ra f”xy(1, 2) Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành 3 Y 3 z=+( X 1)sin Y =(X + 1) Y − + o ( Y ) 6 Y 3 =Y + XY − + o() 3 6 (y − 2)3 =(y − 2) + ( x − 1)( y − 2) − + o ( 3 ) 6
11. PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG. Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0) S •L là đường cong trong S đi qua M. n Tiếp tuyến của L tại M gọi là tiếp tuyến của S tại M. •Các tiếp tuyến này cùng thuộc 1 mặt phẳng gọi là tiếp diện của S tại M.
12. FMxtx ()() 0+ FMyt y ()() 0 + FMzt z ()()0 0 = (xtytzt (),(),()0 0 0 ) ⊥ ( FMFMFMx (), y (), z ()) u⊥ gradF( M ) (với mọi đường cong trong S và qua M) grad F(M) là pháp vector của tiếp diện của S tại M. • Pháp vector của tiếp diện còn gọi là pháp vector của mặt cong S.
13. Phương trình tiếp diện SM:,,,F( x, y , z) = 0 = (xMMM y z) S FMxxx ( )( − M) + FMyy y ( )( − M) + FM z ( ) +( zz − M ) = 0 SM:,,z = fx( , y) = (xMMMyS, z ) z− zM = f x ( M)( x − x M) + f y( M)( y − y M )
14. a. gradF ( 0,0,2) = ( 0,0,4) (T):( x− 0.0) +( y − 0.0) +( z − 2.40) = =z 2