Bài giảng Giải tích 2 - Chương: Đổi biến trong tích phân bội ba (phần 2)

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương: Đổi biến trong tích phân bội ba (phần 2)

1. ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA f(x,y,z) xác định trong , đặt x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) (x,y,z)  (u,v,w) ’ z = z(u,v,w) xu x y x w D(,,) x y z J== y y y D(,,) u v w u v w zu z v z w f( x , y , z ) dxdydz= g ( u , v , w ) | J | dudvdw 
2. Lưu ý: • Mp z = 0 là mp Oxy • Kết quả áp dụng tương tự nếu  đối xứng qua mp • y = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo y) • x = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo x)
3. TỌA ĐỘ TRỤ x = rcos , y = rsin , z = z J = r f( x , y , z ) dxdydz= f ( r cos , r sin ,z )rdrd dz  Điều kiện giới hạn: 1.r 0 2. [0, 2 ] hay [- , ]
4. Lưu ý: =x2 + y 2 + z 2 xy22+= sin Tọa độ cầu thường dùng cho miền giới hạn bởi mặt cầu hoặc mặt nón và mặt cầu.
5. z 1 xy22+ = tan = Nón trên. aa R x2+ y 2 = R 2 = Trụ tròn. sin
6. z = 2 y =0 x2 + y2 = 4x 4 4xx− 2 2 z = 0 I= dx dy xzdz 0 0 0 2 4cos 2 = d dr rzcos . .rdz 0 0 0
7. 2 2 4−y 0 x = rcos , I dy dx xzdz = y = rsin , 00 22 −4 −xy − z = z 2 2 0 I = d dr rzcos . .rdz 0 0 −−4 r 2
8. 3/ Tính tp sau sử dụng tọa độ trụ và tọa độ cầu: I= zdxdydz   Là miền bên trong nón z=+ x22 y 2 2 2 và bị chắn bởi mặt cầu x+ y + z = 2
9. z=+ x22 y , x2+ y 2 + z 2 = 2 x = sincos , y = sinsin , 1 z = cos. J = 2 sin 2 4 2 I = d d cos 2 sind 0 0 0
10. z + x22 y , x2+ y 2 + z 2 2 z Giao tuyến của mặt cầu và trụ z=+ x22 y 1 2 22zz= z =1 4 22 xy+=1 1
11. I== zdxdydz  2 2 2cos  = d d  cos  2 sin  d 0 4 0 = 6
12. 5/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu: I= xdxdydz  : 2 x2 + y 2 + z 2 4, x y 2 + z 2 x = cos, y = sincos , z = sinsin J = 2 sin
13. Cách 2: 2 x2 + y 2 + z 2 4, x y 2 + z 2 : cos  22 sin  = sin  (0  ) 2 24 tan 1 22 04  0 2 22
14. 6/ Đổi tp sau sang tọa độ cầu: 1 1−y2 4 − x 2 − y 2 I= dy dx x2 + y 2 + z 2 dz −10−−1 y 2 04 z − x22 − y  : 22 xy+ 1
15. 6 z=4 − x22 − y z = 3 Giao tuyến: 22 22 xy+=1 xy+=1
16. 04 z − x22 − y  : 22 xy+ 1 0 cos  4 − 22 sin  22 sin 1 0 2, cos 0 0  2 1 0 sin
17. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau: x22+ y =2 y , z + y = 2, y = 2 z + 2 zy+=2 V= dxdydz  2−y = y dz dxdy −1 x22+ y2 y 2 2 2sin 2− 2sin yz=+22 = d dr rdz 2 Dùng tọa độ trụ 0 0 r sin − 1
18. x2 y 2 z 2  là ellipsoid: + + 1 a2 b 2 c 2 x = a sincos , y = b sinsin , Đổi biến: z = c cos J = abc 2sin 01 :0  02