Giải chi tiết Đề ôn cuối kì 1 môn Giải tích

Nội dung text: Giải chi tiết Đề ôn cuối kì 1 môn Giải tích

1. Đề 1 Câu 1: Tìm c c tr f= x1 − x 2 Miền xác định D f =[ − 1,1 ] 1− 2 x2 f′( x ) = 1− x2 1 1 x −1 − 1 2 2 Bảng biến thiên f ′ −0 + 0 − 1 1 f
   − 
   2 2 CT CĐ
2. Đề 1 Câu 3: Tính tích phân nếu tp hội tụ: +∞ dx I = ∫ (x+ 1)( x2 + x + 1) 0 +∞ dx I cùng bản chất với tp: I1 = ∫ (x+ 1)( x2 + x + 1) 1 1 1 f() x=~ , x → +∞ 2 x3 ()x+1() x + x + 1 +∞ dx ⇒I ht I1 cùng bản chất với ∫ nên hội tụ 1 x3
3. +∞ +∞ +∞ 12 12x + 1/2 =ln()x + 1 − ln() x ++ x 1 + . arctan 0 20 2 3 3 2 0 x +1 1π 1  π =lim ln +− arctan  = x→+∞ x2 + x + 1 32 333 
4. Đề 1 Câu 5: a/giải ptvp: (x2− 2)'2 y + xy 2 = 0 dy2 xdx ⇒ = − y2 x 2 − 2 dy2 xdx ⇒ ∫= − ∫ y2 x 2 − 2 1 ⇒ −=−lnx2 −+ 2 C y
5. Đề 1 Câu 6: giải pt vp y''+ y = 3 ex − x 2 Pt đặc trưng: k2 +1 = 0 ⇔ k =± i yC0= 1cos xC + 2 sin x 1 y= Aex + Bx2 ++ Cx D =ex − x 2 + 2 r 2 y= y0 + y r
6. Đề 2 Câu 2: tìm α tích phân h i t 5 1 (1− x ) 3 I= dx ∫ arctanα (x− x 2 ) 0 5 5 1/2 1 (1−x )3 (1 − x ) 3 I= dx + dxII =+1 2 ∫arctanα (xx−2 ) ∫ arctan α ( xx − 2 ) 0 1/2
7. 5 1 (1− x ) 3 I2 = dx ∫ arctanα (x− x 2 ) 1/2 5 5/3 (1− x ) 3 ()1− x f() x =α2 = α arctan (xx− ) arctan xx() 1 − 5/3 (1− x) 1 − ~α= α −5/3 ,x → 1 ()1−x() 1 − x 1 dx I2 cùng b n ch t v i ∫ α −5/3 1/2 ()1− x nên h i t khi và ch khi α −5/3 < 1
8. Đề 2 cosx− 1 − x 2 Câu 3: tính gh: A = lim x→0 sin x− x 2 4 x x 41 2 1 242 1−++ox( ) −−−+− 1 ( x) ( xox) + ( ) A = lim 224 2 8 x→0 x3 x− + ox3 − x 6 () 1 x4 =lim6 = 0 1 x→0 − x3 6
9. Đề 2 Câu 5: gi i h pt: x'= y + 2 e t  y'= x + t 2  t 2 t x′′= y ′ + 2 e x′′ = xt + + 2 e ⇒  ⇒ 2  y′ = x + t y′ = x + t 2 x′′ − xt =2 + 2 e t ⇒  t y= x′ − 2 e xCe=t + Ce− t −−+ t2 2 te t ⇒  1 2 tt− tt yCeCe=1 − 2 −++2 tt ( 1) e − 2 e
10. Đề 2 Câu 5b: y= xy(′ − x cos x ) y ⇒ y′ − = xcos x x dx dx −∫ − ∫ −  ⇒ ye=x xcos xe . x dxC +  ∫    ⇒ y= xcos xdx += C x sin x + C (∫ ) ()
11. x −∞ −1 0 2 +∞ f ′ +−0 || − 0 + −1
    +∞
    1/2  f−∞ e0|| 4 e +∞
12. Đề 3 2 1− eπ x−2 x Câu 3: tính gh A = lim π x→ cos x 2 2 −(π x − 2 x ) A = lim π π  x→ sin − x  2 2  π  2x− x  2  π =−lim =− π π x→ − x 4 2 2
13. 1  1  0        λ1=1,VTR P 1 =  1  λ2=−1,VTR P 2 =  0  λ3=2,VTR P 3 =  1        0  −1  2  λ1t λ 2 t λ 2 t X= Ce1 + Ce 2 + Ce 2 x 1  1  0 t − t 2 t  yCe=1 1 + Ce 2  0 + Ce 3  1     z 0 − 1  2
14. Đề 3 π2 π Câu 6: tính dài cung y=ln(sin x ), ≤ x ≤ 3 3 2 2 cosx  1π 2 π 1+()y′ =+ 1  = , ≤≤ x sinx  sin x 3 3 2π 2π 2 dx L=3 1 + () ydx′ =3 = ln3 ∫π ∫π sin x 3 3
15. Đề 4 +∞ Câu 2: tính tp sau n u tp h i t : I= e−3x cos2 xdx ∫0 e−3xcos2 xe≤ − 3 x , ∀ x ≥ 0 +∞ 1+∞ 1 e−3x dx= − e − 3 x = ∫0 30 3 +∞ ⇒ e−3x dxht ∫0 ⇒ I ht tuy t i
16. Đề 4 x x2 t2 e Câu 3: Ch ng minh e dt ~ khi x → +∞ ∫ 2x 0 x x x 2 2 2 2 ∫et dt 2x∫ et dt 2∫et dt+ 2 xe . x 0 0 0 A = lim 2 = lim 2 = lim 2 x→+∞ ex x→+∞ ex x→+∞ 2x . e x 2x x 2 et dt ∫ x2 0 e =lim2 + 1 =lim2 2 +=+ 1 0 1 x→+∞ xe x x→+∞ ex+ 2 x2 . e x
17. 5 5 V=π3 xdy2 = π 3 ln 2 yy −− 2 1 dy y ∫5 ∫ 5 ( ) 4 4 −ln3 = π x2.sinh xdx ∫−ln 2 52 85 2 35  =π ln 3 −− ln3 ln 2 +− ln 2  3 34 26 
18. Đề 5 (1+x )x − 1 Câu 3: tính gi i h n lim x→0 x2 (1+−x )x 1 e xln(1+ x ) − 1 xx .ln(1 + ) lim= lim lim = 1 x→0x2 x → 0 x 2 x → 0 x 2
19. Đề 5 Câu 6: tìm α, β pt sau là ptvp toàn ph n: (23x+ xyα β ) dx +− ( x3 3) ydy 2 = 0 α β −1 2 PQy′=⇔ x′ 3.β xy =∀ 3,, x xy ⇔α =2, β = 1
20. Đề ôn tập 1 Câu 2: tìm ti m c n xiên n u có: y=3 x3 −2 xx 2 −+ 2 2 1 2 y= x 3 1 −− + x x2 x 3 1212  1  =x1 +−− +  + o  3xx2 x 3  x  2 =x − + α () x , α(x) là VCB khi x ±∞ 3 2 Ti m c n xiên c a c là: y= x − 3
21. Đề ôn tập 2 Câu 1: tìm c c tr y=3 ( x − 2)(2 x + 1) 2 MXD : D= R 1 −2/3 y′ =(2 x ++ 1)2 2.2(2 xx +− 1)( 2)  ( xx − 2)(2 + 1) 2  3    1 (2x+ 1)(6 x − 7) y′ = 3 2  2/3 (x− 2)(2 x + 1) 
22. Đề ôn tập 2 Câu 2: tìm α A = ∞ −1  ln 1 + e x2α      A = lim x→0 xtan x 1 x→0 − TH 1:α > 0 x2α → 0 (+ ) ⇒ e x2α → 0 1/ α 1 − 1 1  2α   e x 2 2α ⇒ x x  A = lim 2 = lim = lim = 0 x→0 x x→0 1 x→0 1 e x2α e x2α
23. Đề ôn tập 2 +∞ 2 (2x + 6 ) Câu 3: tính tp I= dx ∫ ex+1 0 +∞ +∞ I=2 e−1 xedx 2 −x + 6 e −− 1 edx x ∫0 ∫ 0 +∞ −1 2 −x+∞ − x  −− 1 x +∞ =−2e xe . + 2 xedx  − 6. ee 0∫0  0 +∞ −1  −x+∞ − x  −−1 1 =−202e xe + 2 edxe  += 610 e 0 ∫0 
24. Đề ôn tập 2 Câu 7: vi t kt Maclaurin n c p 2 fx( )=4 16 − 32 xx + 4 2 1/4 x x 2  f() x =2 1 − +  2 4   1 1    2 −1   2  2  1 xx4 4  xx 2 =+−++2 1    −+  + o() x   424  2!  24     x 5 =−+2 x2 + o x 2 4 64 ( )
25. Đề ôn tập 3 Câu 4: tìm các α > 0 tp h i t : 2α +∞ x I= x3 arctan dx ∫0 1+ xα Vì α > 0 nên hàm s không có im k d , Tp ã cho cùng b n ch t v i: 2α +∞ x I= x3 arctan dx ∫1 1+ xα
26. 1 1 3 π π 1 α = fxx() =. = − .1 , x → +∞ 2 4 4 − x 3 I1 pk 2α 1 3 π π 1 α 1  3 I ht ⇔  1 1 0 <α <  2
27. x −∞ −3 0 3 +∞ f ′ +|| || − f 0+∞ || || +∞
    0
28. Đề ôn tập 4 x Câu 1: kh o sát c c tr hàm s : y= − 3 x 3 MXD: R 11 1x2/3 − 1 y′ = − x −2/3 = 3 3 3 x2/3 x −∞ −1 0 1 +∞ f ′ +0 −− || 0 + 2 2 f −∞
    0
    −  ∞ 3 3 C CT
29. 3/2 ln α x I1 = ∫ dx 1 4 − x2 lnαx ln α (1+ x − 1) f() x = = 4−x2 4 − x 2 1 1 + ~−α ,x → 1 3 ()x −1 I1 ht ⇔ −α − 1
30. Đề ôn tập 4 +∞ xdx Câu 3: tính giá tr tp I = ∫ 0 2 3 ()1+ x x= tan t 2 π /2 tant .( 1+ tan tdt) I = ∫ 0 2 3 ()1+ tan t π/2tan t π /2 =∫dt = ∫ sin tdt = 1 01+ tan 2 t 0
31. Đề ôn tập 4 Câu 5: gi i pt vi phân 2ydx+− ( y2 6 x ) dy = 0, y (1) = 1. 3 y ⇒ x′ − x = − y 2 2 31  y 3 ⇒ xy= +=+ C  Cy 2y  2 1 y()1= 1 ⇒ C = 2 y2 y 3 ⇒ y = + 2 2
32. Đề ôn tập 5 Câu 1: Tính gi i h n: ln( 1+ 2x − ln( 1 + x )) lim 2 x→0 tan x− xe x 23 23 2xxx xx 3 1+ − + −+x − + o() x = lim 222 23 2 x→0 − x3 x3 3 1 =lim 6 = − 2 x→0 − x3 4 3
33.  2x ,x 1  2  3 2  ()x −1 y′ =  2x −, −<< 1x 1  2 3 x2 −1  () x −∞ −1 0 1 +∞ f ′ −|| + 0 − || + f +∞
    0  1
    0  +∞ CT C CT
34. 1 1 I2 : f() x = = α xα 1− 4 x 2 x1+ 2 x 1 − 2 x α 1 1 − ~2⋅ ⋅ ,x → () 1/2 2 1 − x 2 I2 ht ∀α I ht ⇔α < 1
35. Đề ôn tập 5 2x+ y  2 Câu 5a: gi i pt y′ =  ,y (1)= 2 x  y u= ⇒ yux= x 2 Pt vi t l i: uxu′ + =(2 + u ) du dx = u2 +3 u + 4 x 3 u 2 + arctan 22 = ln x + C 7 7 (Tr v x, y và thay iu ki n u tìm C)
36. α = − 5 +∞ 1 2/x2 3/ x 2  1 I= e − e−  dx u = ∫1 x5   x2 1 0 I= − u e2u − e− 3 u du 2 ∫1 ( ) 1 5e2 4 e − 3  = + +  236 4 9 
37. Đề ôn tập 6 Câu 6: Gi i h pt b ng pp tr riêng xt′()=− 11 xx + 5 − 2 et−t +  1 1 2 −t xt2′ ()=− 30 x 1 + 14 xe 2 − 4 + 3. t −11 5  A =   −30 14  Tr riêng và VTR c a A 1  1 λ1=−1,P 1 = ; λ 22 = 4, P =  2  3