Giáo trình Giải tích 2 - Chương 2: Tích phân bội

Nội dung text: Giáo trình Giải tích 2 - Chương 2: Tích phân bội

1. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực Ví dụ : Tính tích phân I (2 y 1) dxdy D Trong đó D giới hạn bởi : 2x x22 y 4 x , 3 x y 0 2x ≤ x2+y2 ≤4x ↔ 2cosφ ≤ r ≤ 4cosφ 3xy0 0 3 Đây là trường hợp ta có thể không cần vẽ hình cũng lấy được cận tích phân 0 4cos I d r(2 r sin 1) dr 2cos 3
2. §1: Tích phân kép – Đổi biến sang tọa độ cực 0 Khi đó, miền D giới hạn bởi 01 r 1 Vậy : I d r(2 r cos ) dr 00
3. §1: Tích phân kép – ƯD hình học 2 Ứng dụng hình học của tích phân kép 1. Diện tích hình phẳng: Diện tích miền D trong mặt phẳng Oxy được tính bởi S() D dxdy D 2. Thể tích vật thể Ω giới hạn trên bởi mặt S11:(,) z f x y giới hạn dưới bởi mặt S22:(,) z f x y và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song với trục Oz có đường chuẩn là biên miền D được tính bởi: V( ) ( fxy12 ( , ) fxydxdy ( , )) ((,)f21 x y f (,),(,) x y  x y D ) D
4. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 1: Tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi y2+2y-3x+1=0, 3x-3y-7=0 Ta tìm giao điểm 2 đường cong bằng cách khử x từ 2 pt 3x y2 2 y 1 y2 2 y 1 3 y 7 (1) 3xy 3 7 (1) y2 y 6 0 y 3, y 2 Tức là chiếu miền D xuống trục Oy được đoạn [-2,3] Khi -2 ≤ y ≤ 3, suy ngược lại phương trình (1) 2 1 ta sẽ được y + 2y + 1 ≤ 3y + 7 (3y 7) 3 3 Vậy : S() D dy dx 1 2 (yy2 2 1) 3
5. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 3: Tính thể tích vật thể Ώ giới hạn bởi z x2 y 2,2 z x 2 y 2 Khi vật thể giới hạn chỉ bởi 2 2 2 mặt thì ta tìm hình chiếu D x +y =1, z=1 của nó xuống mặt phẳng z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình 2 mặt x2 y 2 2 x 2 y 2 xy22 1 Hình chiếu của giao tuyến là đường tròn thì hình chiếu của vật thể là hình tròn xy22 1
6. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 4: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi x2 + y2 = 4, y2 = 2z, z=0 Trong 3 mặt tạo nên vật thể, có 1 hình trụ kín (đường chuẩn là đường cong kín) x2+y2=4 song song với trục Oz nên hình chiếu của nó xuống mặt z = 0 là hình tròn, tức là ta có miền lấy tích phân D: x2 + y2 ≤ 4. Ta còn lại 2 mặt và phải xác định mặt nào nằm trên, mặt 2 nào nằm dưới để có hàm dưới dấu tích phân 2 Dễ dàng thấy bất đẳng thức kép 0 ≤ z ≤ y /2 , tức là mặt z = 0 ở phía dưới và 2z = y2 ở phía trên
7. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 5: Tính thể tích vật thể V giới hạn bởi 2 2 2 z x y; y x ; y 1; z 0 Ta sẽ tìm hình chiếu của V xuống mặt phẳng Oxy dựa trên các hình trụ có đường sinh song song với trục Oz có trong phương trình V Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ (phương trình không chứa z) cùng song song với Oz là y=1, y = x2 Hai mặt trụ đó có 2 đường chuẩn tạo thành miền D đóng trong mặt Oxy y=x2 Miền D y=1
8. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 6: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi xy22 3 z , z 0, y 0,3 x y 4, x y 4 2 4 2 Các mặt cùng song song với Oz (phương trình không chứa z) là y = 0, 3 3x+y = 4, /2x+y = 4. Đây là 3 mặt phẳng tựa lên 3 đường thẳng trong mặt phẳng Oxy và ghép B lại thành hình trụ kín có hình chiếu xuống mặt Oxy là ΔABC C A
9. §1: Tích phân kép – ƯD hình học z=1/2x2+1/4y2 3x+y=4 y=0 3/2x+y=4
10. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ta đi so sánh z= a-x-y với z= 0 bằng cách vẽ thêm đường a-x-y=0 trong mặt phẳng z=0 đang xét Rõ ràng, trên hình vẽ ta có A ΔABC nằm phía dưới đường thẳng a-x-y=0 tức là trong miền D ta có bất đẳng thức 0 ≤ a-x-y. Suy ra hàm dưới B C dấu tích phân là f(x,y) = a-x-y ay 2 a 3 Vậy V () a x y dxdy dy() a x y dx ABC 0 ay 3
11. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 8: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt cong z = 1-x2-y2, y = x, y = √3x, z = 0 với x, y, z ≥ 0 Ta cũng bắt đầu tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt z = 0 bằng cách chỉ ra các mặt trụ với pt không chứa z Với ví dụ này, ta chỉ có 2 mặt là y=x và y = √3x với 2 đường chuẩn là 2 đường thẳng không đủ cho ta miền đóng D. Vì vậy, ta sẽ tìm thêm giao tuyến của các mặt còn lại với mặt z=0
12. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Vậy: 22 V(1 x y ) dxdy D Vì miền lấy tích phân là hình tròn nên ta sẽ đổi z=1-x2-y2 sang tọa độ cực bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsin φ Khi đó, ta được 3 1 V d r(1 r2 ) dr y=x y=√3x 0 4
13. §1: Tích phân kép – ƯD hình học
14. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Vì mặt S nằm phía trên mặt nón tức là z ≥ 0 nên ta lấy x z x 22 22 4 xy z 4 x y y z y 22 4 xy 2 Suy ra : 22 1 zzxy Vậy: 4 xy22 2 22 2 S dxdy d r dr 22 xy22 2 4 xy 004 r 2 22 2 2 dr(4 ) 2 S d 2 ( 2 4 r ) 4 (2 2) 004 r 2 0
15. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Mặt cầu và cả 2 Miền D trên mp x=0 x2+y2+z2=2 mặt phẳng cắt nó đều nhận mặt x = 0 là mặt đối xứng nên phần mặt S cũng nhận x = 0 là mặt đối xứng Do đó, ta sẽ tính diện tích phần phía trên mặt x = 0 rồi nhân đôi Ta viết lại phương trình mặt S theo y, z: x=f(y,z) và x ≥ 0
16. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 11: Tính diện tích phần mặt trụ S: x2+y2=4 nằm phía trong mặt trụ R: x2+z2 = 4 Ta sẽ chiếu phần mặt S Miền D xuống mặt phẳng y = 0 vì hình trụ R song song với x2+z2=4 trục Oy, và được hình tròn xz22 4 Do tính đối xứng qua các mặt tọa độ của cả 2 mặt trụ nên ta chỉ tính diện tích một phần tám mặt S, nằm trong góc x≥0, y ≥0, z ≥0 x2+y2=4
17. §1: Tích phân kép – ƯD hình học Ví dụ 12: Tính diện tích phần mặt nón z2 = x2+y2 bị cắt bởi 4 mặt x - y = 1, x + y = 1, x – y = -1, x + y = -1 4 mặt phẳng x-y = 1, x+y = 1, x-y = -1, x+y = -1 cùng song song với trục Oz, tạo trong không gian 1 hình trụ kín có hình chiếu xuống mặt Oxy là hình vuông ABCD B Mặt nón nhận mặt phẳng Oxy là mặt đối xứng nên phần nón nằm trong trụ kín trên cũng nhận Oxy là mặt đối xứng, ta tính diện tích C A phía trên mp Oxy rồi nhân đôi D
18. §1: Tích phân kép – ƯD hình học y+x=-1 y-x=1 z2=x2+y2, z≥0 -y+x=1 y+x=1
19. §1: Tích phân kép – ƯD hình học x+y+z=2 Phần mặt x+y+z=2 đang cần có 2 phần phần nằm trên và phần nằm dưới mặt x=2 phẳng 2x=y2 z=0
20. §1: Tích phân kép – ƯD hình học 1. Diện tích miền D 1 x S() D dxdy dx dy D 0 x2 2. Thể tích Ω : Hiển nhiên y2 ≥ 0 nên f(x,y)=y2 1 x V()(,) f x y dxdy dx y2 dy D 0 x2 3. Diện tích mặt cong có phương trình z=y2 z x 0 2 2 2 1zxy z 1 4 y zyy 2
21. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép Tính diện tích miền D giới hạn bởi 1.x=y2-2y, x+y=0 2.y2=10x+25, y2=-6x+9 3.y=lnx, x=y+1, y=-1 4.y=4x-x2, y=2x2-5x 5.y2=4-4x, x2+y2=4 (phía ngoài parabol) Giải: Nhắc lại công thức S() D dxdy D
22. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2. Khử x từ 2 phương trình đã cho 11 (y22 25) (9 y ) (1) y 15 10 6 Suy ra cận tích phân theo dy, tương tự như trên, ta thay vào phương trình (1) để có cận tích phân theo dx Vậy : 1 (9y 2 ) 156 15 1 16 15 S( D 2) dy dx (120 8 y2 ) dy 1 30 3 15(y 2 25) 15 10
23. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 5. Tìm giao điểm của 2 đường đã cho 4-4x=4-x2 ↔ x2-4x=0 ↔ x=0, x=4 (Loại vì y2=4-4x<0) Ta vẽ hình để có cận tích phân theo dx 2 4 y 2 2 S() D5 dy dx 2 2 1 y 4 1 8 SD( ) 2 5 3 -2
24. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 1. z2 = 2-x2-y2=x2+y2 ↔ 1= x2+y2 Như vậy, hình chiếu của V1 xuống mp z=0 là hình tròn x2+y2 ≤1 ↔ x2+y2 ≤2-x2-y2. (Làm ngược lại với pt trên) Tức là ta cũng xác định được mặt nằm trên, nằm dưới trong miền V1. Vậy : 2 2 2 2 V1 [(2 x y ) ( x y )] dxdy xy221 Vì miền lấy tích phân là hình tròn có tâm là gốc tọa độ nên ta sẽ đổi biến tp trên sang tọa độ cực bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsinφ 21 1 V d r(2 2 r2 ) dr 2 ( r 23 r 4 ) 1 4 2 00 0
25. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2. Trong 2 mặt đã cho có 1 mặt trụ kín nên hình chiếu chính là hình tròn x2+y2≤2x 2 mặt còn lại là nửa dương và nửa âm của mặt cầu. Vì cả 2 mặt đã cho đều nhận z=0 là mặt đối xứng nên ta sẽ tính thể tích nửa phía trên và nhân đôi 22 V2 24 x y dxdy x22 y2 x Miền lấy tp là hình tròn đi qua gốc tọa độ nên ta đổi biến bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsinφ 2 2cos 2 V2 24 d r r dr 0 2
26. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 3. Vật thể giới hạn bởi 2 hình trụ kín nên ta có thể chọn 1 trong 2 hình trụ đó để chiếu xuống mặt z=0 hoặc y=0. Chẳng hạn, ta chọn chiếu xuống mặt z=0 để hình chiếu là hình tròn D: x2+y2≤1 Cả 2 hình trụ tạo nên V3 đều nhận cả 3 mặt tọa độ là các mặt đối xứng nên ta sẽ chỉ tính thể tích V3 phần ứng với x, y, z ≥ 0 rồi nhân với 8 Khi đó, hình chiếu chỉ còn là ¼ hình tròn với x, y ≥ 0 và giới hạn bởi 01 zx2 4 1 2 22 V3 81 x dxdy 8d r 1 r cos dr x22 y1, x 0, y 0 00
27. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 3a. Ta sẽ khử x từ 2 phương trình 2 mặt để tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oyz 22 6 y2 z 2 y 2 z 2 36 12( y 2 z 2 ) y 2 z 2 y 2 z 2 22 2 yz 4(1) y2 z 2 13 y 2 z 2 36 0(*) 22 yz 9(2) Do điều kiện x ≥ 0 nên ta loại trường hợp (2), như vậy hình chiếu cần tìm là hình tròn D : y2+z2≤4 Tức là ta đang lấy ngoài khoảng 2 nghiệm của tam thức (*) nên ta có bất đẳng thức tương ứng 2 y2 z 2 4 y 2 z 2 13 y 2 z 2 36 0
28. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
29. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 4. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ kín là x2+y2=4 nên ta được hình chiếu là hình tròn D: x2+y2≤4 1 2 Với 2 mặt còn lại, hiển nhiên 0 ≤ /2y nên ta được 2222 1 2 r sin 8 V4 ( y 0) dxdy d r dr 2 2 3 D 00
30. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 6. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ nhưng là trụ không kín, hình chiếu của nó xuống mp z=0 chỉ là đường parabol – đường cong không kín : y=x2. Do đó, phần còn hở của parabol phải được “đậy kín” bởi giao tuyến của 2 mặt còn lại là z=y-4=0, để hình chiếu của vật thể là D: y=x2, y=4, suy ra y≤4 trong D Còn lại 2 mặt, ta có y≤4 ↔ 0≤y-4 24 128 V(( y 4) 0) dxdy dx( y 4) dy 6 5 D 2 x2
31. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 7. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ cùng song song với Oz, có hình chiếu xuống mp z=0 là phần mp không kín x=y2, x=4y2 Do đó, phần hở giữa 2 parabol phải được “đậy kín” bởi giao tuyến của 2 mặt còn lại là z=4-x=0, để hình chiếu của vật thể là D: x=y2, x=4y2, x=4, suy ra x≤4 trong D Còn lại 2 mặt, ta có x≤4 ↔ 0≤4-x 4 x 64 V(4 x ) dxdy (4x ) dx dy 7 15 D 0 x 2
32. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 8. Trong 4 mặt đã cho, có 1 mặt trụ và 1 mp cùng song song với trục Oz là y=x2+1 và y=5, hình chiếu của 2 mặt này xuống mp z=0 cho miền D: y=x2+1, y=5 Miền D có 2 phần: bên trái ứng với x≤0 và bên phải ứng với x≥0 nên tương ứng khối V8 chia thành 2 phần với mp z=0 lúc nằm trên, lúc nằm dưới mp z=3x V8 3 xdxdy ( 3 x ) dxdy D, x 0 D , x 0 2 5 0 5 V8 dx3 xdy dx ( 3 x ) dy 0211xx22 2 2 V8 2 (4 x )3 xdx =24 0
33. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 9. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ parabol cùng song song với trục Ox cho ta hình chiếu xuống mp x=0 là miền D: z=4-y2, z=2+y2 1 4 y 2 V9 (2 ( 1)) dydz dy3 dz =8 D 1 2 y 2
34. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 11. Ta chọn nửa hình trụ x2+z2=4, z=0, z≥0 song song với trục Oy, tức là hình chiếu là D: 0≤z, x2+z2≤4 Vật thể V11 lại chia thành 2 phần: phần ứng với x≥0 thì mp y=x nằm trên, phần ứng với x<0 thì mp y=x nằm dưới so với mp y=0 V11 xdxdz() x dxdy D, x 0 D , x 0 2 2216 V d r. r cos dr d r ( r cos ) dr 11 3 0 0 0 2
35. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 12. Trong 5 mặt đã cho, có 3 mặt phẳng cùng song song với trục Oz, hình chiếu của chúng xuống mp z=0 là tam giác D: y=x, y=2x, x=1 12x 2 2 2 2 2 V12 ((2 x y ) ( x y )) dxdy dx x dy D 0 x
36. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Vậy: n f(,,) x y z dV lim f (,,) xk y k z k V k  maxd ( k ) 0 k 1 Chú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ . Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz Vì vậy ta thường dùng kí hiệu : f(,,)(,,) x y z dV f x y z dxdydz 
37. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính 6. Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục trong miền đóng, giới nội, liên thông Ω thì trong Ω tồn tại ít nhất 1 điểm M0(x0,y0,z0) sao cho : f(,,)(,,)() x y z dxdydz  f x0 y 0 z 0 V  Ta gọi giá trị trung bình của hàm f trên Ω là đại lượng 1 f(,,) x y z dxdydz V() 
38. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 1 : Tính tích phân I1 2 zdxdydz  Trong đó Ω giới hạn bởi 0 x ,0 y , x22 y z 4 Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là phần hình tròn D : x2+y2≤4, 0≤x, 0≤y Còn z giới hạn bởi x2+y2≤z ≤4, nên 4 ()z24 dxdy I1 dxdy 2 zdz xy22 D xy22 D 2 2 2 2 2 4 (16 (x y ) ) dxdy d r(16 r ) dr D 00
39. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 2 : Tính tích phân I2 () x y dxdydz  Trong đó Ω giới hạn bởi y=x2, y+z=1, z=0 Mặt trụ parabolic song song với trục Oz và tựa lên đường parabol y=x2 là mặt trụ không kín, ta cần thêm giao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳng Oxy là đường thẳng y = 1 để có được hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền đóng D Trong miền D, ta có y≤1 1 tức là 0 ≤ 1 - y nên trong D Ω mặt phẳng z = 1 – y nằm trên mặt phẳng z = 0 -1 1
40. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x trên miền Ω giới hạn bởi x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=z Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z=0 là miền D giới hạn bởi x=0, y=0, x+y=1 Miền D ứng với x+y≥0 nên ta được 0≤z ≤x+y. Vậy : I3 f(,,) x y z dxdydz xy I3 dxdy xdz D 0 11x I3 xdx dy 00
41. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Xét điểm M(x,y,z) trong không gian, N(x,y,0) là hình chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Gọi (r,φ) là tọa độ của N trong tọa độ cực thì : x = rcos φ, y = rsin φ Vậy điểm M được xác định bởi bộ ba số (r, φ, z), z chúng được gọi là tọa độ M(x,y,z) trụ của điểm M. Công z thức liên hệ giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes là r y x φ xr cos N(r,φ) yr sin zz
42. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 4: Tính tích phân I 3 zdxdydz  Trong đó Ω là miền giới hạn bởi z x2 y 2, z x 2 y 2 Miền Ω giới hạn bởi 2 mặt cong nên ta sẽ khử biến z từ 2 phương trình để tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z = 0 z x2 y 2 x 2 y 2 (x2 y 2 ) 2 x 2 y 2 0 z x22 y 0 (loại) 22 z x y 1 Suy ra, hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn xy 22 1 , tương ứng ta có
43. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Miền D
44. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ 2 xy z Vậy : I dxdy dz 5 22 xy22 1 0 xy Hình chiếu của Ω là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên tọa độ trụ bằng cách đặt xr cos yr sin zz 2rr cos sin 21 z I d rdr dz 5 r 0 0 0 2rr cos sin 21z2 I d dr 5 2 00 0
45. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ 2 xy 1 z2 I5 dxdy 22 222 xy 1 xy 0 2 x22 y 2 2 x 2 2 y 2 xy dxdy 22 xy22 1 xy Ta đang có tích phân kép trên cả hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân kép trên sang tọa độ cực thông thường và được 21 2 r22 2 2 r (cos sin ) 2 r sin cos I5 d r dr 00 r
46. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 6: Tích tích phân bội ba hàm f(x,y,z) = y2+z2 trên miền Ω giới hạn bởi y2+z2=1, y2+z2=4, x=2π, x=4π Trong 4 mặt tạo nên Ω có 2 mặt trụ cùng song song với Ox nên ta sẽ chiếu Ω xuống mặt phẳng x=0, và được miền D : 1≤ y2+z2≤4 2 mặt còn lại cho ta cận tích phân theo dx: 2π≤x ≤4π 4 22 22 I6 dydz() y z dx (y z ).2 dydz D 2 14yz22 22 22 I6 2 d r . r dr 15 01
47. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Khi đó, ta dễ dàng tính được x sin  cos y sin  sin z cos Ngược lại, ta có công thức chuyển từ tọa độ cầu sang tọa độ Descartes như sau x2 y 2 z 2 y tan x xy22 tan z
48. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 7 : Tính tích phân I6 2 yzdxdydz  Trong đó Ω giới hạn bởi x2 y 2 z 2 1, x 0, y 0, z 0 Ta đổi sang tọa độ cầu bằng cách đặt x = ρsinθcosφ, y= ρsinθsinφ, z = ρcosθ ρ ≤ 1 Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn D: x2+y2≤1 ,0≤x, 0≤y nên ta được 0 ≤ φ ≤ π/2 Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz bởi mặt x = y ta được ½ hình tròn với z ≥ 0 (D1) nên 0 ≤ θ ≤ π/2 Trong miền D1, đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ra ta chỉ gặp 1 đường cong tức là đi trong Ω ta chỉ gặp mặt cầu với phương trình x2 y 2 z 2 1
49. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 8: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y xy22 trên miền Ω giới hạn bởi z2 1, x 0, y 0, z 0 49 Miền lấy tích phân là 1 phần ellipsoid nên ta sẽ đổi tích phân sang tọa độ cầu mở rộng bằng cách đặt : x sin  cos 2 x 2 sin  cos y sin  sin y 3 sin  sin 3 z cos z cos thì định thức Jacobi J 2.3. 2 sin 6 2 sin xy22 và z2 1 1 4 9
50. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D Hình chiếu z
51. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu z 0≤θ≤π/20 ≤θ≤π/2 Miền D
52. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 xy22 I9 dxdy() x y dz 22 xy1 xy22 2 2 2 2 I9 ( x y )( 2 x y x y ) dxdy xy221 21 2 I9 d r( r cos r sin )( 1 r r ) dr 00 21 22 I9 (cos s in ) d r ( 1 r r ) dr 00 I9=0
53. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu sau đó là cận của tích phân theo dz để có mặt giới hạn trên, giới hạn dưới với chú ý x2+y2=r2 : 0≤z≤4-x2-y2 và cuối cùng xem xét đến hàm dưới dấu tích phân để đổi về tọa độ Oxyz : f(,,) x y z r x22 y Vậy: 1 x2 y 24 x 2 y 2 22 I10 dx dy x y dz 10 xy22
54. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Cận tích 2 2 2 2 2 2 2 x y z a phân theo a x y z 0 dz là z 0 cho ta ½ hình cầu nằm phía dưới mặt phẳng z = 0 Cắt dọc miền lấy tích phân bởi mặt phẳng chứa trục Oz là x = 0 ta được ½ hình tròn y2+z2≤a2, z≤0 Suy ra π/2 ≤ θ ≤ π và 0≤ ρ≤a -a z Cuối cùng thay x=ρsinθcosφ vào 3 2 a 2 I11 d d  sin  . sin  cos d a 0 22 -a
55. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 1 2 2 1 2 sin 2 1 sin I d d2 sin . d ddsin 4 12 4 00 0 0 4 4 112 2 12 2 d cos I d d d 12 4 sin3 4 (1co s22 ) 0 0 4 4 1 2 1 I ( 2 ln ) 12 2221
56. §2. Tích phân bội ba – UD hình học Thể tích miền Ω được tính bởi V( ) 1. dxdydz  Ví dụ 13: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi y x, y 2 x , x z 6, z 0 Hai mặt trụ song song với trục Oz là y = √x, y = 2√x tựa lên 2 đường parabol, ta lấy thêm đường thẳng giao tuyến của mặt phẳng x + z =6 với mặt phẳng z = 0 để được miền đóng D là hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy. D: 0≤x≤6, √x≤y≤2√x
57. §2. Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 14: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi 1 x2 y 2 z 2 4, x y Ta sẽ tính thể tích bằng cách đổi tích phân bội ba V() dxdydz sang tọa độ cầu bình thường  Hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oxy là nửa hình tròn D: x22 y 4, x y D π/4 ≤ φ ≤ 5π/4 Cắt dọc Ω bằng mặt phẳng chứa trục Oz là y = x ta được miền D1 là hình vành khăn
58. §2. Tích phân bội ba – UD hình học D D1
59. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 4 2cos I14 d d  sin  d 0 0 0 1 0 ≤ θ ≤π/4 1