Giáo trình Giải tích 2 - Chương 3: Tích phân đường

Nội dung text: Giáo trình Giải tích 2 - Chương 3: Tích phân đường

1. §1: Tham số hóa đường cong 1. Đường cong trong mặt phẳng: thường được cho bằng 2 cách x x() t a. Cho bởi pt tham số y y() t b. Cho bởi pt y=y(x): Ta thường đặt x=t thì pt tham số sẽ là xt y f() t Trường hợp đặc biệt: Có 2 trường hợp a. Viết phương trình tham số của đường tròn (x-a)2+(y-b)2=R2 ta sẽ đặt x a Rcos t y b Rsin t
2. §1: Tham số hóa đường cong f( x , y , z ) 0 b. Cho là giao tuyến của 2 mặt cong: g( x , y , z ) 0 Khi đó, thông thường ta sẽ đặt 1 trong 3 biến bằng t, thay vào 2 phương trình trên để được hpt với 2 pt và 2 ẩn là 2 biến còn lại. Giải hpt đó theo tham số t, ta sẽ ra 2 biến còn lại cũng tính theo t
3. §1: Tham số hóa đường cong Tuy nhiên, trong một số trường hợp thông thường hay gặp, ta sẽ có cách tham số hóa từng đường cong cụ thể tùy vào những điểm đặc biệt của chúng Ví dụ 3: Viết pt tham số của 2 đường cong C1, C2 là giao tuyến của x2+y2+z2=2, z2=x2+y2 Ta có: x2 y 2 z 2 2 xy221 z2 x 2 y 2 z 1 Tức là C1, C2 vừa là giao tuyến của mặt cầu và mặt nón vừa là giao tuyến của mặt trụ với 2 mặt phẳng. Nói cách khác: C1, C2 là 2 đường tròn đơn vị nằm trên 2 mp đối xứng nhau qua mp z=0.
4. §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 4: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=a2, x=y Thay x=y vào phương trình mặt cầu Ta được: 2x2+z2=a2 , là pt của đường ellipse. Tức là C là đường ellipse 2x2+z2=a2 trên mp x=y Đặt 2x2=a2cos2t thì suy ra z2=a2sin2t. Vậy ta được: a x2 y 2 z 2 a 22 x 2 z 2 a 2 x ycos t 2 x y x y z asin t
5. §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 6: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=6z và z=3-x Ta viết lại pt mặt cầu : x2+y2+(3-z)2=9 Thay 3-z=x vào để được C là đường ellipse 2x2+y2=9 trên mp x=3-z Đặt 2x2=3cos2t, thì y2=3sin2t Vậy: 3 xtcos x2 y 2 z 26 z 2 x 2 y 2 9 2 yt3sin z33 x z x 3 zt3 cos 2
6. §2: Tích phân đường loại 1 Định nghĩa: Cho hàm f(x,y) xác định trên cung AB. Chia cung AB thành n phần tùy ý bởi các điểm chia A=A0, A1, A2, An=B Trên mỗi cung nhỏ AkAk+1 có độ dài là Δlk lấy 1 điểm Mk(xk,yk) bất kỳ n Cho max Δlk → 0, nếu Lập tổng S f(,) x y l n k k k Sn có giới hạn hữu k 0 hạn không phụ thuộc An B cách chia cung AB và Mk cách lấy điểm Mk thì yk A A A 1 k k+1 giới hạn đó được gọi A 0A là tp đường loại 1 của hàm f(x,y) dọc cung xk AB
7. §2: Tích phân đường loại 1 Các tính chất: Các hàm f, g khả tích trên cung AB Tính chất 1: TP đường loại 1 không phụ thuộc vào hướng của đường lấy tp, tức là f(,)(,) x y dl f x y dl AB BA Tính chất 2: Với λ, μ là các hằng số thì λf+ μg cũng khả tích trên AB và ()f g dl fdl gdl AB AB AB Tính chất 3: Cho C là điểm bất kỳ trên cung AB thì fdl fdl fdl AB AC CB
8. §2: Tích phân đường loại 1 Ta chia thành 3 trường hợp nếu cung AB trong mp Oxy: TH1: Cung AB có pt y=y(x), x1≤x≤x2 thì x2 2 f( x , y ) dl f ( x , y ( x )) 1 yx dx AB x1 TH2: Cung AB có pt x=x(t), y=y(t), t1≤t≤t2 thì t2 22 f( x , y ) dl f ( x ( t ), y ( t )) xtt y dt AB t1 TH3: Cung AB có pt r=r(φ), φ1≤φ≤ φ2 thì : 2 f( x , y ) dl f ( r ( )cos , r ( )sin ) r ( )22 r ( ) d AB 1
9. §2: Tích phân đường loại 1 Ví dụ 1: Tính tích phân đường loại 1 trên biên của ΔABC với A(1,1), B(3,3), C(1,5) của hàm f(x,y)=x+y Biên của ΔABC gồm 3 đoạn AB: y=x, 1≤x ≤3, BC: y=6-x, 1≤x ≤3, CA: x=1, 1≤y≤5 I1=IAB+IBC+ICA Trên đoạn AB: thay y=x và 5 C 1yx2 ( ) 2 Ta được : 3 B 3 IAB ( x x ) 2 dx 82 1 1 A 1 5
10. §2: Tích phân đường loại 1 22 Ví dụ 2: Tính I2 () x y dl Với C là phần đường C tròn x2+y2=4, x≥0, y≤0 Có 3 cách để tính tp I như sau 2 2 Cách 1: Tính y4 x2 ,0 x 2 Suy ra 2 1yx2 ( ) 4 x2 2 2 Vậy: I ( x22 (4 x )) dx -2 2 2 0 4 x 2 2 I2 2 (8sin t 4) dt =0 xt2sin 0
11. §2: Tích phân đường loại 1 Ví dụ 3: Tính I3 2 xzdl Với C là giao tuyến của C x2+y2+z2=4, x2+y2=1,z≥0 Đây là tp đường loại 1 trong không gian nên ta bắt buộc phải viết pt tham số của C Thay x2+y2=1 vào pt mặt cầu ta được z 3 Nên ta đặt x=cost, để có y=sint Suy ra x2( t ) y 2 ( t ) z 2 ( t ) 1 Vậy : 2 I3 2.cos t . 3.1 dt =0 0
12. §2: Tích phân đường loại 2- Cách tính Định nghĩa: Cho hàm P(x,y), Q(x,y) xác định trên cung AB trong mp Oxy Chia cung AB thành n phần tùy ý bởi các điểm chia A=A0, A1, A2, An=B, Ak(xk,yk) Trên mỗi cung nhỏ AkAk+1 lấy 1 điểm Mk bất kỳ, đặt Δxk=xk+1-xk, Δyk=yk+1-yk , Δlk là độ dài cung n Lập tổng Sn P()() M k x k Q M k y k k 0 An B Mk Δyk A1 Ak Ak+1 A 0A Δxk
13. §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính Tính chất : Tích phân đường loại 2 đổi dấu nếu hướng đi trên cung AB thay đổi Pdx Qdy Pdx Qdy AB BA Trường hợp đường lấy tp là đường cong kín C, ta quy ước hướng dương trên C là hướng mà khi đi dọc C thì miền giới hạn bởi C nằm về bên trái. Hướng âm là hướng ngược với hướng dương
14. §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính Ví dụ 1: Tính tích phân I1 đi từ A(0,0) đến B(1,1) của 2 hàm P=x2 và Q=xy theo các đường 1.Đường thẳng 2.Parabol y=x2 3.Đường tròn x2+y2=2x 1. AB là đoạn thẳng y=x, x từ 0 đến 1 1 1 2 2 2 I1 x dx xydy() x x dx AB 0 1
15. §2: Tích phân đường loại 2 – Cách tính Ví dụ 2: Tính tp đường loại 2 của 2 hàm P=x2+2y và Q=y2 trên đường cong C : y=1-|1-x| với x đi từ 0 đến 2 xx,1 Ta viết lại pt đường cong C: y 2xx ,1 1 Vậy : I2 Pdx Qdy 1 2 C 12 2 2 2 2 I2 ( x 2) x x dx ( x 2(2 x ))(2 x )(1) dx 01
16. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green CÔNG THỨC GREEN: Mối liên hệ giữa tích phân kép và tích phân đường loại 2 Định lý Green : Cho D là miền đóng, bị chặn trong mp Oxy với biên C trơn từng khúc. Các hàm P(x,y) và Q(x,y) liên tục trong miền mở chứa D. Khi ấy ta có công thức Green Pdx Qdy() Qxy P dxdy CD Trong đó, tp kép lấy dấu “+” nếu hướng đi trên đường cong kín C là hướng dương và dấu “-” nếu ngược lại
17. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Ví dụ 4: Cho I4 (4 x 2 y ) dx (2 x 3 y ) dy C Với C chu tuyến dương của hình tròn (x-1)2+(y+1)2=4. Tính tp trên bằng 2 cách: trực tiếp và dùng công thức Green 1.Tính trực tiếp: Ta tính bằng cách viết pt tham số đường tròn đi ngược chiều kim đồng hồ x=1+2cost, y=-1+2sint, t đi từ 0 đến 2π Suy ra :
18. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 2 2 2 Ví dụ 6: Tính I5 2( x y ) dx ( x y ) dy C Với C là chu tuyến ΔABC, A(2,1), B(6,1), C(4,3) ngược chiều kim đồng hồ bằng 2 cách : Trực tiếp và dùng CT Green 1. Tính trực tiếp bằng cách viết pt tham số 3 cạnh Pt AB đi qua A(2,1)A(2,1) và vecto chỉ phương AB (4,0) C x=2+4t, y=1, t từ 0 đến 1 pt BC: x=6-2t, y=1+2t, t từ 0 đến 1 pt CA: x=4-2t, y=3-2t, t từ 0 đến 1 A B
19. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green 2. Dùng CT Green: Miền lấy tp kép D: ΔABC, dấu tp kép: +, hàm dưới dấu tp kép : Q’x-P’y=2x-2y Vậy: 3 7 y I5 dy(2 x 2 y ) dx 11y 152 C I 5 3 A B
20. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Đường cong bù thêm còn phải được chọn sao cho việc tính tp đường loại 2 của 2 hàm đã cho trên đó là dễ nhất tức là ta sẽ chọn đt song song với các trục tọa độ Với ví dụ này, ta chọn C1 là phần đt x=0 từ (0,0) đến (2,0) Như vậy, đường cong kín CUC1 là biên âm của 2 2 miền D: x +y ≤2y, x≥0 Áp dụng CT Green, ta được : Pdx Qdy() Qxy P dxdy CCD1
21. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green yx Ví dụ 7: Cho 2 hàm P( x , y ) , Q ( x , y ) x2 y 2 x 2 y 2 Tính I7 Pdx Qdy với C là chu tuyến kín, dương C 1.Của hình vuông |x|+|y|=1 2.Của hình tròn x2+y2=1 3.Không bao quanh gốc tọa độ Nhận xét : Ta có Q’x=P’y và 2 hàm P, Q đều không xác định tại gốc tạo độ O(0,0) tức là nếu đường cong C bất kỳ bao kín miền D chứa O thì ta sẽ không áp dụng được CT Green
22. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Pdx Qdy() Qxy P dxdy CCD1 Pdx Qdy Pdx Qdy CC1 xdy ydx I Đặt x=rcost, y=rsint ta được 7 r 2 C1 0 1 I7 2 rcos t . r cos tdt r sin t .( r sin tdt ) 2 r I7 = 2π
23. §2: Tích phân đường loại 2 – CT Green Chú ý: Cách làm ở câu 1. không chỉ đúng cho khi C là chu tuyến dương của hình vuông mà còn được làm tương tự khi C là đường cong bất kỳ bao gốc tọa độ. Tức là với mọi chu tuyến dương bao kín miền D chứa gốc tọa độ ta luôn có I7 = 2π 3. Do C không bao quanh gốc tọa độ nên ta áp dụng được CT Green. Vì Q’x=P’y nên ta có I7=0
24. §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi Cách làm: 1. Thông thường, ta sẽ kiểm tra điều kiện 1. hoặc 4. (nếu là hàm đã cho sẵn) 2. Nếu điều kiện 4. thỏa, ta sẽ có cách 1 để tính tp: Tìm hàm U(x,y) sao cho dU=Pdx+Qdy tức là ta đi giải hệ U’x=P, U’y=Q và thay vào tích phân (A là điểm đầu, B là điểm cuối) Pdx Qdy dU U()() B U A AB AB
25. §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi (4,2) Ví dụ 8: Tính I8 xdy ydx (2,1) Cách 1: Tìm hàm U sao cho U’x=y, U’y=x Ta được U(x,y)=xy. Nên I8 = 4.2-2.1 = 6 Cách 2: Kiểm tra điều kiện Q’x=P’y = 1, vì P=y, Q=x 42 I8 dx4 dy 2 4.1 6 21
26. §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi 10. Ta tìm hàm U(x,y,z) sao cho dU=Pdx+Qdy+Rdz 2 2 Suy ra U’x=2xy, U’y=x -z , U’z=-2yz Đạo hàm theo x của U là 2xy thì nguyên hàm chắc chắn có số hạng x2y Đạo hàm theo y của U có x2-z2 thì chắc chắn nguyên hàm có số hạng x2y-yz2 Đạo hàm theo z của U là -2yz thì chắc chắn nguyên hàm có số hạng –yz2 Tổng hợp từ 3 kết quả trên ta được hàm U(x,y,z)=x2y-yz2+C Vậy I10 = U(1,2,3)-U(0,0,0) = (1.2-2.9+C)-(C) = -16
27. §2: Tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi Ta sẽ viết lại pt trên thành pt tách biến 4dy dh dy dh 4 C ↔ -4lny+lnC=lnh yh yh C hy() y 4 Thay điều kiện h(1)=1 vào, ta được C=1. Khi đó, ta có tp không phụ thuộc đường đi (3,2) 11 I11 (2 xy 3) 42 dy dx (1,1) yy Tìm hàm U(x,y) sao cho U’y=Q, U’x=P