Giáo trình Giải tích 2 - Chương 4: Tích phân mặt

Nội dung text: Giáo trình Giải tích 2 - Chương 4: Tích phân mặt

1. Tích phân mặt loại 1 Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) trên mặt S. Chia S thành n phần tùy ý không dẫm lên nhau. Gọi tên và diện tích của mỗi mặt đó là ΔSk, k=1, 2, , n . Trên mỗi mảnh đó ta lấy 1 điểm Mk tùy ý và lập tổng n Sn f() M k S k k 1 Cho max(dΔSk) → 0 (dΔSk là đường kính của mảnh Sk), nếu tổng trên dần đến 1 giới hạn hửu hạn thì ta gọi đó là tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z) trên mặt S, kí hiệu là n f( x , y , z ) ds lim f ( Mkk ) S max(dS ) 0 S k k 1
2. Tích phân mặt loại 1 Cách tính: 22 f(,,) x y z ds f (,,(,))1 x y z x y zxy z dxdy SDxy Trong đó : Dxy là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy (z=0) Từ pt mặt S là F(x,y,z)=0 ta rút ra z theo x, y để được z=z(x,y) 22 Biểu thức 1 zxy z dxdy ds được gọi là vi phân của mặt S
3. Tích phân mặt loại 1 Đổi tp sang tọa độ cực: 21 I1 dcos sin r rdr 00 2 I 1 3
4. Tích phân mặt loại 1 C Tương tự, tp trên 2 mặt tọa độ còn lại I22 fds( x 3 z ) dxdz (y 0) OAC B O I23 fds( x 2 y ) dxdy A (z 0) OAB Cuối cùng, trên mặt x+2y+3z=6 (mp(ABC)). Ta chiếu xuống mp z=0 thì Dxy: ΔOAB , vi phân mặt : 21 4 1 14 z2 y x ds1 dxdy dxdy 33 9 9 3
5. Tích phân mặt loại 1 2 2 Ví dụ 3: Tính tp I3 của hàm f(x,y,z)=x +y +2z trên mặt S là phần hình trụ x2+y2=1 nằm trong hình cầu x2+y2+z2=2 Chú ý: Ta không thể chiếu S xuống mp z=0 được vì cả mặt trụ x2+y2=1 có hình chiếu xuống mp z=0 chỉ là 1 đường tròn x2+y2=1 Chiếu S xuống mp x=0 hay y=0 đều như nhau. Ta sẽ tìm hình chiếu của S xuống mp x=0 bằng cách 2 2 khử x từ 2 pt 2 mặt và được Dyz: y ≤1, z ≤ 1 Khi đó, ta viết x theo y, z từ pt mặt S: xy1 2
6. Tích phân mặt loại 1 Ví dụ 4: Tính diện tích S4 của phần mặt paraboloid y=1-x2-z2 nằm phía trên mp y=0 Với y≥0, ta được hình chiếu xuống mp y=0 của 2 2 paraboloid là Dxz : x +z ≤1 Pt mặt S: yx2 y1 x22 y x yzz 2 Vậy: 22 S4 ds1 4 x 4 z dxdz SD4 xz 21 2 S4 d r14 r dr 125 1 00 6
7. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Mặt định hướng : Mặt S được gọi là mặt định hướng hay là mặt 2 phía nếu tại điểm M bất kỳ của S xác định được vecto pháp đơn vị sao cho hàm vecto nM () liên tục trên S Khi ta chọn 1 hàm vecto xác định, ta nói ta đã định hướng xong mặt S, vecto đã chọn là vecto pháp dương. Phíc tương ứng của mặt S là phía mà khi ta đứng trên phía ấy, vecto pháp ứng từ chân lên đầu Mặt S trơn cho bởi pt F(x,y,z) là mặt định hướng được với pháp vecto đơn vị là F n ||F
8. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Ví dụ 1: Tính pháp vecto của mặt S với S là phía trên mặt phẳng x+2y+4z=8 Pt mặt S: F(x,y,z) = x+2y+4z-8(=0) 2 → F (1,2,4) n Hướng của mặt S là phía trên tức là vecto pháp cùng hướng với nửa dương trục Oz, nên: 4 g(,) Oz n → cosγ>0 2 8 Vậy dấu cần lấy là “+’ để tọa 1 n (1,2,4) độ thứ 3 là dương. 21
9. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt (,,)x y z n R Khi đó, 2 góc α, β là nhọn hay tù sẽ phụ thuộc vào x, y là dương, hay âm Với x≥0: thành phần thứ nhất dương tức là cosα≥0 → α≤π/2 và x≤0: cosα≤0 → α≥π/2 π π Với y≥0: cosβ≥0 → β≤ /2 và y≤0: cosβ≤0 → β≥ /2
10. Tích phân mặt loại 2 – Pháp vecto của mặt Ví dụ 4: Tìm pháp vecto của mặt S là phía dưới của mặt trụ z=x2 Pt mặt S: F(x,y,z)=x2-z(=0) Fx(2 ,0, 1) Mặt S là phía dưới tức là pháp vecto ngược với hướng nửa dương trục Oz, tức là γ>π/2 → cosγ<0 Vậy để tọa độ thứ 3 của pháp vecto âm , ta sẽ chọn (2x ,0, 1) dấu “+” n 41x2
11. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Định nghĩa: Cho các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng S với pháp vecto đơn vị n (cos ,cos ,cos ) Tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z)=Pcosα+Qcosβ+Rcosγ trên mặt S được gọi là tp mặt loại 2 của 3 hàm P, Q, R trên mặt S và kí hiệu là Pdydz Qdzdx Rdxdy Pcos Q cos R cos ds SS Cách tính: Có 2 cách Cách 1: Tìm pháp vecto của mặt S n (cos ,cos ,cos ) Thay vào công thức trên, tức là đưa về tp mặt loại 1
12. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Đặc biệt: Nếu S là phần mặt song song với trục Ox π thì góc α= /2 tức là cosα=0, Suy ra I Pdydz 0 S Tính tương tự cho 2 tp còn lại
13. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính 21 22 2 Vậy I11 1 x y dxdy d r1 r dr Dxy 00 Tương tự, trên mặt S2 ứng với z≤0 22 S1 z1 x y Pháp vecto hướng ra ngoài tức là quay xuống dưới nên γ≥π/2 → cosγ≤0, tp kép lấy dấu “-” Hình chiếu Dxy: x2+y2≤1 S 22 2 I121 x y dxdy I 11 Dxy 4 Vậy : I 1 3
14. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Ví dụ 2: Cho S là phía trên mặt trụ z=x2 giới hạn bởi các mặt : y=0, y=1, z=1, z=0. Tính I2 zdxdy yzdydz xyzdzdx S Do S là phần mặt trụ z=x2 song song với trục Oy nên I23 xyzdxdz 0 S Ghi nhớ: Pt mặt S chỉ chứa x, z thì Rdzdx 0 S Pt mặt S: F(x,y,z)=z-x2=0 suy ra Fx( 2 ,0,1) S là phía trên mặt trụ tức là pháp vecto hướng lên π trên: γ≤ /2, cosγ≥0. Vậy ta lấy dấu “+” cho pháp vecto
15. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính ( 2x ,0,1) Pháp vecto đơn vị của S n 41x2 Tp theo dydz I22 yzdydz Pt mặt S: z=x2 S Hình chiếu xuống mp Oyz là Dyz: 0≤z≤1, 0≤y≤1 Tọa độ thứ nhất của pháp vecto phụ thuộc vào x nên ta sẽ chia S thành 2 phần ứng với x≥0 và x≤0 I22 yzdydz yzdydz S, x 0 S , x 0 Pt mặt trụ chẵn đối với x, 4 mặt cắt trụ đều có pt không chứa x nên mặt S nhận x=0 là mặt đối xứng. tức là hình chiếu Dyz của 2 phần mặt (S,x≥0) và (S,x≤0) như nhau → miền lấy tp của 2 tp trên như nhau
16. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính Ví dụ 3: Cho S là phía trên mặt nón z2=x2+y2, 0≤z≤1. 22 Tính I3 z dxdy zdydz y dzdx S Do z≥0 nên pt mặt S là F(,,) x y z x22 y z xy F ( , , 1) x2 y 2 x 2 y 2 Ta lấy S là phía trên mặt nón tức là γ≤π/2 → cosγ≥0 Vậy pháp vecto của S là 1 xy n ( , , 1) 2 x2 y 2 x 2 y 2 1 xy n ( , ,1) 2 x2 y 2 x 2 y 2
17. Tích phân mặt loại 2 – Cách tính 1 xy nS ( , ,1) 2 x2 y 2 x 2 y 2 x Tính tp theo dydz : I zdydz, cos 32 22 S 2(xy ) Vì cosα phụ thuộc vào x nên ta phải chia S thành 2 phần ứng với x≥0 và x≤0, 2 phần đó đối xứng nhau qua mp x=0 vì pt S là chẵn đối với x 2 tp trên 2 phần đó, khi chuyển sang tp kép sẽ có hàm dưới dấu tp cùng là f(x,y,z)=z, hình chiếu cùng là Dyz: -z≤y≤z, 0≤z≤1 nhưng trái dấu nhau vì 2 nửa cho ta 2 pháp vecto ngược nhau Vậy I32=0
18. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Công thức Gauss – Ostrogratxki: Cho miền V đóng, bị chặn trong không gian có biên là mặt S trơn từng khúc. Các hàm P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong miền mở chứa V. Ta có công thức Pdydz Qdzdx Rdxdy() Px Q y R z dxdydz SV Trong đó: Tp bội 3 lấy dấu “+” nếu S là mặt biên phía ngoài V và lấy dấu “-” nếu S là mặt biên phía trong V
19. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Do đó, các tp tính theo dydz, dzdx đều chia thành 2 phần với hình chiếu như nhau và dấu tp kép trái nhau. Hơn nữa, 2 tp đó đều có hàm dưới dấu tp kép giống nhau. Ta được: x22 dydz y dzdx 0 S Tích phân trên mặt S1: pt mặt z4 x22 y Lấy phía trên mặt cầu tức là π γ≤ /2, tp kép lấy dấu “+” Hình chiếu xuống mp z=0 là Dxy: x2+y2≤2
20. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Cách 2: S là mặt biên phía ngoài miền V giới hạn bởi x2 y 2 z4 ( x 2 y 2 ) Hình chiếu của V xuống mp z=0 là hình tròn x2+y2≤1 Áp dụng CT Gauss, ta được I3 (2 x 2 y 1) dxdydz V 1 xy22 I3 dxdy(2 x 2 y 1) dz 22 Dxy xy 21 2 I3 d r( 4 r r )(2 r cos 2 r sin 1) dr 00
21. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Gauss Ví dụ 5: Cho S là mặt biên ngoài của V: x=0, y=0, z=0, x+y+z=2. Tính I5 xzdydz xzdzdx xydxdy S Cách 1: Áp dụng CT Gauss I5 ( z 0 0) dxdydz V 22x 2 xy I5 dx dy zdz 0 0 0
22. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Công thức Stokes còn được dùng ở dạng liên hệ giữa tp đường loại 2 và tp mặt loại 1 như sau Pdx Qdy Rdz C (Qx P y )cos ( P z R x )cos ( R y Q z )cos ds S Trong trường hợp C là giao của 1 mp và 1 mặt cong vì khi đó ta sẽ chọn S là phần mp bị cắt bởi mặt cong, suy ra pháp vecto của S là hằng số.
23. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Và ta sử dụng CT Stokes dưới dạng: Pdx Qdy Rdz C (Qx P y )cos ( P z R x )cos ( R y Q z )cos ds S Để được : I6 ydx zdy xdz C 111 [(0 1) (0 1) (0 1) ]ds S 333 3ds 3. S Trong đó S là diện tích mặt S, S Vậy I6 43
24. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Ví dụ 7: Tính tp I7 ydx zdy dz C Với C là giao tuyến của x2+y2+z2=4y và x=y-2 lấy cùng chiều kim đồng hồ nhìn từ phía x>0 bằng 2 cách : trực tiếp và dùng CT Stokes Cách 1: Dùng CT Stokes Chọn S là phần mp x=y-2 nằm trong hình cầu, lấy hướng ngược với nửa dương trục Ox π Suy ra α≥ /2 → cosα≤0 Pt mặt S là F(x,y,z)=x-y+2(=0) : F (1, 1,0) Vì cosα≤0, nên ta chọn dấu “-” cho pháp vecto 1 n (1, 1,0) 2
25. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Cách 2: Viết pt tham số của C x2 y 2 z 24 y 2( y 2) 2 z 2 4 C : x y22 x y xt2cos xt2 sin yt2 2cos C : yt2 sin zt2sin zt2cos t di tu 0 den 2 I7 ydx zdy dz C 2 [(2 2cost )( 2sin t ) 2sin t ] dt 0 I7 22
26. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Để tính I8, ta sẽ phải tính 2 tp : tp theo dxdy và dydz. Tức là ta sẽ phải tìm hình chiếu của S xuống 2 mp z=0 và x=0. Như vậy, ta sẽ chọn S sao cho hình chiếu của nó xuống 1 trong 2 mặt trên dễ tìm, vì khi đã chọn xong 1 trong 2 trụ là mặt S thì 1 trong 2 tp phải tính bằng 0 Ta chọn S là phần mặt trụ parabol z=y2 nằm trong trụ tròn xoay x2+y2=1 lấy phía trên, suy ra γ≤π→cosγ≥0 Pt mặt S: F(x,y,z) = y2-z Fy(0,2 , 1)
27. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Tính trực tiếp: Vì S là mặt trụ song song với Ox (Pt chỉ chứa y, z) nên tp theo dydz bằng 0. Do đó: 2 2 I8 dxdy Với cosγ>0 và hình chiếu Dxy: x +y ≤1 S Vậy : I8 dxdy Dxy
28. Tích phân mặt loại 2 – Công thức Stokes Ví dụ 8: Tính I8 ( x y ) dx (2 x z ) dy ydz C Với C là giao tuyến của x2+y2=1 và z=y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z>0 Cách 2: Tính trực tiếp bằng cách viết pt tham số của C xtcos xy221 ytsin C : zy2 ztsin2 t di tu 0 den 2 Vậy: 2 2 I8 [(cos t sin t )( sin t ) (2cos t sin t )cos t sin t .2sin t cos t ] dt 0 I8
29. Bài tập tích phân mặt I xdydz ydzdx zdxdy S là phía trên nửa mặt 1 2 2 2 S cầu x +y +z =4, z≥0 Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị của mặt S Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-4=0, z≥0, suy ra: F(2 x ,2 y ,2 z ) S là phía trên tức là pháp vecto của S cùng hướng π với nửa dương trục Oz nên γ≤ /2 → cosγ≥0 Suy ra, dấu ta lấy cho pháp vecto đơn vị là “+” 1 n( x , y , z ), z 0 2 Tiếp theo, ta có thể chọn 1 trong 2 cách: Tính trực tiếp hoặc chuyển về tp mặt loại 1
30. Bài tập tích phân mặt 12dxdy Vậy: I 4. 1 22 2 Dxy 4 xy x=rcosφ 22dr 4 dr =16π 2 y=rsinφ 004 r
31. Bài tập tích phân mặt Ta tính tp trên mặt S1 bằng cách chuyển về tp mặt loại 1 vì S1 là mặt phẳng có n1 (0,0,1) 2 I21 zdxdyy dxdz ( 1)z ds 0 S1 (z 0) Còn tp trên mặt S2 thì ta sẽ tính trực tiếp 2 I22 zdxdyy dxdz S2 Tp theo dxdy với: pt mặt z=1-x2-y2, h/c Dxy: x2+y2≤1 Pháp vecto: 1 n2 (2 x ,2 y ,1)→ cosγ>0 4xy22 4 1 22 Suy ra: I221 (1 x y ) dxdy ↔ I221 Dxy 2
32. Bài tập tích phân mặt 2 S là phía ngoài vật thể gh bởi I2 zdxdyy dxdz S 0≤z≤1-x2-y2 S là mặt cong kín phía ngoài nên ta sẽ áp dụng CT Gauss để tính I2 nhanh hơn CT Gauss: Pdydz Qdzdx Rdxdy S ()Px Q y R z dxdydz V Ta có: I2 (0 2 y 1) dxdydz V
33. Bài tập tích phân mặt 22 S là phía dưới nửa I3 y dzdx x dydz zdxdy 2 2 2 S mặt cầu x +y +z =4, z≥0 Nhận xét: Pt mặt S chẵn với 2 biến x, y nên khi tính tp theo dydz, dzdx ta sẽ chia S thành 2 nửa đối xứng có 2 pháp vecto tương ứng ngược dấu nhau. Vậy mỗi tp đó trở thành tổng 2 tp kép có miền lấy tp như nhau, hàm dưới dấu tp như nhau nhưng trái dấu nhau.
34. Bài tập tích phân mặt I4 ()()() y z dydz z x dzdx x y dxdy S S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1 Ta viết lại pt mặt S: F( x , y , z ) x22 y z ( 0) xy F , , 1 x2 y 2 x 2 y 2 S là phía ngoài nón tức là pháp vecto quay xuống dưới, cosγ≤0 nên 1 xy n , , 1 2 x2 y 2 x 2 y 2