›
›

Ôn tập cuối kỳ Giải tích 2 - Năm học 2013 - Nguyễn Hồng Lộc

Câu 3

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi x = y2, z=0, x+z = 2, y ≥0

» Cận theo biến z z = 0; z = 2 − x D»y :x = yiy > 0; x = 2(khử z)

√2 2 2-x

√2 2

V = √ dy ↓ dx !

= ƒ dy f dx f dz = ƒ dy √(2-x)dx

0 y2

0 y2

-2(2-2)-(4-yay-16/2

0

15

pdf 84 trang xuanthi 27/12/2022 3300
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Ôn tập cuối kỳ Giải tích 2 - Năm học 2013 - Nguyễn Hồng Lộc", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pdfon_tap_cuoi_ky_giai_tich_2_nam_hoc_2013_nguyen_hong_loc.pdf

Nội dung text: Ôn tập cuối kỳ Giải tích 2 - Năm học 2013 - Nguyễn Hồng Lộc

  1. 0 0 Fx 3y 3 z = − 0 = − 2 = − x Fz 3z +5 4 0 0 Fy 3x 3 z = − 0 = − 2 = y Fz 3z +5 8 0 2 0 00 0 0  3y  3(3z +5)−3y.6zzy zxy = (zx )y = − 2 = − 2 2 3z +5 y (3z +5) 21 z00 (−1, 2) = − xy 128 Câu 1 Cho z = z(x, y) thỏa z3 + 3xy + 5z = 0. Tính 0 00 zx (−1, 2), zxy (−1, 2) biết z(−1, 2) = 1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 2 / 16
  2. 0 2 0 00 0 0  3y  3(3z +5)−3y.6zzy zxy = (zx )y = − 2 = − 2 2 3z +5 y (3z +5) 21 z00 (−1, 2) = − xy 128 Câu 1 Cho z = z(x, y) thỏa z3 + 3xy + 5z = 0. Tính 0 00 zx (−1, 2), zxy (−1, 2) biết z(−1, 2) = 1 0 0 Fx 3y 3 z = − 0 = − 2 = − x Fz 3z +5 4 0 0 Fy 3x 3 z = − 0 = − 2 = y Fz 3z +5 8 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 2 / 16
  3. Câu 1 Cho z = z(x, y) thỏa z3 + 3xy + 5z = 0. Tính 0 00 zx (−1, 2), zxy (−1, 2) biết z(−1, 2) = 1 0 0 Fx 3y 3 z = − 0 = − 2 = − x Fz 3z +5 4 0 0 Fy 3x 3 z = − 0 = − 2 = y Fz 3z +5 8 0 2 0 00 0 0  3y  3(3z +5)−3y.6zzy zxy = (zx )y = − 2 = − 2 2 3z +5 y (3z +5) 21 z00 (−1, 2) = − xy 128 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 2 / 16
  4. 00 P1(0, 1), P2(−1, 0); A = zx2 = 6x + 6; 00 00 2 B = zxy = −3; C = zy2 = 6y; ∆ = AC − B Điểm dừng | ABC ∆ | Kết luận P1(0, 1) | 6 −3 6 27 | Cực tiểu P2(−1, 0) | 0 −3 0 −9 | Không phải cực trị Câu 2 Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y 3 + 3x2 − 3xy + 3x − 3y + 1  0 2 zx = 3x + 6x − 3y + 3 = 0 0 2 2 zy = 3y − 3x − 3 = 0 → x = y − 1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 3 / 16
  5. Điểm dừng | ABC ∆ | Kết luận P1(0, 1) | 6 −3 6 27 | Cực tiểu P2(−1, 0) | 0 −3 0 −9 | Không phải cực trị Câu 2 Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y 3 + 3x2 − 3xy + 3x − 3y + 1  0 2 zx = 3x + 6x − 3y + 3 = 0 0 2 2 zy = 3y − 3x − 3 = 0 → x = y − 1 00 P1(0, 1), P2(−1, 0); A = zx2 = 6x + 6; 00 00 2 B = zxy = −3; C = zy2 = 6y; ∆ = AC − B Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 3 / 16
  6. Câu 2 Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y 3 + 3x2 − 3xy + 3x − 3y + 1  0 2 zx = 3x + 6x − 3y + 3 = 0 0 2 2 zy = 3y − 3x − 3 = 0 → x = y − 1 00 P1(0, 1), P2(−1, 0); A = zx2 = 6x + 6; 00 00 2 B = zxy = −3; C = zy2 = 6y; ∆ = AC − B Điểm dừng | ABC ∆ | Kết luận P1(0, 1) | 6 −3 6 27 | Cực tiểu P2(−1, 0) | 0 −3 0 −9 | Không phải cực trị Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 3 / 16
  7. √ √ 2 2 2−x 2 2 V = R dy R dx R dz = R dy R (2 − x)dx 0 y2 0 0 y2 √ √ 2 R 2 1 4 16 2 = 2(2 − y ) − 2(4 − y )dy = 0 15 Câu 3 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2 x = y , z = 0, x + z = 2, y > 0 Cận theo biến z: z = 0; z = 2 − x 2 Dxy : x = y ; y > 0; x = 2(khử z) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 4 / 16
  8. √ √ 2 R 2 1 4 16 2 = 2(2 − y ) − 2(4 − y )dy = 0 15 Câu 3 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2 x = y , z = 0, x + z = 2, y > 0 Cận theo biến z: z = 0; z = 2 − x 2 Dxy : x = y ; y 0; x = 2(khử z) √ > √ 2 2 2−x 2 2 V = R dy R dx R dz = R dy R (2 − x)dx 0 y2 0 0 y2 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 4 / 16
  9. Câu 3 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi 2 x = y , z = 0, x + z = 2, y > 0 Cận theo biến z: z = 0; z = 2 − x 2 Dxy : x = y ; y 0; x = 2(khử z) √ > √ 2 2 2−x 2 2 V = R dy R dx R dz = R dy R (2 − x)dx 0 y2 0 0 y2 √ √ 2 R 2 1 4 16 2 = 2(2 − y ) − 2(4 − y )dy = 0 15 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 4 / 16
  10. π π 2 4 ≤ ϕ ≤ 3 ; 0 ≤ r ≤ 2; −2 ≤ z ≤ 2 − r π 2 3 2 2−r I = R dϕ R dr R (rcosϕ + 1)rdz π 0 −2 4 π 3 2 √ √ R R 2 5π+32( 3− 2) = dϕ (rcosϕ + 1)r(4 − r )dr = 15 π 0 4 Câu 4 Tính tích phân I = RRR (x + 1)dxdydz trong đó V √ V = {−2 ≤ z ≤ 2 − x2 − y 2; x ≤ y ≤ x 3} x = rcosϕ; y = rsinϕ; z = z Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 5 / 16
  11. π 3 2 √ √ R R 2 5π+32( 3− 2) = dϕ (rcosϕ + 1)r(4 − r )dr = 15 π 0 4 Câu 4 Tính tích phân I = RRR (x + 1)dxdydz trong đó V √ V = {−2 ≤ z ≤ 2 − x2 − y 2; x ≤ y ≤ x 3} x = rcosϕ; y = rsinϕ; z = z π π 2 4 ≤ ϕ ≤ 3 ; 0 ≤ r ≤ 2; −2 ≤ z ≤ 2 − r π 2 3 2 2−r I = R dϕ R dr R (rcosϕ + 1)rdz π 0 −2 4 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 5 / 16
  12. Câu 4 Tính tích phân I = RRR (x + 1)dxdydz trong đó V √ V = {−2 ≤ z ≤ 2 − x2 − y 2; x ≤ y ≤ x 3} x = rcosϕ; y = rsinϕ; z = z π π 2 4 ≤ ϕ ≤ 3 ; 0 ≤ r ≤ 2; −2 ≤ z ≤ 2 − r π 2 3 2 2−r I = R dϕ R dr R (rcosϕ + 1)rdz π 0 −2 4 π 3 2 √ √ R R 2 5π+32( 3− 2) = dϕ (rcosϕ + 1)r(4 − r )dr = 15 π 0 4 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 5 / 16
  13. π 2π 2 2cosθ I = R dϕ R dθ R rr 2sinθdr 0 π 0 4 π 2 √ R (2cosθ)4 2π = 2π 4 sinθdθ = 5 π 4 Câu 5 Tính tích phân I = RRR px2 + y 2 + z2dxdydz với V V = {x2 + y 2 + z2 ≤ 2z; z ≤ px2 + y 2} x = rcosϕsinθ; x = rsinϕsinθ; z = rcosθ π π 0 ≤ ϕ ≤ 2π; 4 ≤ θ ≤ 2 ; 0 ≤ r ≤ 2cosθ Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 6 / 16
  14. √ 2π = 5 Câu 5 Tính tích phân I = RRR px2 + y 2 + z2dxdydz với V V = {x2 + y 2 + z2 ≤ 2z; z ≤ px2 + y 2} x = rcosϕsinθ; x = rsinϕsinθ; z = rcosθ π π 0 ≤ ϕ ≤ 2π; 4 ≤ θ ≤ 2 ; 0 ≤ r ≤ 2cosθ π 2π 2 2cosθ I = R dϕ R dθ R rr 2sinθdr 0 π 0 4 π 2 R (2cosθ)4 = 2π 4 sinθdθ π 4 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 6 / 16
  15. 0 0 x x/y Qx = Py = −y2 e : tích phân không phụ thuộc đường đi.Đường đi A(0, 1) → C(0, 2) → B(−2, 2) 2 −2 2 I = R + R = R 1dy + R (x + ex/2)dx = 1 + AC CB 1 0 e Câu 6 R x/y x x/y Tính I = (x + e )dx + (1 − y )e dy với C x2 C : y = 4 + 1 đi từ điểm A(0, 1) đến B(−2, 2). Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 7 / 16
  16. 2 −2 2 = R 1dy + R (x + ex/2)dx = 1 + 1 0 e Câu 6 R x/y x x/y Tính I = (x + e )dx + (1 − y )e dy với C x2 C : y = 4 + 1 đi từ điểm A(0, 1) đến B(−2, 2). 0 0 x x/y Qx = Py = −y2 e : tích phân không phụ thuộc đường đi.Đường đi A(0, 1) → C(0, 2) → B(−2, 2) I = R + R AC CB Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 7 / 16
  17. Câu 6 R x/y x x/y Tính I = (x + e )dx + (1 − y )e dy với C x2 C : y = 4 + 1 đi từ điểm A(0, 1) đến B(−2, 2). 0 0 x x/y Qx = Py = −y2 e : tích phân không phụ thuộc đường đi.Đường đi A(0, 1) → C(0, 2) → B(−2, 2) 2 −2 2 I = R + R = R 1dy + R (x + ex/2)dx = 1 + AC CB 1 0 e Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 7 / 16
  18. R R RR 0 0 R I = − = − (Qx − Py )dxdy − C+BA BA D BA 1 RR R 4 −5π I = − 5dxdy − (5y − 5)dy = 2 + 8 x2+y2≤1;x≥0 −1 Câu 7 Tính I = R (y 5ex − 5y)dx + (5y 4ex − 5)dy với C C : x = p1 − y 2 đi từ điểm A(0, 1) đến B(0,-1). 0 4 x 0 4 x Qx = 5y e ; Py = 5y e − 5: thêm vào đường đi từ B đến A để được đường kín và áp dụng Green Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 8 / 16
  19. 1 RR R 4 −5π I = − 5dxdy − (5y − 5)dy = 2 + 8 x2+y2≤1;x≥0 −1 Câu 7 Tính I = R (y 5ex − 5y)dx + (5y 4ex − 5)dy với C C : x = p1 − y 2 đi từ điểm A(0, 1) đến B(0,-1). 0 4 x 0 4 x Qx = 5y e ; Py = 5y e − 5: thêm vào đường đi từ B đến A để được đường kín và áp dụng Green R R RR 0 0 R I = − = − (Qx − Py )dxdy − C+BA BA D BA Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 8 / 16
  20. Câu 7 Tính I = R (y 5ex − 5y)dx + (5y 4ex − 5)dy với C C : x = p1 − y 2 đi từ điểm A(0, 1) đến B(0,-1). 0 4 x 0 4 x Qx = 5y e ; Py = 5y e − 5: thêm vào đường đi từ B đến A để được đường kín và áp dụng Green R R RR 0 0 R I = − = − (Qx − Py )dxdy − C+BA BA D BA 1 RR R 4 −5π I = − 5dxdy − (5y − 5)dy = 2 + 8 x2+y2≤1;x≥0 −1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 8 / 16
  21. I = RR dS = RR p1 + (2x)2 + (2y)2dxdy S Dxy 2π 3 √ = R dϕ R 1 + 4r 2rdr 0 0 3 √ 1 2 2 2 3 π = 2π 8 3(1 + 4r ) |0 = 6 (37 37 − 1) Câu 8 Tìm diện tích phần mặt z = x2 + y 2 nằm dưới phần mặt z = 9 2 2 2 2 Mặt chính: z = x + y . Dxy : khử z, x + y ≤ 9 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 9 / 16
  22. 2π 3 √ = R dϕ R 1 + 4r 2rdr 0 0 3 √ 1 2 2 2 3 π = 2π 8 3(1 + 4r ) |0 = 6 (37 37 − 1) Câu 8 Tìm diện tích phần mặt z = x2 + y 2 nằm dưới phần mặt z = 9 2 2 2 2 Mặt chính: z = x + y . Dxy : khử z, x + y ≤ 9 I = RR dS = RR p1 + (2x)2 + (2y)2dxdy S Dxy Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 9 / 16
  23. √ π = 6 (37 37 − 1) Câu 8 Tìm diện tích phần mặt z = x2 + y 2 nằm dưới phần mặt z = 9 2 2 2 2 Mặt chính: z = x + y . Dxy : khử z, x + y ≤ 9 I = RR dS = RR p1 + (2x)2 + (2y)2dxdy S Dxy 2π 3 √ = R dϕ R 1 + 4r 2rdr 0 0 3 1 2 2 2 3 = 2π 8 3(1 + 4r ) |0 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 9 / 16
  24. 2 2 2 2 z = 1 − x − y ;Dxy : x + y ≤ 1 I = − RR (−Pz 0 − Qz 0 + R)dxdy Dxy x y = − RR [−y(−2x)−x(−2y)+(1−x2−y 2)]dxdy Dxy 2π 1 π = R dϕ R (r 2 − 4r 2 sin ϕ cos ϕ − 1)rdr = − 0 0 2 Câu 9 Tính RR ydydz + xdzdx + zdxdy với S là phần S mặt z = 1 − x2 − y 2 nằm phía trên mặt z = 0,hướng xuống so với trục Oz Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 10 / 16
  25. = − RR [−y(−2x)−x(−2y)+(1−x2−y 2)]dxdy Dxy 2π 1 π = R dϕ R (r 2 − 4r 2 sin ϕ cos ϕ − 1)rdr = − 0 0 2 Câu 9 Tính RR ydydz + xdzdx + zdxdy với S là phần S mặt z = 1 − x2 − y 2 nằm phía trên mặt z = 0,hướng xuống so với trục Oz 2 2 2 2 z = 1 − x − y ;Dxy : x + y ≤ 1 I = − RR (−Pz 0 − Qz 0 + R)dxdy Dxy x y Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 10 / 16
  26. π = − 2 Câu 9 Tính RR ydydz + xdzdx + zdxdy với S là phần S mặt z = 1 − x2 − y 2 nằm phía trên mặt z = 0,hướng xuống so với trục Oz 2 2 2 2 z = 1 − x − y ;Dxy : x + y ≤ 1 I = − RR (−Pz 0 − Qz 0 + R)dxdy Dxy x y = − RR [−y(−2x)−x(−2y)+(1−x2−y 2)]dxdy Dxy 2π 1 = R dϕ R (r 2 − 4r 2 sin ϕ cos ϕ − 1)rdr 0 0 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 10 / 16
  27. Mặt kín: áp dụng Gauss-Oxtrograski đưa về tích phân bội ba, sau đó áp dụng đổi biến tọa độ trụ RRR 0 0 0 I = − (Px + Qy + Rz )dxdydz V 2π 2 4−r2 I = − R dϕ R dr R (2rcosϕ + 2rsinϕ + 2)rdz 0 0 0 I = −16π Câu 10 Tính I = RR x2dydz + y 2dzdx + 2zdxdy với S là S mặt phía trong của vật thể 0 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2. Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 11 / 16
  28. 2π 2 4−r2 I = − R dϕ R dr R (2rcosϕ + 2rsinϕ + 2)rdz 0 0 0 I = −16π Câu 10 Tính I = RR x2dydz + y 2dzdx + 2zdxdy với S là S mặt phía trong của vật thể 0 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2. Mặt kín: áp dụng Gauss-Oxtrograski đưa về tích phân bội ba, sau đó áp dụng đổi biến tọa độ trụ RRR 0 0 0 I = − (Px + Qy + Rz )dxdydz V Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 11 / 16
  29. Câu 10 Tính I = RR x2dydz + y 2dzdx + 2zdxdy với S là S mặt phía trong của vật thể 0 ≤ z ≤ 4 − x2 − y 2. Mặt kín: áp dụng Gauss-Oxtrograski đưa về tích phân bội ba, sau đó áp dụng đổi biến tọa độ trụ RRR 0 0 0 I = − (Px + Qy + Rz )dxdydz V 2π 2 4−r2 I = − R dϕ R dr R (2rcosϕ + 2rsinϕ + 2)rdz 0 0 0 I = −16π Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 11 / 16
  30. 2π √ √ I = (−)(+) R 2cosϕ(− 2sinϕ) − √ √0 √ √ 2sinϕ(− 2sinϕ) + 2cosϕ( 2cosϕ)dϕ I = −4π Câu 11 Tính tích phân I = R ydx − zdy + xdz, trong đó C C x2 + y 2 là giao tuyến của 2 mặt + z2 = 2, y = x 2 lấy theo chiều kim đồng hồ nhìn từ phía x dương. √ √ √ Tham số y = 2cosϕ; z = 2sinϕ; x = 2cosϕ Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 12 / 16
  31. Câu 11 Tính tích phân I = R ydx − zdy + xdz, trong đó C C x2 + y 2 là giao tuyến của 2 mặt + z2 = 2, y = x 2 lấy theo chiều kim đồng hồ nhìn từ phía x dương. √ √ √ Tham số y = 2cosϕ; z = 2sinϕ; x = 2cosϕ 2π √ √ I = (−)(+) R 2cosϕ(− 2sinϕ) − √ √0 √ √ 2sinϕ(− 2sinϕ) + 2cosϕ( 2cosϕ)dϕ I = −4π Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 12 / 16
  32. Chọn S là phần mặt x=y nằm trong elipsoid 2 2 hướng lên so với Ox. Dyz : y + z ≤ 2 I = (+)(−) RR (P − Q x 0 − R x 0 )dydz Dyz 1 1 y 1 z I = − RR (1 − (−1).1 − 1.0)dydz = −4π Dyz Sử dụng Stock RR 0 0 0 0 I = (−) (Ry − Qz )dydz + (Pz − Rx )dzdx + S 0 0 (Qx − Py )dxdy I = − RR (0 + 1)dydz + (0 − 1)dzdx + (0 − 1)dxdy S Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 13 / 16
  33. I = − RR (1 − (−1).1 − 1.0)dydz = −4π Dyz Sử dụng Stock RR 0 0 0 0 I = (−) (Ry − Qz )dydz + (Pz − Rx )dzdx + S 0 0 (Qx − Py )dxdy I = − RR (0 + 1)dydz + (0 − 1)dzdx + (0 − 1)dxdy S Chọn S là phần mặt x=y nằm trong elipsoid 2 2 hướng lên so với Ox. Dyz : y + z ≤ 2 I = (+)(−) RR (P − Q x 0 − R x 0 )dydz Dyz 1 1 y 1 z Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 13 / 16
  34. Sử dụng Stock RR 0 0 0 0 I = (−) (Ry − Qz )dydz + (Pz − Rx )dzdx + S 0 0 (Qx − Py )dxdy I = − RR (0 + 1)dydz + (0 − 1)dzdx + (0 − 1)dxdy S Chọn S là phần mặt x=y nằm trong elipsoid 2 2 hướng lên so với Ox. Dyz : y + z ≤ 2 I = (+)(−) RR (P − Q x 0 − R x 0 )dydz Dyz 1 1 y 1 z I = − RR (1 − (−1).1 − 1.0)dydz = −4π Dyz Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 13 / 16
  35. q pn 2n n 1 5 lim |an| = lim 5 1 − | sin | = 2 < 1. n→∞ n→∞ n n e 2 bn+1 [2(n+1)+1]!! (n!) 2n+3 lim = lim 2 = lim 2 n→∞ bn n→∞ [(n+1)!] (2n+1)!! n→∞ (n+1) ∞ ∞ P P = 0 < 1. an hội tụ theo Cauchy. bn hội tụ n=1 n=1 theo D’Alembert.Chuỗi đã cho hội tụ Câu 12 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∞ 2 P h n 2n 1 (2n+1)!!i 5 1 − n sin n + (n!)2 n=1 2 n 2n 1 (2n+1)!! an = 5 1 − n sin n; bn = (n!)2 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 14 / 16
  36. 2 bn+1 [2(n+1)+1]!! (n!) 2n+3 lim = lim 2 = lim 2 n→∞ bn n→∞ [(n+1)!] (2n+1)!! n→∞ (n+1) ∞ ∞ P P = 0 < 1. an hội tụ theo Cauchy. bn hội tụ n=1 n=1 theo D’Alembert.Chuỗi đã cho hội tụ Câu 12 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∞ 2 P h n 2n 1 (2n+1)!!i 5 1 − n sin n + (n!)2 n=1 2 n 2n 1 (2n+1)!! an = 5 1 − n sin n; bn = (n!)2 q pn 2n n 1 5 lim |an| = lim 5 1 − | sin | = 2 < 1. n→∞ n→∞ n n e Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 14 / 16
  37. ∞ ∞ P P = 0 < 1. an hội tụ theo Cauchy. bn hội tụ n=1 n=1 theo D’Alembert.Chuỗi đã cho hội tụ Câu 12 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∞ 2 P h n 2n 1 (2n+1)!!i 5 1 − n sin n + (n!)2 n=1 2 n 2n 1 (2n+1)!! an = 5 1 − n sin n; bn = (n!)2 q pn 2n n 1 5 lim |an| = lim 5 1 − | sin | = 2 < 1. n→∞ n→∞ n n e 2 bn+1 [2(n+1)+1]!! (n!) 2n+3 lim = lim 2 = lim 2 n→∞ bn n→∞ [(n+1)!] (2n+1)!! n→∞ (n+1) Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 14 / 16
  38. ∞ P bn hội tụ n=1 theo D’Alembert.Chuỗi đã cho hội tụ Câu 12 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∞ 2 P h n 2n 1 (2n+1)!!i 5 1 − n sin n + (n!)2 n=1 2 n 2n 1 (2n+1)!! an = 5 1 − n sin n; bn = (n!)2 q pn 2n n 1 5 lim |an| = lim 5 1 − | sin | = 2 < 1. n→∞ n→∞ n n e 2 bn+1 [2(n+1)+1]!! (n!) 2n+3 lim = lim 2 = lim 2 n→∞ bn n→∞ [(n+1)!] (2n+1)!! n→∞ (n+1) ∞ P = 0 < 1. an hội tụ theo Cauchy. n=1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 14 / 16
  39. Câu 12 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∞ 2 P h n 2n 1 (2n+1)!!i 5 1 − n sin n + (n!)2 n=1 2 n 2n 1 (2n+1)!! an = 5 1 − n sin n; bn = (n!)2 q pn 2n n 1 5 lim |an| = lim 5 1 − | sin | = 2 < 1. n→∞ n→∞ n n e 2 bn+1 [2(n+1)+1]!! (n!) 2n+3 lim = lim 2 = lim 2 n→∞ bn n→∞ [(n+1)!] (2n+1)!! n→∞ (n+1) ∞ ∞ P P = 0 < 1. an hội tụ theo Cauchy. bn hội tụ n=1 n=1 theo D’Alembert.Chuỗi đã cho hội tụ Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 14 / 16
  40. ∞ √ ∞ √ (−1)n( 3)2n (−1)n( 3)2n+1 S = 1 P − √1 P 2 (2n)! 2 3 (2n+1)! n=1√ √ n=1 √ S = 1(sin 3 − 3) − √1 (cos 3 − 1) 2 √ √2 3 √ S = 1sin 3 − √1 cos 3 − 3 2 2 3 3 Câu 13 ∞ P n(−3)n Tính tổng của chuỗi số S = (2n+1)! n=1 ∞ ∞ 1 P (2n+1)(−3)n 1 P (−3)n S = 2 (2n+1)! − 2 (2n+1)! n=1 n=1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 15 / 16
  41. √ √ √ S = 1sin 3 − √1 cos 3 − 3 2 2 3 3 Câu 13 ∞ P n(−3)n Tính tổng của chuỗi số S = (2n+1)! n=1 ∞ ∞ 1 P (2n+1)(−3)n 1 P (−3)n S = 2 (2n+1)! − 2 (2n+1)! n=1 n=1 ∞ √ ∞ √ (−1)n( 3)2n (−1)n( 3)2n+1 S = 1 P − √1 P 2 (2n)! 2 3 (2n+1)! n=1√ √ n=1 √ S = 1(sin 3 − 3) − √1 (cos 3 − 1) 2 2 3 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 15 / 16
  42. THANK YOU FOR ATTENTION Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 2 TP. HCM — 2013. 16 / 16