Tài liệu ôn tập Giải tích 2: Chương: Tích phân bội 3

Nội dung text: Tài liệu ôn tập Giải tích 2: Chương: Tích phân bội 3

1. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN 1 TÍCH PHÂN TRONG TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC Ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân tương tự như ở tích phân kép. Điều này có nghĩa là có thể lấy tích phân theo bất kì biến nào trước tùy ý. Từ đó ta có công thức chuyển về tích phân kép như sau: ∭ ( , , ) = ∬ [∫ ( , , ) ] Ω Với Dxy là hình chiếu của Ω xuống Oxy = ∬ [∫ ( , , ) ] = ∬ [∫ ( , , ) ] Rồi từ đó ta tính tích phân kép như đã học. Ví dụ : Tính ∭ 2 √ Ω = 0; = 2 Ω là hình hộp chữ nhật giới hạn bởi { = 0; = 3 = 0; = 4 Lời giải : 4 4 2 3 ∭ 2 √ = ∬ ∫ 2 √ = ∫ √ ∫ 2 ∫ = 64 Ω 0 0 0 0 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 2
2. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN 3 TÍCH PHÂN TRONG TỌA ĐỘ CẦU 1. Tọa độ cầu cơ bản Thường Ω sẽ xuất hiên x2 + y2 + z2 = 푠푖푛휃 표푠휑 Ta đặt: { = 푠푖푛휃푠푖푛휑 = 표푠휃 0 ≤ 휃 ≤ Trong đó { trong từng bài toán các góc này sẽ bị giới hạn lại. 0 ≤ 휑 ≤ 2 Để giới hạn r, ta dùng các BĐT liên quan tới x2 + y2 + z2. Để giới hạn 휃, ta triệt tiêu x, y trong phương trinh. Có bất đẳng thức theo z. Từ đó thay z = rcos휃 để giới hạn 휃. Để giới hạn 휑, ta triệt tiêu z, nghĩa là chiếu Ω 푙ê푛 0xy Lưu ý: Jacobi: J = r2sin휽 Ví dụ 1: 2 + 2 + 2 ≤ 2 = ∭ √ 2 + 2 + 2 , 푣ớ푖 Ω { ≤ √ 2 + 2 Ω Lời giải :  Tìm r: 2 + 2 + 2 ≤ 2 0 ≤ ≤ 2 표푠휃  Tìm 휃: Chọn mặt phẳng cắt Ω chứa Oz Chọn x = 0 2 + 2 ≤ 2 1 { ≤ √ 2 + 2 = √ 2 = ± 0 ≤ 휃 ≤  ì 휑: Hình chiếu xuống Oxy là Dxy: 2 + 2 ≤ 1 0 ≤ 휑 ≤ 2 2 4 2 표푠휃 => = ∫ ∫ ∫ 3푠푖푛휃 휃 휑 0 0 0  Gợi ý dùng tọa độ cực hay tọa độ cầu: Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 4
3. [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 3: 2 + 4 2 + 9 2 ≤ 1 = ∭ √ 2 + 4 2 + 9 2 , với Ω { , , ≥ 0 Ω Lời giải : 2 2 2 Chuyển về phương trình sau: + 1 2 + 1 2 ≤ 1 ( ) ( ) 2 3 = 푠푖푛휃 표푠휑 0 ≤ ≤ 1 1 = 푠푖푛휃푠푖푛휑 0 ≤ 휃 ≤ Đặt: 2 => { 2 = 표푠휃 0 ≤ 휑 ≤ 1 2 { 3 2 1 1 1 => = ∫ ∫ ∫ . 1. . . 2 푠푖푛휃 휃 휑 = 2 3 48 0 0 0 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang 6