Bài giảng Giải tích 1 - Bài 12: Ứng dụng của tích phân xác định

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Bài 12: Ứng dụng của tích phân xác định

1. Bài toán diện tích D: a x b, y nằm giữa 0 và f(x) y= f() x a D a b b S()() D= f x dx a
2. Bài toán diện tích d D: c y d, nằm giữa 0 và f(y) x= f() y d S()() D= f y dy c c
3. Lưu ý Có thể vẽ hình các đường cong đơn giản hoặc tìm hoành độ(tung độ giao điểm) để xác định cận tích phân. •Tính hoành độ giao điểm tích phân tính theo biến x(ngược lại là tính theo y)
4. Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y= x( x − 2), y = 0 Hoành độ giao điểm: 0, 2 2 S( D )= x ( x − 2) − 0 dx 0 2 16 =x(2 − x ) dx = 0 15
5. Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi: y= x2, y = 0, x + y = 2 1 2 SD()= x2 dx +−(2x ) dx 0 1 Hoặc 1 S( D )= (2 − y ) − ydy 0 5 = 6
6. Bài toán thể tích D: a x b, y nằm giữa 0 và f(x) Quay D xung quanh Ox
7. Bài toán thể tích D: a x b, y nằm giữa 0 và f(x) y= f() x a D a b b 2 Vx = f() x dx a
8. Bài toán thể tích D: a x b, y nằm giữa f1(x) và f2(x) Miền D phải y= f2 () x nằm về 1 phía của trục Ox y= f1() x a b b 22 Vx =− f21()() x f x dx a
9. Bài toán thể tích d D: c y d, nằm giữa 0 và f(y) x= f() y c
10. Lưu ý về tính đối xứng Nếu miên D đối xứng qua Ox, D1 là phần phía trên Ox của D VDVDxx()()= 1 VDVDyy( )= 2 (1 )
11. Ví dụ Tính thể tích khi D quay quanh Ox D: y= xe−x , y = 0, x = 2 2 −x 2 Vx = xe dx 0 ( )
12. Ví dụ Tính thể tích khi D quay quanh Ox, Oy D:2 x22+ y y 2 Pt đường tròn giới hạn C: x= 2 y − y 2 1 hay yx=11 − 2
13. Ví dụ Tính diện tích miền D giới hạn bởi: 33 x=cos t , y = sin t ,0 t và trục hoành tx [0, ] [ − 1,1] 1 0 S() D= ydx =−sin32t 3cos t ( sin t ) dt −1 3 =−62 (sin46t sin t ) dt = 0 16
14. 0 V=−2 sin62 t 3cos t ( sin t ) dt x 2 =−6 2 (sin79t sin t ) dt 0 1 Vy = 2. x y dx 0 0 =−2 cos3t sin 3 t 3cos 2 t ( sin t ) dt 2
15. Ví dụ 1 Cho đường cong C: y= x( x − 12),0 x 12 6 Tính độ dài đường cong và diện tích mặt tạo ra khi C quay quanh Ox 1 x − 12 1 3xx−− 12 4 yx =+== 6 2 x 6 24xx (x − 4)2 11+y 2 = + 16x
16. Ví dụ Cho đường cong C: y=ln x , 1 x 2 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo ra khi C quay quanh Oy. y=ln x , 1 x 2 x = ey ,0 y ln2 1 2 Sy =+2 f ( y ) 1 f ( y ) dy 0 ln 2 =+21 eyy e2 dy 0
17. Bài toán độ dài cung và diện tích mặt tròn xoay với đường cong tham số Cho đường cong C: x = x(t), y = y(t), t1 t t2 t L=+2  x ()() t22 y t dt t1 t2 22 Sx =+ y()()() t x t  y t dt t1