Bài giảng Giải tích 1 - Bài 7: Đạo hàm và vi phân

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Bài 7: Đạo hàm và vi phân

1. ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM Cho y = f(x) xác định trong (a, b)  x0, xét tỷ số fx()()()()() fxfx − fx + xfx − 0== 0 0 0 x x − x0 x Nếu tỷ số trên có giới hạn hữu hạn khi x → x0 hay x → 0 thì f có đạo hàm tại x0. Đặt fx()0 fx (0 )= lim xx→ 0 x ( →x 0)
2. fx() Đạo hàm trái tại x : fx ( )= lim 0 0 − 0 − xx→ 0 x ( →x 0− ) fx() fx ( )= lim 0 Đạo hàm phải tại x : + 0 + 0 xx→ 0 x ( →x 0+ ) f có đạo hàm tại x0 f−+ ()() x00= f x
3. Ví dụ: tính đạo hàm tại các điểm được chỉ ra xxln 1/fx ( )= 2 tại x = 1 f ( x )= 2xxln ln 2( x ln x ) =+2xxln ln 2(lnx 1) f (1)= ln2
4. 2 1 xxsin , 0 3 /fx ( ) = x 0, x = 0 11 x 0 f ( x )=− 2 x sin cos xx x = 0 Tính bằng định nghĩa.
5. xx2,1 4 /fx ( ) = tại x = 1 2xx− 1, >1 f( x )− f (1) x2 −1 lim = lim − = 2 x→1 x −1 x→1− x −1 f( x )− f (1) 2x −− 1 1 lim = lim x→1+ x −1 x→1+ x −1 =f (1) 2
6. Đạo hàm hàm ngược Cho y = f(x): (a, b)→(c, d) liên tục và tăng ngặt. Khi đó tồn tại hàm ngược f −1: (c, d) → (a, b) liên tục và tăng ngặt. −1 Nếu tồn tại f ’(x0) 0, xo (a, b) thì tại y0 = f(x0), f có đạo hàm và −1 1 ()()fy 0 = fx ()0 1 Ta thường viết: ()f −1 = f
7. Bảng công thức đạo hàm các hàm mới 1 (arcsin x) = 2 coshxx = sinh 1− x ( ) 1 (arccos x) =− (sinhxx) = cosh 2 1− x 1 tanh x = 1 ( ) 2 (arctan x) = cosh x 1+ x2 1 coth x =− 1 ( ) 2 (arccot) =− sinh x 1+ x2
8. Ví dụ t Cho : x( t )=− t . e 1 Tính y’(x) tại x = -1 2 y() t=+ t t yt () 21t + yx ()= = xt () ett+ t. e x = -1 t.et – 1 = – 1 t = 0 y ( − 1) = 1
9. Ví dụ 1 Tìm đạo hàm cấp 2 của f tại x = 1: fx( )= arctan x 11 11 1 fx ()= =− 2 22=− 2 x 1 xx1+ 1+ x 1+ x x2 1 2x fx ()=− 2 = 2 1+ x (1+ x2 ) 1 =f (1) 2
10. Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản ()n n sin(ax+ b ) =asin ax +bn + 2 ()n n cos(ax + b) =acos ax + b + n 2
11. Ví dụ 1.Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1. 23x − 5 1 1 1 fx()= =+ xx2 −−2 3xx+− 1 3 2 5 (−− 1)77 1 ( 1) fx(7)()=+ 33(xx+− 1)88 ( 2) 77 (7) 5 (−− 1) 1 ( 1) 1 5 f (1)= + = − + 1 3(1+− 1)8 3 (1 2) 8 3 2 8
12. 02 (0)2xx(7) 12 (1)2 (7− 1) =C77()() x − x( e) + C x − x( e ) 7 2 (7) 2x (7− 7) + +C7 () x − x( e ) =−1.(x2 x ).2 7 e 2x +−7.(2xe 1).262x 7.6 + 22 52 e x +0 2 fe(7)(1)= 28.2 6 . 2
13. Ví dụ Cho y(t) = t2 + 1, x(t) = t3 – t + 2, tính y”(t) y ( t ) 2 t yx ()== xt () 31t 2 − 2t (yx ()) 31t 2 − yx ()= t = t xt () 31t 2 − 2(3t2 −− 1) 6 t .2 t = (3t 23− 1) −−26t = (3t 23− 1)
14. SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN f khả vi tại xo nếu tồn tại một hằng số A sao cho y = f()(). x−= f x0 A() x − x0 + o() x− x0 hay f()().() x00+ x − f x = A x + o x Khi đó đại lượng: dy= df(). x0 = A x gọi là vi phân của f tại xo
15. y M(,) x00 y dy = f () x0 x x dx
16. Ví dụ 2.Tìm vi phân của f(x) = xex tại x = 0 df(0)= f (0). dx f ( x )=+ ( x 1) ex =f (0) 1 df(0) = 1. dx = dx 2.Tìm vi phân của f(x) = xsinx df( x )= f ( x ). dx =+(sinx x cos x) dx
17. Vi phân hàm hợp Nếu y = f(x) khả vi theo x (biến độc lập): dy= f () x dx Nếu x = x(t) , y = f(x) khả vi, x = x(t) khả vi y = f(x(t)) khả vi theo t (biến độc lập): y () t== f (()) x t f ().() x x t dy = yd ()tt= f ( x ). x ( t ) dt = f () x dx Dù x là biến độc lập hay hàm số, dạng vi phân của y theo x không đổi.
18. Cách khác: dùng vi phân hàm hợp dy== y ( x ) dx 2 x cos( x2 ) dx (dx= x () t dt ) = 2x cos( x2 ).( arctan t) dt 1 =2x cos( x2 ) dt 1+ t 2 Tại t = 1, x = /4 2 =dycos dt 4 16
19. Ví dụ Cho y = sin(x) 1.Tính d2y theo dx. 2.Nếu x = ch(t), tính d2y theo dt. 1. d22 y= y ( x ) dx =−sin xdx2 2. yt= sin( cosh ) d22 y= y () t dt 22 =− cosht cos( cosh t) sinh t sin( cosh t) dt
20. Tổng kết. 1.Tính đạo hàm cho 2 loại hàm số (y = f(x), tham số). 2.Nếu x là biến độc lập: tính vi phân là tính đạo hàm 3. Nếu x = x(t) (là hàm số): 1.Vi phân cấp 1 : dy = y’(x)dx, sau đó khai triển dx theo dt 2.Vi phân cấp 2: d2y = y”dx2 + y’d2x cuối cùng phải đưa về dt2(chỉ tính đến cấp 2)