Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Giới hạn và liên tục

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Giới hạn và liên tục

1. CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 3.1 Đạo hàm hàm y=f(x), hàm ngược, hàm cho bởi phương trình tham số 3.2 Đạo hàm cấp cao 3.3 Vi phân, vi phân cấp cao 3.4 Công thức Taylor – Maclaurint. Ứng dụng tính giới hạn hàm 3.5 Quy tắc L’Hospital 3.6 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm y=f(x) 3.7 Giới thiệu phần mềm MatLab để giải bài toán giải tích
2. CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
3. 2.1 Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học Khi a>1: Hàm đồng biến limaaxx , lim 0 xx So sánh 3 hàm y=2x, y=ex, y=3x
4. 2.1 Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học 0<a<1: Hàm nghịch biến lim loga x x 0 lim loga x x Tính chất: y loga (x . y ) log a x log a y y loga x  x a x log (ax )  x , x log logxy log a ay a a loga x a x,0  x r logaa (x ) r log x ,  r R
5. 2.1 Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học Hàm lũy thừa : y=xa MXĐ, MGT : Tùy thuộc vào a a=2, 4, 6: MXĐ: (- ∞,+∞), a=3, 5: MXĐ: (- ∞,+∞), MGT: [0,+∞) MGT: (- ∞,+∞)
6. 2.1 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Hàm hợp : Cho 2 hàm g:,: X Y f Y Z Ta gọi hàm hợp của 2 hàm trên là h f g Được xác định như sau : h: X Z , h ( x ) f ( g ( x ))
7. 2.1 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Ví dụ : Cho 2 hàm f( x ) x , g ( x ) 3 x 1 Tìm các hàm và MXĐ của chúng f g,,, g f f f g g f g( x ) f ( g ( x )) f (36 x 1) x 1 MXĐ là [1,+∞) 3 g f( x ) g ( x ) x 1 MXĐ là [0, +∞) f f( x ) f ( f ( x )) f ( x ) x 4 x MXĐ là [0, +∞) g g() x g (()) g x g (33 x 1) 3 x 11 MXĐ là R
8. 2.1 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Hàm y=x3 là hàm 1-1 Hàm y=x2 không là hàm 1-1 Hàm 1-1 có đồ thị chỉ cắt mọi đường thẳng y = C, với C thuộc MGT của hàm tại duy nhất 1 điểm.
9. 2.1 Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Ví dụ: Tìm hàm ngược của hàm y = x3 - 1 Ta sẽ tìm hàm y = f-1(x) bằng cách tính x theo y y x3 11 x 3 y Thay x bởi y, y bởi x, ta được hàm ngược y f 1( x ) 3 x 1 3 f fx 1( ) f( f 1 ( x )) f (33 x 1) x 1 1 x MXĐ và MGT của cả 2 hàm f và f -1 đều là R
10. Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Với mọi a thuộc MXĐ của hàm y = f(x), đặt b = f(a) thì a = f-1(b) tức là điểm (a,b) thuộc đồ thị hàm f(x) thì điểm (b,a) thuộc đồ thị hàm f-1(x). Đồ thị của hàm y = f(x) và hàm y=f-1(x) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
11. Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol Hàm ngược của hàm y = sinx : hàm y=arcsinx Trên đọan Hàm y = sinx là hàm 1-1 Tồn tại hàm ngược là hàm y=arcsinx Hàm y=arcsinx có MXĐ là [-1.1] MGT là , 22
12. 2.1 Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược Hàm ngược của hàm y = cosx : hàm y=arccosx Trên đoạn [0,π], hàm y=arccosx, MXĐ là y=cosx là hàm 1-1, tồn tại [-1,1], MGT là [0,π] hàm ngược y arccos x x cos y 1 1 2 arccos(0) ,arccos( ) ,arccos( ) 22 4 2 3
13. 2.1 Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược Hàm ngược của hàm y = cotx : hàm y=arccotx Trên khoảng (0,π) hàm là hàm 1-1 Hàm y=arccotx có MXĐ là R, MGT là (0,π) y cot x x arc cot y 15 arccot(0) 0, arc cot( ) , arc cot( 3) 3 36
14. 2.1 Giới hạn & liên tục – Hàm hyperbolic Hàm y = coshx (chx) Hàm y = sinhx (shx)
15. 2.1 Giới hạn & liên tục – Hàm hyperbolic Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác) 1/ ch2x – sh2x = 1 2/ sh(2x)=2shx.chx, ch(2x) = ch2x + sh2x 3/ ch(x+y) = chx.chy + shx.shy 4/ ch(x-y) = chx.chy - shx.shy 5/ sh(x+y) = shx.chy + shy.chx 6/ sh(x-y) = shx.chy - shy.chx
16. 2.2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số (ngôn ngữ ε – δ) : Cho hàm f(x) và x0 là 1 điểm tụ của MXĐ Df của hàm limf ( x ) a   0   0 xx 0 x Df , x x0  | f ( x ) a | . Chú ý: a+ε Hàm f(x) có thể a y=a+ε không xác định tại x0 y=a-ε a-ε x0 x0-δ x0+δ
17. 2.2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số (ngôn ngữ dãy): Cho x0 là điểm tụ của MXĐ Df của hàm f(x) n limf ( x ) a (),xDnf xn x0, x n  x o xx 0 n f() xn  a Chú ý: Ta thường dùng định nghĩa bằng ngôn ngữ dãy để chứng minh giới hạn hàm không tồn tại ' bằng cách chỉ ra 2 dãy (xnn ),( x ) x0 ' sao cho 2 dãy tương ứng f( xnn ), f ( x ) có 2 giới hạn khác nhau
18. 2.2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn ở vô cực : limf ( x ) a   0  A 0 y=a x x Df , x A | f ( x ) a |  . y=a limf ( x ) a  B 0 x x Df , x B | f ( x ) a |  .
19. 2.2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Tính chất của giới hạn hàm Cho : limf ( x ) a , lim g ( x ) b x x00 x x 1) lim ( fa ) , R 2) lim (f g ) a b xx 0 xx 0 fa 3) lim (f g ) a  b 4) lim , b 0 xx 0 xx 0 gb 5) x V ( x0 ), f ( x ) g ( x ) a b f()()() x g x h x 6) limg ( x ) a (Định lý kẹp) limf lim h a xx 0 x x00 x x
20. 2.2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn dạng u(x)v(x) : Giả sử : limu ( x ) a 0 xx 0 limv ( x ) b xx 0 Ta có : vx() v( x )ln u ( x ) limv ( x )ln( u ( x )) lim u ( x ) lim e exx 0 x x00 x x eabln a b. limvx ( ) Vậy: limu ( x )vx() lim u ( x )xx 0 x x00 x x
21. 2.2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn cơ bản thường gặp khi x→∞ 1) limx , 0 x 2) lim lnx , 0 x 3) limaax , 1 x x 4) lim 1 e x x 5) lim sin x không tồn tại x
22. 2.2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Ví dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các giới hạn cơ bản ln(cosx ) 0 L1 lim (Dạng ) x 0 ln(1 x2 ) 0 2 ln(1 (cosx 1)) x cos x 1 1 1 L1 lim 1.1.( ) x 0 cosx 1 ln(1 xx22 ) 2 2 x 1 sin e 1 sin et 1 L2 lim t x 1lim x 1 ln x t 0 ln(1 t ) t sin e 1 tet 1 lim t =1 t 0 e 1 ln(1 tt )
23. 2.2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Giới hạn 1 phía: Định lý: Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nó có giới hạn trái, giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau. Chú ý: 1.Ta có thể dùng định lý trên để chứng minh không tồn tại giới hạn hàm (Ngoài cách dùng định nghĩa bằng ngôn ngữ dãy). 2.Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt đối, hoặc hàm ghép.
24. 2.2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số 1 Ví dụ: Tính giới hạn lim 2 x 1 x 10 Giới hạn phải: x→1+ xx 1 1 0 Tức là 1 1 Vậy: lim 2 x 1 x 1 x 10 Giới hạn trái: x→1- xx 1 1 0 Tức là 1 1 Vậy: lim 2x 1 0 x 1 x 10
25. 2.2Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Hàm liên tục: Hàm y=f(x) được gọi là liên tục tại điểm x=a thuộc MXĐ của hàm nếu limf ( x ) f ( a ) xa Hàm gián đoạn tại x=a nếu nó không liên tục tại đó Đồ thị của hàm y=f(x) gián đọan tại x=3
26. 2.2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Định lý (về sự liên tục của các hàm sơ cấp): Các hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm xác định của nó xx2 2 Ví dụ: Khảo sát sự liên tục của hàm y x 2 Dễ thấy, y là hàm sơ cấp và không xác định tại x=2 nên nó không liên tục tại x=2. Điểm x=2 gọi là điểm gián đoạn của hàm
27. 2.2 Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số Liên tục 1 phía: Thay giới hạn trong định nghĩa hàm liên tục bởi 2 giới hạn 1 phía, tương ứng ta có khái niệm liên tục trái, liên tục phải Định lý: Hàm liên tục tại x=a khi và chỉ khi nó liên tục trái và liên tục phải tại x=a Tính chất hàm liên tục: Tổng, tích, thương và hợp các hàm liên tục lại là các hàm liên tục
28. 2.3 Giới hạn & liên tục – VCL và VCB VCB: Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x→x0 nếu lim (x ) 0. xx 0 Ví dụ: Hàm α(x) = 2x3+x là: + VCB khi x→0 vì lim (x ) 0 x 0 + không là VCB khi x→1 vì lim (x ) 3 x 1
29. 2.3 Giới hạn & liên tục – VCL và VCB So sánh các VCB: Cho α(x) và β(x) là hai vô cùng bé khi x→x0 ()x Giả sử lim k xx 0  ()x 1) Nếu k = 0, thì α(x) gọi là VCB bậc cao hơn β(x), kí hiệu là α(x) = O(β(x)) 2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì α(x) và β(x) là hai VCB cùng cấp. 3) Nếu k = 1, thì α(x) và β(x) là hai VCB tương đương, kí hiệu là :  (xx ) ~ ( ) 4) Nếu α(x) cùng bậc với (β(x))m thì ta nói bậc của α(x) là m so với β(x)
30. 2.3 Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Các VCB tương đương thường gặp khi x→0 1) sin xx  6) arcsin xx  2) exx -1  7) arctan xx  x2 3) 1- cos x  8) tan xx  2 4) ln(1 xx ) 9) sinh xx  2 x 5) (1 xx ) -1 10) coshx  1 2
31. 2.3 Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Qui tắc thay VCB tương đương với tổng nhiều VCB Giả sử a≠0, b ≠0, α, β là các hằng số thực sao cho  f12( x ) ~ ax , f ( x ) ~ bx với x→0, f1(x), f2(x) là VCB 1.ax ,khi  (  ) f12( x ) f ( x ) ~ 2.( a b ) x ,khi  & a b 0 3.khong thay duoc,khi  &a+b=0 Chú ý: Trường hợp duy nhất KHÔNG ĐƯỢC THAY VCB tương đương là HIỆU 2 VCB CÙNG TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI VCB THỨ BA
32. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB 2. Ta sẽ so sánh bằng cách tính bậc của 2 VCB đó 2 2 1 (xx ) 2x cos (exx ln 2 1) (cos 1) ~xx22 ln 2 2 x2(ln 2 1 ) 2 Như vậy, bậc của α(x) là 2 so với x 3 3 (x ) sin x2 arcsin x2 ~ xx2 2 3 ~ x 2 Bậc của β(x) là 3/2 so với x Vậy (x ) O ( ( x )) 3 3 ()x x2 x2 x 2
33. 2.3 Giới hạn & liên tục – VCL và VCB 1 cos(2x ) Ví dụ: Tính giới hạn L1 lim x 0 3xx2 ln(1 ) 1.Ta thay VCB tương đương như sau, khi x→0 1 1 cos2x ~ (2 x )22 2 x 2 (VCB tương đương cơ bản) ln(1 xx ) ~ 3x22 ln(1 x ) ~ 3 x x ~ x (Tổng các VCB không cùng bậc tương đương với VCB có bậc thấp nhất) 2x2 L1 lim 0 x 0 x
34. 2.3 Giới hạn & liên tục – VCL và VCB ee2xx sin Ví dụ: Tính L3 lim x 0 tan3x e2x e sin x( e 2 x 1) ( e sin x 1) L3 lim lim xx 00tan3xx tan3 2x sin x 2 x x 1 L3 lim lim xx 0 3x 0 3x 3
35. 2.3 Giới hạn & liên tục – VCL và VCB VCL: Hàm số A(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x→x0 nếu limAx ( ) . xx 0 Ví dụ: 1. lim (2xx2 sin ) Nên A(x)=2x2+sinx là VCL x khi x→∞ 1 1 2. lim Ax() là VCL khi x→0 x 0 x x
36. Giới hạn & liên tục – VCL và VCB Qui tắc ngắt bỏ VCL Toång höõu haïn caùc VCL lim xx 0 Toång höõu haïn caùc VCL VCL baäc cao nhaát cuûa töû lim xx 0 VCL baäc cao nhaát cuûa maãu
37. Giới hạn & liên tục – Phụ lục 1 x 5 2 1 1 5 32 32 x 2 L1 lim lim x 0 x x 0 x 1 x 2. 1 lim 532 x 0 x 80 cos3xx cos7 (cos3xx 1) (cos7 1) L2 = lim 2 = lim x 0 x x 0 x2 11 9xx22 49 = lm i 22 20 x 0 x2