Bài giảng Giải tích 2 - Chương : Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến (Phần 1)

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương : Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến (Phần 1)

1. Nội dung 1.Đạo hàm riêng cấp 1 của z = f(x,y) 2.Đạo hàm riêng cấp cao của z = f(x,y) 3.Sự khả vi và vi phân.
2. Ý nghĩa của đhr cấp 1 Cho mặt cong S: z = f(x, y), xét f’x(a, b), với c = f(a, b) Xem phần mặt cong S gần P(a, b, c) Mphẳng y = b cắt S theo gt C1 đi qua P. (C1) : z = g(x) = f(x,b) g’(a) = f’x(a, b)
3. Các ví dụ về cách tính. 1/ Cho f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính ffxy (1,2), (1,2) fx (1,2) : cố định y0 = 2, ta có hàm 1 biến f(,) x2 =+64 x2 x 2 fx (1,2) = (6 x + 4 x ) |x=1 =12x + 4 |x=1 = 16
4. 2/ f(x,y) = 3x2y + xy2 Tính fxy ( x , y ), f ( x , y ) với mọi (x, y) R2 fx (,) x y Xem y là hằng, tính đạo hàm f(x, y) theo x 2 fx (,),(, x y=6x y + y  x y) Áp dụng tính: 2 fx (1,2) = (6xy+= y ) |xy==1, 2 16 (Đây là cách thường dùng để tính đạo hàm tại 1 điểm)
5. y 2/ Tính ffxy (1,1), (1,1) với f(x, y) = x y −1 fx ( x , y )= yx ,  x 0 11− fx (1,1) = 1 1 = 1; y fy ( x , y )= x ln x ,  x 0 1 fy (1,1) = 1 ln1 = 0
6. xy ,(xy , ) (0,0) 22 f(,) x y = xy+ 0, (xy , )= (0,0) a/ Tính fx (0,1) (0,1) không phải là điểm phân chia biểu thức. y( x2+− y 2 ) 2 x 2 y fx (,) x y= ,(,)(0,0)  x y ()xy2+ 2 2 =fx (0,1) 1
7. −+xy22 4/ Cho f(,) x y= e tính fx (,) x y Hàm f xác định tại, mọi (x,y) x −+xy22 fx (,) x y=− e , (xy , ) (0,0) xy22+ Công thức trên không đúng cho (x, y) = (0, 0)
8. Ví dụ cho hàm 3 biến (Tương tự hàm 2 biến) Cho f(,,) x y z=+ x yexz Tính fx ,, f y f z tại (0,− 1,2) xz fx =+1 yze fx (0, − 1,2) = 1 − 2 = − 1 xz fey = xz fz = xye
9. VÍ DỤ f( x , y )= x2 + xy + cos( y − x ) Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của f fx =2x + y + sin( y − x ) fy =x −sin( y − x ) f = (f ) xx x x =(2x + y+ sin( y − x )) x =2 − cos(yx − ) fxy = (fx ) y =1 + cos(yx − )
10. Tổng quát thì các đạo hàm hỗn hợp không bằng nhau ffxy yx Định lý Schwartz: nếu f(x, y) và các đạo hàm riêng fx ,,, f y f xy f yx liên tục trong miền mở chứa (x0, y0) thì fxy (,)(,) x0 y 0= f yx x 0 y 0 (VD 2.28 trang 53, Toán 3, Đỗ Công Khanh) Ñoái vôùi caùc haøm sô caáp thöôøng gaëp, ñònh lyù Schwartz luoân ñuùng taïi caùc ñieåm ñaïo haøm toàn taïi. Ñònh lyù Schwartz cuõng ñuùng cho ñaïo haøm caáp 3 trôû leân. fxxy == f xyx f yxx
11. Ví dụ xy 1/ Cho f(,) x y= e tính ffxx , xyy , f (,) x y= yexy 2 xy x fxx = y e xy fxy ( x , y )=+ (1 xy ) e xy 2 xy fxyy ( x , y )= x + (1 + xy ) x e =+(2x x y ) e
12. 10f 2/ Cho f( x , y )=+ ln(2 x 3 y ) Tính (− 1,1) xy73 Đạo hàm f: 7 lần theo x, 3 lần theo y 7f (−− 1)7− 1 (7 1)!2 7 27 6! (,)xy = = x7 (2xy+ 3 )7 (2xy+ 3 )7 10ff  3  7 7 3(,)(,)x y= 3 7 x y x  y  y  x
13. SỰ KHẢ VI VÀ VI PHÂN (CẤP 1) f khả vi tại (x0, y0) nếu tồn tại 2 hằng số A, B sao cho: fx(,)(,)0+ xy 0 + yfxy − 0 0 = AxByo + + ( ) o() = o x22 + y là VCB bậc cao hơn khi ( ) x, y → 0 df(,) x00 y= A x + B y vi phân của f tại (x0, y0)
14. Điều kiện đủ của khả vi: Cho f xaùc ñònh trong mieàn môû chöùa (x0, y0), neáu caùc ñhr f’x, f’y lieân tuïc taïi (x0, y0) thì f khaû vi taïi (x0, y0). Các hàm sơ cấp thường gặp đều thỏa mãn điều kiện này. VD: cho f(,) x y= x23 y tính df(,) x y df(,)(,)(,) x y=+ fxx x y dx f x y dy =+23xy3 dx x 2 y 2 dy
15. VI PHÂN CẤP CAO Vi phân cấp 2 của f là vi phân của df(x,y) khi xem dx, dy là các hằng số. (ta chỉ xét trường hợp các đhr hỗn hợp bằng nhau) Cách viết: d2f(x, y) = d(df(x, y)) 2 d f=+ d( fxy dx f dy ) =+d()() fxy dx d f dy =()()fxx dx + f xy dy dx + f yx dx + f yy dy dy
16. VÍ DỤ Tìm vi phân cấp 1, 2 tại (0, 1) của f(,) x y=− x2 y 2 y 3 ex 2 3xx 2 2 * fxy = 2 xy − y e , f = 2 x y − 3 y e df(0,1)= fxy (0,1) dx + f (0,1) dy = − dx − 3 dy 23x 2 x * fxx =− 2 y y e , fxy =−43 xy y e 2 x fyy =−26 x ye
17. Công thức tổng quát cho vi phân cấp cao dnf = d(dn-1f ) Vi phân cấp n là vi phân của vi phân cấp (n – 1). (Chæ aùp duïng khi f laø bieåu thöùc ñôn giaûn theo x, y (thöôøng laø hôïp cuûa 1 haøm sô caáp vôùi 1 ña thöùc baäc 1 cuûa x, y).
18. cụ thể: 2 2  d f(,) x y=+ dx dy f xy 2f  2 f  2 f =dx22 +2 dxdy + dy xy22xy 3 3  d f(,) x y=+ dx dy f xy 3f  3 f  3 f  3 f =dx3 +33 dx 2 dy + dxdy 2 + dy 3 x3  x 2  y  x  y 2  y 3
19. Cách 2: f(,) x y= exy+ 3f  3 f  3 f  3 f d3 z= dx 3 +33 dx 2 dy + dxdy 2 + dy 3 x3  x 2  y  x  y 2  y 3 d3 z= exy+ ( dx 3 +33 dx 2 dy + dxdy 2 + dy 3 ) d33 z = exy+ () dx + dy