Bài giảng Giải tích 2 - Chương : Đạo hàm và vi phân (Phần 2)

Nội dung text: Bài giảng Giải tích 2 - Chương : Đạo hàm và vi phân (Phần 2)

1. Nội dung 1.Đạo hàm và vi phân hàm hợp. 2.Đạo hàm và vi phân hàm ẩn.
2. Trường hợp riêng 1 Cho z = f(x) và x = x(u, v) (hợp của 1 biến và 2 biến) zxuu = fx () , zvv = f ()x x dz=+ zuv du z dv dz= f ( x ) dx = f ( x )( xuv du + x dv )
3. Trường hợp riêng 3: z = f(x, y), y = y(x) (hợp 2 biến và 1 biến) z ().() x=+ffxy y x dz= z () x dx Löu yù: khi tính ñaïo haøm haøm hôïp, luoân baét ñaàu töø ñaïo haøm cuûa f theo bieán chính. Sau ñoù, tuøy thuoäc vaøo yeâu caàu, nhaân theâm ñaïo haøm cuûa bieán chính vaøo caïnh ñaïo haøm cuûa f.
4. 2 2 2 z (1,1)= 2. e .2 + 1. e .1 = 5 e u 2 zev (1,1) = 22 dz(1,1)= zuv (1,1) du + z (1,1) dv = 5 e du + e dv
5. 3/ Cho: z== f( x , y ) sin( xy ), x==arctan( t) , y et Tính dz(t) tại t = 0 Cách 1: dz = z’(t)dt, với z’(t) = f’x. x’(t) + f’y.y’(t), 1 zt ()=ycos( xy ) +xcos( xy ) et 1+ t 2 t=0 x = 0, y = 1 =dz(0) dt
6. ln(y 2 + 1) 4/ Cho: z== f(,). x y x2 a/ Tính z’x tại (1,0). b/ Nếu y = ex, tính z’(x) tại x = 1 +zyln(2 1) ln(1) a/2 z = = f = − z (1,0) = − 2 = 0 xxx x3 x 1 b/ z’(x) = f’x + f’y.y’(x) ln(y 2 + 1) 2y = −2 + ex x3 (yx22+ 1)
7. 5/ Cho: z=− f( x y , xy ), với f là hàm khả vi Tính z’x, z’y Đặt: u = x – y , v = xy z = f(u, v) (u, v là biến chính của f) zu x=+ffuv x v x =+fuv .1 f y zu y=+ffuv y v y =fuv .( − 1) + f x
8. x zy = x.() f u  z= xf 2 y y −2x ==xf ( u ). u x . f ( u ). y y 3 1 −2x 2xz + yz x f u x f u xy=+2 ( ) . ( ). 2 +yx. f ( u ). 3 y y = 2xf ( u ) = 2z
9. • Cách khác: dz = f’udu + f’vdv = f’u( u’xdx + u’ydy) + f’v ( v’xdx + v’ydy) 2 = f’u(2xdx – dy) + f’v(y dx + 2xydy) 2 = (2xf’u + y f’v)dx + (2xyf’v – f’u)dy
10. z =+ff x y vv( x vy v ) v =(fx ) x u + f x x uv +( f y ) y u + f y y vv v v Các đhàm (f’x)’u, (f’x)’v, (f’y)’u, (f’y)’v phải tính theo hàm hợp. Vi phân cấp hai của hàm hợp: (u, v là biến độc lập) Để đơn giản, viết d2z theo du, dv 2 2 2 dz= zuu du +2 z uv dudv + zdv vv
11. VÍ DỤ 2 1/ Cho: z== f(,), x y x y x= u + v, y = u − v Tính z”uu, z”uv tại (u, v) =(1, 1) (x = 2, y = 0) 2 zu =2 xy x u + x y u =2xy 1 + x22 1 = 2 xy + x 2 zuu =+2 xy x =22(x y + xy ) + xx ( ) u u u u =2(y + x ) + 2 x = 4 x + 2 y z”uu(1, 1) = 8
12. VÍ DỤ 2 1/ Cho: z== f(,), x y x y x= u + v, y = u2 Tính z”uutại (u, v) =(1, 1) (x = 2, y = 1) 2 2 zu =2 xy x u + x y u =2xy 1 + x 2 u 2 zuu =+2. xy u x ( ) u 2 =+2(xuu y xy ) +(x +u.2 x . xu ) 2 =2 (y + x .2 u ) + x + 2 ux .1 z”uu(1, 1) = 26
13. 2 3/ Cho: z=− f() x y với f là hàm khả vi cấp 2. Tính z”xx, z”xy, z”yy Đặt u = x2 - y z = f(u) z xx== f ( u ) u f ( u ).2 x , z y =− f( u ).( 1) z ==( z ) ( f ( u ).2 x) =+2 f ( u ) x( f ( u )) xx x xx x f u xf u u 2 =+2 ( ) ( ). x  =+2 f ( u ) 2 x f ( u )
14. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM ẨN Nhắc lại: giả sử hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình F(x, y) = 0. Để tính y’(x), lấy đạo hàm phương trình F = 0 theo x và giải tìm y’(x) (cách 1). Với cách là này ta xem y là hàm theo x khi lấy đạo hàm của F. Cách 2: Sử dụng hàm hợp cho hàm nhiều biến G = F(x, y) = 0, với y = y(x) G’(x) = F’x + F’y.y’(x) = 0
15. Chứng minh công thức đạo hàm hàm ẩn Đặt G = F(x, y, z), lấy đạo hàm (1) theo x: Fx G=0 Gx = F x .1 + F y .0 + F z . z x = 0 z x = − Fz Fy G=0 Gy = F x .0 + F y .1 + F z . z y = 0 z y = − Fz Hàm ẩn cho bởi pt (1) có đhr là
16. VÍ DỤ Cho y = y(x) xác định từ pt: ey + xy − e = 0 (1) Tìm y’(0). Cách 1: học kỳ 1 Lấy đạo hàm pt đã cho: y ey + y + xy = 0 (2) x = 0, (1) y = 1, (2) ye (0)+ 1 + 0 = 0 ye (0) = − −1
17. Ví dụ 1/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F( x , y , z )= z − yexz/ = 0 (1) Tìm z’x, z’y tại (x, y) = (0, 1). từ (1) ta có: (x, y) = (0, 1) z = 1 y xz/ F − e −1 z = −x = − z z (0,1) = − = 1 x yx x Fz 1+ exz/ 10+ z2
18. Ví dụ 2/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: Fxyz( , , )= xy − shx ( + y − z ) = 0 (1) Tìm z’’xx, z’’xy tại (x, y) = (1, 0). (x , y )= (1,0) z = 1 F y− ch() x + y − z z = −x = − x Fz ch() x+− y z z x (1,0)= 1, z (1,0)= 0 Fy x− ch() x + y − z y z y = − = − Fz ch() x+− y z
19. −(1 −z xx ) sh (.) ch (.) − y − ch (.) (1 − z ) sh (.) z xx =− ch2() x+− y z z x (1,0)= 1, zy (1,0)= 0 −(1 − 1).0.1 − (0 − 1)(1 − 1).0 z (1,0) = − = 0 xx 1
20. Ví dụ 3/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F( x , y , z )= z32 − 4 xz + y − 4 = 0 (1) Tìm dz(1, -2), d2z(1, -2) nếu z(1, -2) = 2 ❖ Lấy vi phân pt (1): dF=3 z2 dz − 4 zdx − 4 xdz + 2 ydy = 0 (2) Thay x = 1, y = - 2, z = 2 vào (2): 12dz (1,− 2) − 8 dx − 4 dz (1, − 2) − 4 dy = 0 1 dz(1, − 2) = dx + dy 2
21. Ví dụ 4/ Cho z = z(x, y), thỏa pt: F= f( x + z , y ) = 0 (1) với f là hàm khả vi cấp 2. Tìm z’x, z’y, z”xx, z”yy Đặt u = x+ z, v = y F(x, y, z) = f(u, v) = 0 Fx = f u , u x + f v v x = f u Fy = f u u y + f v v y = f v Fz = f u u z + f v v z = f u fu fv z = 0 zz xy= − = −1, = − xx ffuu
22. f z + f f − f z + f f ( vu y vv) u( uu y uv) v zyy =− 2 (fu ) fv z y =− fu ff f −vv + f f − f − + f f vu ff vv u uu uv v uu zyy =− 2 (fu )