Bài giảng Giải tích mạch - Chương 7: Hàm truyền

Nội dung text: Bài giảng Giải tích mạch - Chương 7: Hàm truyền

1. 7.1.Mạch cộng hưởng Mạch cộng hưởng là mạch điện mà trong đó xãy ra hiện tượng cộng hưởng . Cộng hưởng xãy ra trong mạch tại tần số mà ở đó tổng điện kháng X(ω) hay tổng điện nạp B(ω) bằng 0. Như vậy điều kiện cần để xãy ra hiện tượng cộng hưởng là trong mạch có chứa các phần tử điện kháng là điện cảm và điện dung. Ta sẽ xét các trường hợp cộng hưởng: 1.Cộng hưởng nối tiếp 2.Cộng hưởng song song
2. Mô-đun trở kháng, dẩn nạp của mạch * Mô-đun trở kháng: 1 Z() = R2 + (L − )2 C *Góc pha (argument) của trở kháng : φ(ω) = tg-1 (X/R)= tg-1 [(ωL – 1/ωC)/R] Dẩn nạp của mạch: Y(jω) = 1/Z(jω) = 1/[R + j(ωL – 1/ωC)] *Mô-đun của dẩn nạp: 1 Y() = R2 + (L −1/C)2 *Góc pha (argument) của dẩn nạp: α(ω) = -φ(ω) = -tg-1 (X/R)= -tg-1 [(ωL – 1/ωC)/R]
3. Điện áp 2 đầu cuộn dây, tụ điện tại ω0 *Ta có 2 tần số cắt ωc1 và ωc2 tương ứng tại đó |Y(ωc1)| =|Y(ωc2)| 2 =|Y|max /√2 .Ta chứng minh được rằng: ωc2 x ωc1 = ω0 = 1/LC R 1 4L R 1 4L  = − + R2 + ; = + R2 + C1 2L 2L C C2 2L 2L C *β = ωc2 - ωc1 = R/L: Độ rộng dải thông. Ta nhận xét R càng nhỏ thì β càng nhỏ , mạch có tính chọn lọc tần số tốt hơn. *Hệ số phẩm chất Q = ω0 /β = ω0L/R = 1/ω0RC = ρ/R; (7.1) nếu β nhỏ thì Q lớn mạch có tính chọn lọc cao *Trở kháng đặc tính của mạch ρ = ω0L = 1/ ω0C = √L/√C Tại tần số cộng hưởng ω0 ta có: U U  LI  L Lm = Cm = 0 m = 0 = Q Em Em RI m R
4. Khảo sát điện áp 2 đầu R, L,C     KR = U R / E = R I / E = RY = R/ [R + j(ωL – 1/ωC)] U / E = jLI/ E KL = L = jωLY = jωL/ [R + j(ωL – 1/ωC)]     KC = U C / E = ( I / j  C ) / E = Y/jωC = (1/jωC)/ [R + j(ωL – 1/ωC)] Biểu thức mô-đun của KR; KL; KC L K L = ; R2 + (L −1/C)2 1 KC = ; C R2 + (L −1/C)2 R K R = ; R2 + (L −1/C)2
5. Độ lệch cộng hưởng tuyệt đối, tương đối, tổng quát *Độ lệch cộng hưởng tuyệt đối: ∆ω = ω – ω0; ω/ω0 – ω0/ ω =ע :Độ lệch cộng hưởng tương đối* *Độ lệch cộng hưởng tổng quát: ξ = X(ω)/R *Tại tần số cộng hưởng các độ lệch cộng hưởng = 0 (ω/ ω0; ξ ≈ 2Q∆ω/ ω0 ; (7.2∆2 ≈ ע ;עξ = Q* Z() = R 1+ 2 ; = tg−1 (7.3) 1 Y() = ; = −tg−1 (7.4) R 1+ 2 Y 1 Y 1 = ; = (7.5) 2 Ych 1+ j Ych 1+
6. Ví dụ về cộng hưởng nối tiếp *Điện kháng của mạch: X = Lω – 1/Cω = ξR = 3,537Ω Biên độ điện áp trên tụ: I I I U = m m = mch Cm C  C 2 0 0C 1+ E QE = m = m = 43,5V 2 2 0 RC 1+ 1+ *Góc lệch pha φ giữa sức điện động e(t) và dòng điện i(t) chính là góc pha của trở kháng Z. Theo (7.3) ta có: φ = tg-1ξ ≈ 100
7. Tương ứng |Z(ωC1)| = |Z(ωC1)| = |Z(ω )|max /√2 G 1 4C G 1 4C  = − + G2 + ; = + G2 + C1 2C 2C L C2 2C 2C L *Độ rộng dải thông β = ωc2 - ωc1 = G/C *Hệ số phẩm chất Q = ω0 /β = ω0C/G = 1/ω0GL = 1/Gρ = R /ρ; *Trở kháng đặc tính của mạch ρ = ω0L = 1/ ω0C = √L/√C *Tại tần số cộng hưởng ω0 , u(t) cùng pha với j(t) ; biên độ dòng điện J  = G U  → toàn bộ dòng điện chảy qua điện trở. *Để tiện lợi, người ta cũng định nghĩa độ lệch cộng hưởng tuyệt đối, tương đối giống như cộng hưởng nối tiếp. * Độ lệch cộng hưởng tổng quát được định nghĩa: ξ = B(ω)/G. (ω/ω0 ; Y = G(1 +jξ∆2 ≈ ע ; ξ ≈ 2Q∆ω/ω0 ;עTa có: ξ = Q* Z 1 Z 1 = ; = ; arg Z = −tg−1 2 Zch 1+ j Zch 1+
8. ta hãy so sánh dẩn nạp của chúng: *Với mạch // 3 nhánh: Y = G + 1/jωL + jωC (7.7) *Với mạch // 2 nhánh (H.a): Y’ = 1/(R1 + jωL1) + 1/(R2+ 1/jωC2) Với các giả thiết: R1 << ωL1; R2 << 1/ωC2 R + R + jL +1/ jC R + R + jL +1/ jC Y ' = 1 2 1 2 1 2 1 2 (R1 + jL1)(R2 +1/ jC2 ) L1 / C2 RC 2 1 + jC2 − j ; (7.8) R = R1 + R2 L1 L1 So sánh (7.7) và (7.8) ta được : G = RC2 /L1; C = C2; L = L1 Đó là điều kiện để 2 mạch tương đương với nhau 2 Gọi Rtđ = 1/G = L1/RC2 = ρ /R Trong đó ρ = √L1 /√C2 là trở kháng đặc tính của mạch 2 Hệ số phẩm chất Q = Rtđ /ρ ; → Rtđ = Q R
9. 7.2.Định nghĩa hàm truyền *Các điều kiện đầu bằng 0, x(t): nguồn kích thích; y(t): đáp ứng N d k y(t) M d k x(t)  ak k = bk k k =0 dt k =0 dt N M k k  ak s Y (s) = bk s X (s) k =0 k =0 N M k k Y (s) ak s = X (s)bk s k =0 k =0 M b s k k =0 k Y (s) = N X (s) = H (s)X (s) a sk k =0 k H(s): Hàm truyền của mạch
10. 7.3.Tính tuyến tính và bất biến *Tính tuyến tính: Một hệ thống là tuyến tính khi và chỉ khi : a1 x1(t) + a2 x2(t) → a1 y1(t) + a2 y2(t) với: x1(t) → y1(t); x2(t) → y2(t) *Tính bất biến (time invariant): Một hệ thống được gọi bất biến theo thời gian khi và chỉ khi: x(t) → y(t) thì x(t - t0) → y(t - t0) *Việc phân tích hàm truyền được áp dụng cho bất kỳ hệ thống nào có tính tuyến tính và bất biến (LTI) *Một hệ thống bất biến nếu tín hiệu vào dịch đi 1 khoảng thời gian thì tín hiệu ra cũng dịch đi cùng1 khoảng. *Mạch điện mà năng lượng trử trong tụ hay trong cuộn dây khác 0 tại t = 0 là hệ thống không bất biến *Mạch điện mà năng lượng trử trong mạch bằng 0 tại t = 0 là hệ thống bất biến
11. Hàm truyền và đáp ứng xung đơn vị *Giả sử: -Mạch có hàm truyền là H(s) -Ta kích thích mạch với tín hiệu xung đơn vị (unit impulse), x(t) = δ(t) → X(s) = 1 Y(s) = H(s)X(s) = H(s) Hay: y(t) = h(t) *Vậy hàm truyền của 1 hệ thống chính là biến đổi Laplace của đáp ứng xung đơn vị của hệ thống *Đối với hệ thống LTI, khi ta biết H(s) hay h(t) ta sẽ tính được tín hiệu ra tương ứng với tín hiệu vào. *Như vậy ta có 2 cách khác nhau để tìm đáp ứng của LTI: 1.Tính H(s), X(s) rồi → y(t) = L – 1{H(s)X(s)} 2.Phân tích mạch trong miền s để tìm đáp ứng.
12. 1000 Ω 250 Ω + 1000 Ω 250 Ω + 6 1 µF v0 V 10 /s V0 vg g 50 mH - 0,05s - 1000(s + 5000)V →V = g 0 s2 + 6000s + 25 106 V0 1000(s + 5000) → H (s) = = 2 6 Vg s + 6000s + 25 10 ➢ B) Các điểm cực là: p1 = -3000 –j4000; p2 = -3000 +j4000; ➢ Điểm không là: z1 = -5000
13. Ví dụ về hàm truyền 2 Ta có: vg (t) = 50tu(t) → Vg (s) = 50/s 1000(s + 5000) 50 →V (s) = 0 s2 + 6000s + 25 106 s2 k k * k k = 1 + 1 + 2 + 3 s + 3000 − j4000 s + 3000 + j4000 s2 s -4 0 * -4 0 →k1 = 5√5x10 /79,70 ; k1 = 5√5x10 /-79,70 ; k2 =10; -4 k3 = -4x10 . -4 -3000t 0 -4 V0 = [10√5x10 e cos(4000t + 79,70 )+10t – 4x10 ]u(t) V B)Thành phần quá độ: 10√5x10-4 e-3000t cos(4000t + 79,700 ) C)Thành phần xác lập: [10t – 4x10-4 ]u(t)
14. Ví dụ về hàm truyền *Biết hàm truyền của mạch là H(s) = 10(s+2)/(s2+2s +10); a)Tìm đáp ứng của hàm đơn vị u(t)? b)Tìm đáp ứng của hàm xung đơn vị δ(t)? Giải: 10(s + 2) 1 k k k* a)V (s) = = 0 + 1 + 1 0 s2 + 2s +10 s s s +1− j3 s +1+ j3 0 * 0 →k0 = 2; k1 = 5/3 /-126,87 ; k1 = 5/3 /126,87 -t 0 v0 = [2 + (10/3)e cos(3t – 126,87 )]u(t) V 10(s + 2) k k* b)V (s) = 1= 2 + 2 0 s2 + 2s +10 s +1− j3 s +1+ j3 0 * 0 → k2 = 5,27 /-18,43 ; k2 = 5,27 /18,43 -t 0 v0 = [10,54e cos(3t – 18,43 )]u(t) V
15. Ví dụ về hàm truyền Biết đáp ứng xung đơn vị của mạch là : -70t v0 (t) = 10000e cos(240t + θ) V; với tgθ = 7/24 a)Tìm hàm truyền của mạch? b) Tìm đáp ứng hàm đơn vị ? Giải: 1 9600s b)V (s) = H(s) = 0 s s2 +140s + 62500 k k * = 1 + 1 s + 70 − j240 s + 70 + j240 0 →K1 = 9600/j480 = -j20 = 20 /-90 . Nên: -70t 0 v0 (t) = [40e cos(240t - 90 )]u(t) V = [40e-70t sin240t ]u(t) V
16. Ví dụ về hàm truyền R C + vs (t) v0(t) - ➢ Tìm hàm truyền của mạch cho như hình trên?
17. Ví dụ về hàm truyền CB CA RB + RA vs (t) - RL v0(t) - ➢ Tìm hàm truyền của mạch cho như hình trên?
18. Ví dụ tìm đáp ứng xác lập của tín hiệu điều hòa 1000 Ω 250 Ω + vg 1 µF v0 50 mH - 0 ➢ Tín hiệu vg = 120cos(5000t + 30 ) cung cấp cho mạch. Tìm đáp ứng (xác lập) v0(t) như hình. ➢ Giải: Từ ví dụ trước ta có: V0 1000(s + 5000) H(s) = = 2 6 Vg s + 6000s + 25 10 ➢ Tần số của nguồn là 5000 rad/s nên s = jω = j5000 →
19. Ví dụ tìm đáp ứng xác lập của tín hiệu điều hòa 2 Ω + ig 0,1 F v0 1 H - ➢ Tín hiệu ig = 10cos4t A cung cấp cho mạch. Dùng hàm truyền tìm đáp ứng (xác lập) v0(t) như hình. ➢ Trả lời: 44,7cos(4t – 63,430 ) V
20. Ví dụ tìm đáp ứng xác lập của tín hiệu điều hòa R + vs (t) C v0(t) - ➢ Tìm đáp ứng (xác lập) v0 (t) khi tín hiệu vào vs (t) = cos(ωt)?
21. 7.6.Giản đồ Bode *Cho đến những năm 1980 giản đồ bode vẫn còn được vẽ bằng tay. *Có nhiều qui luật, các bản tra, các mẫu vẽ để giúp đỡ công việc này. *Ngày nay các kỷ sư chủ yếu dùng MATLAB để vẽ *Tại sao ta tìm hiểu cách vẽ bằng tay? -Điều này giúp ta hiểu được các điểm cực, điểm không, độ lợi ảnh hưởng đến giản đồ Bode như thế nào -Các kiến thức này được dùng trong việc thiết kế mạch analog và hệ thống điều khiển *Chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp đơn giản để vẽ giản đồ Bode *Đó là phương pháp dựa trên việc vẽ đường tiệm cận của các đặc tuyến
22. Thành phần biên độ Xét biểu thức biên độ của hàm truyền: H dB ( j) = 20log H ( j s s s (1− )(1− ) (1− ) z z z = 20log ks l 1 2 m s s s (1− )(1− ) (1− ) p p p 1 2 n s= j = 20log k l20log  j j + 20log 1− + + 20log 1− z1 zm j j − 20log 1− − − 20log 1− p1 pn
23. Thành phần biên độ: Hằng số |H (jω)|(dB) 40 20 0 ω(rad/s) -20 -40 ➢ Thành phần hằng số 20log|k| là đường thẳng nằm ngang trên giản đồ Bode
24. Thành phần biên độ: chứa điểm 0 thực Xét thành phần biên biên độ chứa điểm 0 thực: 20log|1-jω/z| *Nếu; ω > |z|; (ω/z→ ∞) →lim 20log|1-jω/z| = 20log|-jω/z| = 20log|ω| - 20log|z| Vậy nếu ω >> |z| thì thành phần 20log|1-jω/z| là đoạn thẳng có độ dốc 20 dB/1decad và cắt trục x tại ω = |z|
25. Thành phần biên độ:chứa điểm 0 thực 50 40 30 )|(dB) ω 20 (j |H 10 0 -10 ω(rad/s) 10-2 10-1 100 101 102 ➢ Đồ thị trên tương ứng với thành phần biên độ 20log|1-jω/z| với z = ±1.Sai số lớn nhất của phương pháp vẽ tiệm cận xãy ra tại tần số góc (corner frequency) ω = |z| là 3 dB (biên độ thực lớn hơn)
26. Thành phần biên độ:chứa điểm cực thực 10 0 -10 )|(dB) ω -20 (j |H -30 -40 -50 ω(rad/s) 10-2 10-1 100 101 102 ➢ Đồ thị trên tương ứng với thành phần biên độ -20log|1-jω/p| với p = -1.Sai số lớn nhất của phương pháp vẽ tiệm cận xãy ra tại tần số góc (corner frequency) ω = |p| là 3 dB (biên độ thực nhỏ hơn)
27. Ví dụ vẽ đặc tuyến biên độ giản đồ Bode |H (jω)|(dB) 60 40 20 ω(rad/s) 0 100 101 102 103 104 105 -20 -40 -60 ➢ Dùng phương pháp đường tiệm cận vẽ đặc tuyến biên độ giản đồ Bode của hàm truyền: (s +10)(s +100)2 H(s) = 10s2 (s +1000) ➢ Giải: Ta đưa H(s) về dạng chuẩn:
28. Thành phần góc pha j j j ( j)l (1− )(1− ) (1− ) z z z H ( j) = k 1 2 m j j j (1− )(1− ) (1− ) p1 p2 pn Mỗi thành phần được viết dưới dạng tọa độ cực ; Chú ý : (jω)l = ωl jl =l ωjll (e/j2л/2 )l = ωjl ejлl/2 j ( e )N e 1 N e m H ( j) = k e jk 1 m j1 jn D1e Dne  l N N = k 1 m D1 Dn exp( j(k + l / 2 +1 + +n −1 − −n ))
29. Thành phần góc pha: Hằng số /H (jω)(độ) 180 90 0 ω(rad/s) -90 -180 ➢ Thành phần hằng số k có góc pha bằng 0 nếu k > 0; và có góc pha = 1800 nếu k < 0
30. Thành phần góc pha: chứa điểm 0 thực Xét thành phần /1 – jω/z với z là số thực. Ta có 3 trường hợp: *Trường hợp 1: ω > |z|; ω/z → ∞ 0 →lim /1 – jω/z = / -jω/z = - ηz 90 0 Vậy nếu ω >> |z| thì /1 – jω/z ≈ - ηz 90
31. Thành phần góc pha: chứa điểm 0 thực ở nữa trái mặt phẳng /H (jω)(độ) 90 60 45 20 0 ω(rad/s) 10-2|z| 10-1|z| |z| 10|z| 102 |z| ➢ Đồ thị có sai số lớn nhất tại ω = 10-1|z| và ω = 10|z|
32. Thành phần góc pha: chứa điểm 0 thực ở nữa /H (jω)(độ) phải mặt phẳng 0 -20 -45 -60 -90 ω(rad/s) 10-2z 10-1z z 10z 102 z ➢ Đồ thị có sai số lớn nhất tại ω = 10-1z và ω = 10z
33. Thành phần góc pha: chứa điểm cực thực âm /H (jω)(độ) 180 90 0 ω(rad/s) -90 -180 ➢ *Thành phần chứa điểm cực thực - /1- jω/p gồm có 3 đoạn nối với nhau tại 2 điểm ω = 10-1|z| và ω = 10|z| ➢ *Vẽ thành phần - /1- jω/p . Giả sử p nằm ở nữa trái mặt phẳng phức (Re{p} < 0)
34. Ví dụ vẽ giản đồ Bode góc pha /H (jω)(độ) 270 180 90 0 ω(rad/s) 0 1 105 -90 10 10 -180 -270 2 ➢ Vẽ giản đồ Bode góc pha của hàm (s +10)(s +100) H(s) = 2 ➢ Giải: Ta đưa H(s) về dạng chuẩn: 10s (s +1000) −2 s s 2 2 10s (1+ )(1+ ) (s +10)(s +100) H(s) = = 10 100 2 s 10s (s +1000) (1+ ) 1000
35. Tóm tắt các thành phần góc pha j j H ( j) =k + l + (1− ) + + (1− ) 2 z1 zm j j − (1− ) − − (1− ) p1 pn *Mỗi thành phần chứa điểm 0 làm góc pha lệch đi ±900 -Bắt đầu trước điểm 0 một decade và kết thúc sau 1 decade -Điểm 0 ở nữa trái mặt phẳng làm góc pha tăng lên 900 -Điểm 0 ở nữa phải mặt phẳng làm góc pha giảm xuống 900 *Mỗi thành phần chứa điểm cực làm góc pha giảm đi -900 -Bắt đầu trước điểm cực một decade và kết thúc sau 1 decade *Hằng số k làm góc pha lệch 00 (k>0) hoặc 1800 (k<0) *Thành phần tuyến tính làm góc pha lệch l900
36. Cực phức Hàm truyền bậc hai C(s) có thể được biểu diễn dưới dạng sau: 1 1 C(s) = = s s s s 1+ 2 + ( )2 1+ + ( )2 n n Qn n Với Q = 1/(2ς) *Nếu ½ < Q < ∞ : Các cực là cực phức *Q gọi là hệ số phẩm chất (quality factor) 1 C( j) = 2  j 1− + n Qn
37. Góc pha thành phần chứa cực phức 1 C( j) =  2  j 1− + n Qn 0 *Với: ω > ωn : /C(jω) ≈ -180 ; 0 *Với: ω = ωn : /C(jω) = /1/Qj = -90 ;
38. Dùng Matlab vẽ giản đồ Bode Ta có thể dùng phần mềm Matlab để vẽ giản đồ Bode một cách dể dàng. Ví dụ : Vẽ giản đồ Bode của hàm: s +10 H (s) = s2 + 4s +100 Ta chỉ cần nhập lệnh: >> nc = [1 10]; >> dc = [1 4 100]; >> bode (nc, dc) Enter